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グラフ

math 公立高校入試の関数(平成22年度大阪府後期選抜B選択問題

入試レベルの関数・グラフの問題を解くときは、(1)を書き込む、(2)座標を書き込む、(3)方程式をたてる、の3段階で解くことができます。

大阪府・平成22年度・後期選抜・B選択問題

1、(6)
例題右図において、mはy=1/8x^2のグラフを表す。Aはm上の点であり、そのx座標をt(tは正の定数)とする。Bはy軸上の点であり、そのy座標は2である。Cはx座標がAのx座標と等しく、y座標が−2の点である。nは2点B、Cを通る直線であり、Dはnとx軸との交点である。Eはmとnとの交点であり、BとCについて反対側にある。
(1)Aのy座標とDのx座標をそれぞれtをもちいて表しなさい。
(2)Eのy座標が8であるときのtの値を求めなさい。求め方も書くこと。


(解き方)

まず、問題を解く手順3段階の最初の2つ、(1)を書き込む、(2)座標を書き込む、を丁寧にしておきます。
例題2の2

(1)まず、mに放物線の式であるy=1/8x^2を書き込みます。

問題文に書いてあっても、目の前のグラフに書き込むことが必要です。

(2)次に、座標を書き込みます。

必ず、完全な座標の形で書き込むこと。
Bにただ2とだけ書いてはいけません。(0,2)と書き込みます。

重要なのは点Aへの書き込みです。

問題文にAのx座標はtとあるので、まずx座標をtと記入します。

こつ次に、左の、座標を書き込むときのコツにしたがって、x=tを放物線の式にあてはめ、y=1/8t^2より、点Aに(t,1/8t^2)と書き込みます。

さらに、問題文にしたがって、点Cの座標を(t,−2)と書き込んでおきます。

これで、やっと準備完了です。

自分の書き込みを見ながら、どう解くかを考えていきます。


(1)Aのy座標とDのx座標をそれぞれtをもちいて表しなさい。

Aのx座標は、準備の段階ですでに1/8t^2とわかっています。

Dのx座標は、どうしたら求められるでしょうか。

例題2の3
(方法1)
1つの方法は、点Dが直線nとx軸との交点であることに着目して求める方法です。

x軸上の点のy座標はすべて0ですから、y=0を直線nの式に代入すれば、点Dの座標を求めることができます。

そのためには、まず直線nの式を求めないといけません。

直線の式は、y=ax+bであり、その求め方は2通り考えられます。
1つは、点Bと点Cを通っていることから、y=ax+bに、点Bの座標(0,2)と点Cの座標(t,−2)を代入して連立方程式をつくり、連立方程式を解いてaとbを求める方法です。
2=0+b
−2=at+b
この連立方程式を解くと、b=2、a=−4/tとなり、ゆえに直線の式はy=(−4/t)x+2だとわかります。

例題2の4















もう1つの方法は、切片であるbが点B(0,2)より2とわかっているので、グラフから傾きを見つける方法です。

例題2の3左の図のように、直線nは、右にtだけ進んで下に4下がっています。このことより、傾きは−4/t、つまりa=−4/tです。
傾きが−4/tで、切片が2だから、直線の式はy=(−4/t)x+bということになります。




いずれかの方法で直線の式を求めたら、x軸との交点を求めるためにy=0を代入します。
0=(−4/t)x+2
等式なので、両辺に分母のtをかけて、0=−4x+2t
4x=2t
x=t/2

よって、点Dの座標は(t/2,0)です。

例題2の5














(方法2)
相似を利用します(関数・グラフの問題でも、相似を利用することは多い)。

例題2の6左の図で、△BDPと△BCQは相似です。
そして、PDの長さは2、QCの長さは4、BQはt、BPの長さが点Dのx座標にあたります。

△BDP∽△BCQより、
BP:BQ=PD:QCだから、
BP:t=2:4
4×BP=2×t
よって、BP=t/2

だから、点Dの座標は(t/2,0)です。


(方法3)

例題2の9線分BOの長さが2、点Cからx軸にひいた垂線とx軸との交点までの長さも2であることに気がつくと、あっさりと求められます。

点Dは、点Bと点Cの中点です。

よって、点Dのx座標は点Cのx座標の半分、すなわち点D(t/2,0)です。





(2)Eのy座標が8であるときのtの値を求めなさい。求め方も書くこと。

やはり、いくつかの求め方が考えられます。

(方法1)

1つは、点Eの座標を求めて、その点Eを直線nが通っているので、点Eの座標を直線nの式、y=(−4/t)x+2に代入して、tの値を求める方法です。

点Eのy座標は8です。
点Eを放物線y=1/8x^2が通っているので、y=8を代入します。
8=1/8x^2
両辺に8をかけて64=x^2
x=±8
点EはBとCについて反対側にあるので、x=−8

点Eのx座標がわかったので、点E(−8,8)を直線nの式、y=(−4/t)x+2に代入します。
8=(−4/t)×(−8)+2
8=32/t+2
両辺にtをかけて、
8t=32+2t
6t=32
t=16/3


(方法2)

相似を利用します。

例題2の7点Eからx軸に垂線をひいて、x軸との交点をRとします。

△ERDと△BODは、∠ERD=∠BOD=90度、
∠EDR=∠BDOより、
2組の角がそれぞれ等しいので相似です。

そして、ER=8、BO=2、OD=t/2です。

よって、RD:OD=ER:BO
つまり、RD=t/2=8:2
RD×2=t/2×8
RD×2=4t
RD=2t

RD=2tなので、RO=2t−t/2=3t/2

点Eのx座標は、y=1/8x^2にy=8を代入してx=−8。
点Eのx座標が−8なら、ROの長さは8。

RO=3t/2だったから、
3t/2=8
両辺に2をかけて、
3t=16
t=16/3


(方法3)

教育委員会発表の模範解答の解き方です。

最初に、y=8を放物線mの式y=1/8x^2に代入して、点Eの座標を求めるところまではこれまでの解き方と共通です。
8=1/8x^2を解いて、x=−8。

例題2の8直線nは、点E(−8,8)、点B(0,2)を通るので、傾きが−6/8=−3/4で、切片が2。

よって、直線nの式は、
y=−3/4x+2。

この直線が点Cを通るので、点C(t,−2)を代入します。

−2=(−3/4)x+2
両辺に4をかけて、
−8=−3x+8
3x=16
x=16/3



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math 公立高校入試の関数(平成22年度大阪府後期選抜A選択問題)

公立高校入試問題で関数の問題を解くときの手順は以下の通りです。

1、問題文に書いてある関数のグラフに転記する。

2、グラフ中のA、B、C・・・と書いてある点に、問題文からわかる座標を書き込む。

そのとき、例えば点Aのx座標がtであり、点Aを通っているグラフの式がy=2x+1であれば、y=2x+1の式にx=tを代入してy座標を2t+1と記入しておく(これが解くためのもっとも重要な過程です)。

3、書き込んだ座標を使って、問題文を参考に、問題文にのっとった方程式をたてて、その方程式を解く。

関数の、ほぼ全問題を、上記1、2、3の手順をふむことで解くことができます。

まとめると、関数の問題を解く手順は、
(1)を書き込む。
(2)座標を書き込む。
(3)方程式をたてる。
の、3段階です。


大阪府・平成22年度・後期選抜・A選択問題

例題11、(5)
右図において、mはy=x^2のグラフを表す。Aはm上の点であり、そのx座標は正である。Bはy軸上の点であり、そのy座標は3である。OとA、AとBとをそれぞれ結んでできる△OABの面積が4であるとき、Aのy座標を求めなさい。






(解き方)

まず、問題を解く手順3段階の最初の2つ、(1)を書き込む、(2)座標を書き込む、にとりかかります。
この段階をちゃんとできれば、9割以上の確率で解くことができます。
例題1の2

(1)まず、mに放物線の式であるy=x^2を書き込みます。

問題文に書いてあっても、目の前のグラフに書き込むことが必要なのです。
後で、必ず使います。

(2)次に、座標を書き込みます。

必ず、完全な座標の形で書き込むこと。
Bにただ3とだけ書いてはいけません。(0,3)と書き込みます。

大事なのは点Aへの書き込みです。

中学生は方程式を使って問題を解きます。だから、その前提として、求めたいものをxと決めないといけません。ところが関数の問題の場合、文字xは、グラフの式などに使われていて使えません。
こういうときは、求めたいものを文字tを使って表すのが約束事の一つです。

さらに、求めないといけないのは点Aのy座標ですが、y座標をtとしてはいけません。
x座標をtとします。
そうしないと、y座標を簡単に表すことができないからです。

こつ
左が、座標を書き込むときの絶対のコツです。


このコツを使って、点Aに(t,t^2)と座標を書き込みます。





(3)最後に、問題文を参考に、方程式を作ります。

問題文に「△OABの面積が4である」とあります。
△OABの底辺はOBの長さの3であり、△OABの高さは点Aからy軸までの距離であって点Aのx座標と一致しますからtです。

以上より、できる方程式は
3×t÷2=4
3t=8
t=8/3

よって、点Aのy座標は、t^2ですから、64/9です。



このように、公立高校入試の関数の問題は、3つの手順、
(1)を書き込む。
(2)座標を書き込む。
(3)方程式をたてる。
で、簡単に解くことができます。



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mathematics 関数と証明(大阪府公立・22年前期理数科)

今年(22年度)の大阪府公立高校入試、前期理数科の関数の問題です。大問1の(7)として出題されました。

1(7):図において、mは関数y=x2乗のグラフを表す。A、B、C、D、Eはm22年1(7)上の点である。Aのx座標は正であり、Bのx座標はAのx座標より1大きい。Cのx座標は、Aのx座標とBのx座標との和に等しい。D、Eのx座標はともに負であり、Dのy座標はAのy座標と等しく、Eのy座標はBのy座標と等しい。AとB、BとE、EとD、DとAとをそれぞれ結んでできる四角形ABEDは台形である。台形ABEDの面積をSとする。Sの値とCのy座標とが等しいことを証明しなさい。













(解く前の準備)
関数の問題は、座標を書き込み、座標を使って解くようにつくられています。
この問題でも、与えられた条件からすべての座標を書き込んで、その座標に書き込んだ数値を用いて式をつくることができたら、必ず解けます。

さらに、この問題のように各点の座標として具体的な数値が与えられていないときは、通常は、基準になる点のx座標をとして各点の座標を表すのが原則です。

問題文が点Aを基準にして、Aから始まっていますから、点Aのx座標をtとします。

次にすることは、点Aを放物線mが通っているので、mの式y=x2乗にx=tを代入して、y座標をt2乗と見つけ、点Aに記入することです。

他の点も、問題の条件にしたがって同じように座標を記入していきます。

22年1(7)の2記入した後の図は左のようになります。

点Bのx座標は点Aのx座標より1大きいのでt+1、点Cのx座標は点A、Bのx座標の和だからt+t+1=2t+1で、それぞれのy座標はy=x2乗よりx座標の2乗です。

点D、点Eの座標も、同じように書き込んでおきます。









(証明)
それぞれの点の座標を書き込んだ図を見て、論理の飛躍がないように証明を書き進めます。

まず、点Aのx座標をtとしてそれぞれの座標がなぜそうなるのかの根拠を書きます。

次に、「Sの値とCのy座標とが等しいことを証明」するわけですが、tを用いて、Sと、Cのy座標を、別々の式で表わすと証明できます。

Sは台形ABEDの面積なので、(上底+下底)×高さ×1/2の公式にあてはめて記述します。

上底が2×(t+1)、下底が2×t、高さが(t+1)2乗−t2乗なので、
S=(2(t+1)+2t)×((t+1)2乗−t2乗)×1/2
=(4t+2)(t2乗+2t+1−t2乗)×1/2
=(4t+2)(2t+1)×1/2
=2(2t+1)(2t+1)×1/2
=(2+1)2乗

22年1(7)の3













Cのy座標は、x座標が(2t+1)で、y=x2乗のグラフ上にあるから、代入して(2t+1)2乗

以上より、Sの値と点Cのy座標とは等しい。


このように、「等しい」ことの証明は、それぞれを別々に式で表わしたあと、最後に「式が等しくなったので、だから等しい」という書き方をするのがもっとも簡単です。

mathematics 関数と整数の個数(大阪府公立・21年前期理数科)

21年度大阪府公立高校入試、前期理数科の関数の問題をとりあげます。

最近の傾向として、1番が小問7〜8題(その中で関数が出題される)、2番が平面図形、3番が空間図形という構成が多いのですが、この年は2番で関数が大問として出題されました。


2、次の問いに答えなさい。
2(1)の1(1)Aは放物線m上の点であり、そのx座標は3である。B、Cはy軸上の点であり、Bのy座標は1であって、Cのy座標はBのy座標より大きい。CとBとの距離は、AとBとの距離と等しい。このとき、2点A、Cを通る直線の式を求めなさい。ただし、x軸の1目盛りの長さとy軸の1目盛りの長さとは等しいものとする。





(解いてみる)
問題文を読んだ段階でグラフに図のような書き込みをします。
2(1)の2
点Aのx座標が3であることから、放物線y=1/4x2乗の式に代入して、y=9/4を見つけるのが先決です。

その後、直線ACの式を求めるためにはCの座標を求めなければならず、Cの座標を求めるためにはBC=ABよりABの長さを求めなければならない、という手順になります。





線分ABの長さを求めます。点AとBのx座標の違いは3、y座標の違いは9/4−1=5/4。
よって、三平方の定理を使って、
2(1)の3















BC=ABより、点Cのy座標は1+13/4=17/4だから、点C(0,17/4)です。

2点A、Cを通る直線の傾きは右に3進んで下に(17/4−9/4)=2下がるので−2/3。

以上より、直線ACの式はy=−2/3x+17/4です。


(解いた後の感想)
「x座標がわかっているとき、y座標を求める問題」、「座標上の2点の距離を求める問題」と、「2点がわかっているとき2点を通る直線の式を求める問題」の3つを組み合わせた問題です。

計算はやや複雑ですが、理数科の受験生レベルなら簡単に解けたはずだと推測できます。



(2)Pはm上の点であり、そのx座標は正の整数である。Qはx軸上の点であり、そのx座標はPのx座標と等しい。PとQとを結ぶ。Pのx座標をtとし、そのときの線分PQ上にある点(P、Qをふくむ)のうち、y座標が整数である点の個数をSとする。

2(2)の1[1]次の文中の(ア)、(イ)に入れるのに適している数をそれぞれ書きなさい。

t=5のときSの値は(ア)であり、t=6のときのSの値は(イ)である。


[2]tの値が奇数であるとき、Sの値は奇数であることを証明しなさい。







(解いてみる)
解き始める前の書き込みは図のようになります。

2(2)の2














[1]
2(2)の3




整数である点は1〜6の6個と、「整数」で点Qを含むから0の計7個。
よって、(ア)は7。

2(2)の4




整数である点は、点Pを含むから1〜9の9個と、0の計10個。
よって(イ)は10。


[2]tの値が奇数であるとき、Sの値は奇数であることを証明しなさい。

[2]tが奇数とあるから、t=2n+1と置いてみる。

点Pのy座標に代入して、
2(2)の5











n(n+1)は連続した2つの整数の積です。

nが偶数のときn+1は奇数、nが奇数であればn+1は偶数であり、いずれにしてもn(n+1)は偶数と奇数の積になります。

そして偶数と奇数の積は偶数です。

1/4は分数の部分ですから、整数の個数には関係しません。

整数の個数は、[1]で解いたことがヒントになりますが、n(n+1)に0を加えたn(n+1)+1個です。

以上より、n(n+1)が偶数なので、それより1多いSは奇数だと証明できます。



(解いた後の感想)
[1]格子点の問題と言えないこともありませんが、公立でよく出題される、答えは最初に求めた数より1多かったり1少なかったりすることを見つける問題だとも言えます。

[2]「式による説明」の問題は理数科では毎年のように出題されます。n(n+1)が偶数になることの証明も、理数科の問題でちょくちょく出てきます。

いずれにしても、理数科の過去問を練習していたら、「ああ、これか」と解ける問題ですが、人によっては難しいと感じるかもしれません。

mathematics 関数のコツは1つ(大阪府公立・20年前期理数科)

関数の入試問題は、実はたった1つの問題しかないと言ってよいくらいです。

座標のうち、一方の座標を決め、その値をその点を通るグラフの式を見つけて代入して他方の座標を表す、これでほとんどの応用問題は解けるようにつくられています。

大阪府公立高校入試、20年前期理数科の問題も例外ではありません。


1(8):図において、mはy=3/8x2乗のグラフを表す。nはy=a/x(x>0)のグラフを表す。aはa>3をみたす定数である。Aはm上の点であって、そのx座標は2である。B、Cはn上の点であって、Aのx座標とBのx座標とは等しく、Aのy座標とCのy座標とは等しい。3点、A、B、Cを結んでできる△ABCの面積が6であるとき、aの値を求めなさい。求め方も書くこと。
20年1(8)

















まず、問題文を読んでグラフに書き込めることはすべて書き込んでおきます(関数の問題の鉄則です)。
20年1(8)の2

















問題文より、点Aのx座標は2であり、点Aを放物線が通っているので、放物線の式にx=2を代表して点Aのy座標は3/2。

点Bのx座標は点Aのx座標と等しいので2、その点Bを反比例の曲線y=a/xが通っているので、曲線の式にx=2を代入して点Bのy座標はa/2。

点Cはy座標が点Aと等しいので3/2、その点Cを曲線y=a/xが通っているので曲線の式にy=3/2を代入。3/2=a/xの方程式を解いてx座標は2a/3。

次に、△ABCの底辺であるACの長さは、点Cのx座標から点Aのx座標をひいた2a/3−2。

さらに、△ABCの高さであるABの長さは、点Bのy座標から点Aのy座標をひいたa/2−3/2。

これで書き込み終了です。


すべて、一方の座標を書き込んだあと、その点を通る式を見つけてその式に一方の座標を代入して残ったもう一方の座標を求めて書き込んでいることに注目してください。


最後に、△ABCの面積が6であることを用いて方程式をたてます。

底辺×高さ×1/2=6より
(2a/3−2)×(a/2−3/2)×1/2=6

この方程式を解きます。
20年1(8)の3

















a=9が答えです。

science 地震波の伝わり方とグラフ

地震とゆれの伝わり方

地下の実際に地震が起こった場所を震源、その真上の地表の点を震央といいます。

震源では2つの性質の違う波が発生し、まわりに伝わっていきます。
伝わる速さの速いほうの波をP波といい、P波によって起こる小さなゆれを初期微動といいます。
伝わる速さの遅いほうの波をS波といい、S波によって起こる大きなゆれが主要動です。


ゆれの伝わる速さ

地震のゆれを起こすP波とS波の速さは、速さですから、距離/時間(距離(km)÷時間(秒))で求めることができます。


初期微動継続時間

速いP波がきてから遅いS波がくるまでの時間(初期微動が始まってから主要動が始まるまでの時間)を初期微動継続時間といい、初期微動継続時間は震源からの距離比例します。


以上が、今日の問題を解く際の予備知識です。

では、塾生から質問を受けた問題を取り上げて考えてみましょう。


例題1:表は、ある地震の初期微動と主要動の観測結果である。

地震の表



次の問いに答えよ。

(1)この地震のP波の速さを求めよ。
(2)この地震のS波の速さを求めよ。
(3)この地震が発生した時刻はいつか。



ヒント:速さ=距離÷時間の式がヒント。速さ=距離÷時間の式にあてはまる数値を探せばよい

解答
(1)この地震のP波の速さを求めよ。

初期微動を起こした波がP波です。

表の2地点間の距離は200−80=120km、また、2地点間の初期微動の始まった時刻の差は5:23:35−5:23:20=15秒です。

120kmの距離を進むのに15秒かかったわけですから、速さ=距離÷時間の公式より、
120÷15=8km/秒


(2)この地震のS波の速さを求めよ。

主要動を起こした波がS波ですから、主要動の始まった時刻から(1)と同じように求められます。

距離の違いは120km。
主要動の始まった時刻の差は5:24:00−5:23:30=30秒。

よって120÷30=4km/秒


(3)この地震が発生した時刻はいつか。

今度は時間を求めたらよいので、時間=距離÷速さの式を使います。

80km離れた地点ですと、P波の速さ8km/秒より、P波が届くまでの時間は80÷8=10秒。

初期微動が始まった時刻(=P波が到着した時刻)は、5:23:20。
地震が発生してから10秒たって届いたのが5:23:20だから、地震の発生時刻は5:23:20の10秒前の5時23分10秒。

80kmの地点の主要動の時刻を使って問題を解くと、S波の速さが4km/秒だから80÷4=20秒。
5:23:30の20秒前だから、5時23分10秒。

200kmの地点でも、同じように求めることができます。


例題2:図は、地震波の到着時刻と震源までの距離との関係を示したものである。
震源からの距離のグラフ






















(1)初期微動を起こす波のグラフはA、Bのどちらか。

(2)主要動を起こす波の伝わる速さを求めよ。

(3)この地震の発生時刻は何時何分何秒か。



解答
(1)初期微動を起こす波のグラフはA、Bのどちらか。
先に到着するほう、速いほうが初期微動を起こすP波ですから、AがP波、BがS波のグラフです。


(2)主要動を起こす波の伝わる速さを求めよ。
グラフの問題なので、きりのよい罫線の交点の数値を使います。
例題1と同様、速さ=距離÷時間がヒントです。

S波のグラフで、きりのよい交点2ヶ所を探すと、13:31:20に200km、13:32:10に400kmの地点を通っています。

距離400km−200km=200kmを、時間の差13:32:10−13:31:20=50秒でわればよいことがわかります。

200÷50=4km/秒です。


(3)この地震の発生時刻は何時何分何秒か。

例題1のように、きちんと計算で求めることもできます。

S波のグラフを見ると、200kmのところを13:31:20に通っています。
S波の速さは4km/秒でした。
時間=距離÷速さより、200÷4=50秒。
地震の発生時刻は13:31:20より50秒前、つまり13:30:30です。

もっと簡便な方法もあります。
グラフを延長してみればよいのです。

震源からの距離のグラフ(2)
左図を見たらわかるように、P波のグラフとS波のグラフは距離0のところで交わります。
その時刻を読みとれば、そこが地震の発生時刻です。

地震の発生時刻が13時30分30秒であることがグラフからもわかります。









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science 化学変化とグラフ(2) 発展・入試レベル

グラフを読み取って計算をする問題、昨日の基礎・基本の続きです。
今日は入試レベルの発展問題を取り上げます。


例題1:グラフは、塩酸10立方cmにいろいろ質量を変えて石灰石を入れ石灰石と塩酸たときに発生する気体の質量と石灰石の質量との関係を表したものである。次の各問いに答えよ。

(1)石灰石2.0gに塩酸10立方cmを加えたとき、反応しないで残った石灰石の質量は何gか。

(2)問い(1)で反応しないで残った石灰石をすべて反応させるには、同じ濃度の塩酸を少なくともあと何立方cm加えればよいか。小数第2位を四捨五入して答えよ。

(3)グラフで、同じ濃度の塩酸20立方cmに石灰石2.5gに加えたときに発生する気体の質量は何gか。

(4)塩酸の量を5立法cmにして石灰石を入れていくと、石灰石の質量と発生する気体の質量の関係を表すグラフはどうなるか。グラフに書き入れなさい。



(解法のポイント)
単純な比例ではなくて、途中からグラフが横軸に平行になる問題です。

この種類の問題だと、なぜそうなったのか、その理由を先に理解しておかないとあとの問題を解けません。

この問題だと、途中で発生する気体の質量が増えなくなったのは、塩酸が10立方cmしかないことが原因です。
石灰石の量がある値を超えると、石灰石をいくら増やしても石灰石と反応する塩酸がもはや存在しないので気体が発生しなくなったわけです。

次に、注目しないといけないのはグラフが折れたところ、増えなくなった点の座標です。

この問題では、石灰石1.5g気体の質量が0.6gのときが目をつける場所です。このとき、石灰石と塩酸が過不足なく完全に反応しています。

それ以前は塩酸は充分なのに石灰石が足らない場合(つまり、塩酸はまだ残っている)、それ以後は塩酸が足らなくなって余った石灰石が残っている場合です。

この、「塩酸10立方cmのとき、石灰石1.5gで発生する気体の質量が0.6g」を使って、すべての問題を解いていきます。


(1)石灰石2.0gに塩酸10立方cmを加えたとき、反応しないで残った石灰石の質量は何gか。

石灰石1.5g気体の質量が0.6gのとき」、石灰石と塩酸はどちらも余すところなく完全に反応したわけだから、残った石灰石は2.0-1.5=0.5g。


(2)問い(1)で反応しないで残った石灰石をすべて反応させるには、同じ濃度の塩酸を少なくともあと何立方cm加えればよいか。小数第2位を四捨五入して答えよ。

石灰石1.5g塩酸10立方cmのとき」完全に反応することをここでは使います。

残った石灰石は0.5g、その石灰石と反応する塩酸の体積をx立方cmとして比例式をつくります。
0.5:x=1.5:10
1.5x=5
15x=50
x=3.33・・・

よって、3.3立法cm。


(3)グラフで、同じ濃度の塩酸20立方cmに石灰石2.5gに加えたときに発生する気体の質量は何gか。

石灰石1.5g塩酸10立方cmのとき」完全に反応するわけですから、塩酸が20立方cmだと石灰石は3.0gまで反応して気体を発生させることができます。

石灰石が2.5gだと塩酸は充分足りているので石灰石は完全に反応して気体を発生します。

そして次に、「石灰石1.5g気体0.6g発生する」を利用して比例式をたてます。

発生する気体の体積をxgとすると、2.5:x=1.5:0.6
1.5x=1.5
x=1.0

答えは1.0gです。


(4)塩酸の量を5立法cmにして石灰石を入れていくと、石灰石の質量と発生する気体の質量の関係を表すグラフはどうなるか。グラフに書き入れなさい。

再び、「石灰石1.5g塩酸10立方cmのとき」完全に反応することを利用します。

5立方cmの塩酸と反応する石灰石の質量をxgとすると、x:5=1.5:10
10x=7.5
x=0.75

石灰石が0.75gまでは石灰石の質量に比例して発生する気体の質量も増加しますが、石灰石が0.75gを超えるともはや反応する塩酸が残っていないので発生する気体の量は増えません。

また、このとき発生する気体の質量をxとすると、0.75:x=1.5:0.6
1.5x=0.45
x=0.3

石灰石が0.75gのとき、発生する気体の質量は0.3gだとわかります。

以上より、次のようなグラフになります。
石灰石と塩酸(2)














では、実際の入試問題に挑戦してみましょう。

例題2:5本の試験管にn%の塩酸を10gずつとり、それぞれに0.2g、0.4g、0.6g、0.8g、1.0gのマグネシウムを加えて完全に反応させた。Mgと塩酸グラフは、そのとき発生した水素の体積をはかり、グラフにしたものである。

(1)この実験で、マグネシウムが過不足なく完全に反応したのはマグネシウムを何g加えたときか。

(2)3.0gのマグネシウムを完全に反応させるには、塩酸を何g入れる必要があるか。

(3)この塩酸の濃度を2倍にしたとき、マグネシウム0.4gから発生する水素の体積は何立方cmか。

(4)2n%の塩酸15gにマグネシウムを2.0g加えて完全に反応させると、水素は何立方cm発生するか。



(解法のポイント)
まず、途中からグラフが折れて横軸に平行になったのはなぜか、その理由をわかること。
マグネシウムが0.6gを超えると、塩酸が足らなくなったからです。

次に、n%塩酸10gとき、マグネシウム0.6gで発生する水素600立方cmであることを使って問題を解くことを徹底すること。


(1)この実験で、マグネシウムが過不足なく完全に反応したのはマグネシウムを何g加えたときか。

「マグネシウム0.6gで発生する水素600立方cmのとき過不足なく反応しているわけだから、答えは0.6g。


(2)3.0gのマグネシウムを完全に反応させるには、塩酸を何g入れる必要があるか。

塩酸10gとき、マグネシウム0.6g」を使って比例式をたてます。

塩酸の質量をxgとすると、x:3.0=10:0.6
0.6x=30
6x=300
x=50

答えは50g。


(3)この塩酸の濃度を2倍にしたとき、マグネシウム0.4gから発生する水素の体積は何立方cmか。

n%塩酸10gとき、マグネシウム0.6gまでは、マグネシウムは完全に反応しています。言い換えると、塩酸は充分足りています。
マグネシウムが0.4gだと、n%の塩酸でも足りているので、濃度を2倍にしても影響はありません。

マグネシウム0.6gで発生する水素600立方cmである」ことから、水素の体積をxにして方程式をたて、0.4:x=0.6:600
0.6x=240
6x=2400
x=400

答えは400立方cmです。


(4)2n%の塩酸15gにマグネシウムを2.0g加えて完全に反応させると、水素は何立方cm発生するか。

n%塩酸10gとき、マグネシウム0.6gで発生する水素600立方cmであること」のすべてを使って考えていきます。

塩酸の濃度が2倍になったら、半分の量でもとの濃度の塩酸と同じ働きをします。逆にいうと、2n%の塩酸15gは、n%の塩酸30gと同じ働きをするということです。
(わかっているのはn%の塩酸のときなので、このようにn%の塩酸に換算して考えるのがコツです。)

次に、2n%の塩酸15g(=n%の塩酸30g)と反応するマグネシウムの質量を、「n%塩酸10gとき、マグネシウム0.6gを使って比例式をたてて求めます。
反応するマグネシウムの質量をxgとすると、n%の塩酸30gと反応するマグネシウムの量は30:x=10:0.6
10x=18
x=1.8g

つまり、マグネシウムを2.0g加えても1.8gしか反応しない、塩酸が足りなくなって0.2gのマグネシウムは反応しないで残ったままだということがわかります。

最後に、1.8gのマグネシウムで発生する水素の体積をxとし、「マグネシウム0.6gで発生する水素600立方cm」を使い比例式をつくります。
1.8:x=0.6:600
0.6x=1080
6x=10800
x=1800

1800立方cmが答えです。




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science 化学変化とグラフ(1) 基礎・基本

高校入試によく出る理科の問題の一つに、グラフを読みとってから計算をして解く問題があります。
苦手な受験生が多く、よく質問を受けます。


例題1:グラフは、銅を酸素と化合させたときの銅の質量とできた酸化銅の質量の関係を表わしたものである。これについて、次の問いに答えなさい。
銅と酸素の化合(1)
(1)2.8gの銅がすべて酸化銅になったとき、できた酸化銅の質量は何gか。

(2)銅と酸素が化合して酸化銅ができるとき、銅と酸化銅の質量の割合を最も簡単な整数の比で表せ。

(3)2.4gの銅と化合する酸素の質量を求めよ。

(4)銅の質量と化合した酸素の質量の関係を表すグラフを左のグラフに書き加えよ。




(解き方のポイント)

(1)2.8gの銅がすべて酸化銅になったとき、できた酸化銅の質量は何gか。

グラフの問題では、まず、グラフのマス目の交点を通っている、きりのよい数字を見つけます。
このグラフでは、銅が0.4gで酸化銅が0.5gのときか、銅が0.8gで酸化銅が1.0gのときです。この問題の場合、どちらでもかまわないので、数字の小さい(計算が楽なので)、銅0.4gで酸化銅0.5gを見つけておくのがよいと思います。

次に、グラフは原点を通る直線、つまり比例のグラフです。
中学生の理科では、できるだけ比例式を用いて解くべきです。

(化学変化では、銅と、反応する酸素、できる酸化銅の質量の比は、つねに一定です(定比例の法則)。その意味でも、比例式で解くべきです。)

求めたい酸化銅の質量をxとして、銅と酸化銅の比は0.4:0.5だから、
2.8:x=0.4:0.5・・・比例式をたてる
0.4x=1.4・・・比例式なので、内項(内側の項)の積=外項(外側の項)の積
4x=14・・・方程式として解く
x=3.5

答えは3.5gです。


(2)銅と酸素が化合して酸化銅ができるとき、銅と酸化銅の質量の割合を最も簡単な整数の比で表せ。

つねに同じ比になるので、0.4:0.5=4:5


(3)2.4gの銅と化合する酸素の質量を求めよ。

今度は、酸化銅ではなくて、銅と結びついた酸素の質量を求める問題です。

やはり、グラフで見つけておいた、銅0.4gのとき酸化銅0.5gを利用します。

銅+酸素→酸化銅であり、他から加わったり、他に逃げたりするものはありませんから、銅が0.4gで酸化銅が0.5gできたということは、銅と結びついた酸素の質量は0.5−0.4=0.1gだということです。

銅0.4gと反応した酸素は0.1gだから、求める酸素の質量をxとして比例式をつくって、
2.4:x=0.4:0.1
0.4x=0.24
40x=24
x=0.6

答えは0.6gです。

(小数の続くのが煩雑だと感じる人は、0.4:0.5を先に10倍して4:5にしてから式をたててもかまいません。)


(4)銅の質量と化合した酸素の質量の関係を表すグラフを左のグラフに書き加えよ。

銅と酸素の化合(3)銅0.4gと結びついた酸素の質量は0.1gでしたから、横軸の銅の目盛りが0.4のとき、縦軸の酸素の目盛り0.1gの場所に点を打ち、両者が比例するので、原点を通る直線を書き入れます。













ここまでの要点をまとめておきます。

・グラフの問題では、グラフのマス目の交点にあたるキリのよい数字を見つけておく

・直線のグラフであれば比例式をたてて解く

・グラフの横軸、縦軸が何を表しているのかを確認してから解く



では、ややむずかしくした問題で練習です。

例題2:
グラフは、銅を酸素と化合させたときと、マグネシウムを酸素と化合させたときの質量の関係を表わしたものである。これについて、次の問いに答えなさい。
銅・マグネシウムの化合
(1)2.4gの銅と、2.4gのマグネシウムをそれぞれ酸素と化合させると、何gの酸化銅、酸化マグネシウムが得られるか。

(2)1.0gの酸化銅、1.0gの酸化マグネシウムと化合している酸素はそれぞれ何gか。

(3)0.4gの酸素と化合する銅とマグネシウムの質量はそれぞれ何gか。

(4)3.0gの酸化銅、3.0gの酸化マグネシウムを得るためには、銅とマグネシウムをそれぞれ何gの酸素と化合させればよいか。


(解き方のポイント)

やはり最初に、キリのよい数字を見つけておきます。
銅は0.4gで酸化銅が0.5gできているところ、マグネシウムはマグネシウム0.6gで酸化マグネシウムが1.0gのところを使います。

(1)2.4gの銅と、2.4gのマグネシウムをそれぞれ酸素と化合させると、何gの酸化銅、酸化マグネシウムが得られるか。

酸化銅をxとすると、2.4:x=0.4:0.5
0.4x=1.2
4x=12
x=3.0・・・他の数値と同じ、小数第1位まで必要です。

できる酸化銅は3.0g。

酸化マグネシウムをxとして、2.4:x=0.6:1.0
0.6x=2.4
6x=24
x=4.0

できる酸化マグネシウムは4.0g。


(2)1.0gの酸化銅、1.0gの酸化マグネシウムと化合している酸素はそれぞれ何gか。

0.4gの銅で0.5gの酸化銅ができるとき、銅と結びついた酸素は0.1g。
0.6gのマグネシウムで1.0gの酸化マグネシウムができるとき、マグネシウムと結びついた酸素は0.4g。
この数値を使います。

酸化銅0.5gのとき化合した酸素は0.1gだから、銅と化合した酸素をxとすると、1.0:x=0.5:0.1
0.5x=0.1
5x=1
x=0.2
0.2g

酸化マグネシウム1.0gのとき化合した酸素は0.4gだから、マグネシウムと化合した酸素をxとすると、1.0:x=1.0:0.4
0.4g


(3)0.4gの酸素と化合する銅とマグネシウムの質量はそれぞれ何gか。

銅の質量をxとすると、0.4:x=0.1:0.4
0.1x=0.16
10x=16
x=1.6
銅は1.6g

マグネシウムの質量をxとすると、0.4:x=0.4:0.6
x=0.6g
マグネシウムは0.6g


(4)3.0gの酸化銅、3.0gの酸化マグネシウムを得るためには、銅とマグネシウムをそれぞれ何gの酸素と化合させればよいか。

酸素と酸化銅の比は0.1:0.5、酸素と酸化マグネシウムの比は0.4:1.0でした。

酸化銅のとき、酸素をxとすると、x:3.0=0.1:0.5
0.5x=0.3
5x=3
x=0.6
銅は0.6g

酸化マグネシウムのとき、酸素をxとすると、x:3.0=0.4:1.0
x=1.2
マグネシウムは1.2g



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