math 大阪府２３年後期Ｂ 大問２ 空間図形

平成23年度、大阪府公立高校入試後期Ｂの問題は、いつもの年より難しかった印象があります。
得点も低く、上位校の受験生でも、80点満点中40点を超えれば上出来だったようです。

その中でも特に解きにくかったのが大問の二、空間図形の問題でした。
この問題を見て、うんざりした受験生も多かったのではないでしょうか。


大問２：図１〜図３の立体は、点Pを中心とする半径3cmの円Pと点Qを中心とする半径3cmの円Qを底面とし、高さが9cmの円柱である。直線PQは底面に垂直である。
円周率をπとして、次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむかたちになる場合は、その形のままでよい。
（１）図１、図２において、Rは線分PQ上にあって、P,Qと異なる点である。点Rを中心とする円Rは半径が3cmであり、円Rをふくむ平面は円柱の底面と平行である。四角形ABCDは、AB=DC=8cm、BC=AD=4cmの長方形である。B,Cは、円Pの周上にあって、A,Dは円Rの周上にある。Sは、長方形ABCDの対称の中心であり、線分PQ上にある。Eは、Dを通り直線PQに平行な直線と円Pとの交点である。BとEとを結ぶ。このとき、直線DEは円Pをふくむ平面と垂直であり、線分BEは円Pの直径である。

[1]図１において、

（ア）円Pと円Qを底面とする円柱の表面積を求めなさい。

（イ）線分DEの長さを求めなさい。求め方をも書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。




[2]図２において、Fは、辺BCの中点である。SとFとを結ぶ。Gは、Pから線分SFにひいた垂線と線分SFとの交点である。線分PGの長さを求めなさい。



















（２）図３において、Tは線分PQ上にあって、P,Qと異なる点である。点Tを中心とする円Tは半径が3cmであり、円Tをふくむ平面は円柱の底面と平行である。立体HIJ-KLMは三角柱である。△HIJは、∠JHI=90°、HJ=HI=2cmの直角二等辺形である。△HIJ≡△KLMである。四角形HKLI,JMLI,JMKHはすべて長方形であって、長方形HKLI≡四角形JMKHである。HK=8cmである。K,Mは円Pの直径上にあって、KP=MPである。H,Jは、円Tの周上にある。このとき、平面HKLIは円柱の底面に垂直である。Nは、円Tをふくむ平面と辺ILとの交点である。NとH、NとJとをそれぞれ結ぶ。このとき、△JHNは、∠JHN=90°の直角三角形である。三角すいI-JHNの体積を求めなさい。













（解き方と解答）
[1]図１において、

（ア）円Pと円Qを底面とする円柱の表面積を求めなさい。

基本的な問題なので、きちんと正解して点をとっておかないといけません。

表面積＝底面積＋側面積と考えて、一つずつ落ち着いて解いていきます。

まず、底面積から求めます。
半径3cmの円が上と下に２つあるので、
(3×3×π)×2=18π
です。

次に側面積を求めます。
展開図をかいたとき、縦が9cm、横が底面の円周と等しい3×2×π=6πの長方形となりますから、
9×6π=54π
です。

よって、18π+54π=72π平方cmとなります。


（１）図１、図２において、・・・四角形ABCDは、AB=DC=8cm、BC=AD=4cmの長方形である。・・・Sは、長方形ABCDの対称の中心であり、・・・。
[1]図１において、
（イ）線分DEの長さを求めなさい。求め方をも書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。


図がわかりにくいので、早合点しないで、きちんと根拠を考えながら解いていく必要があります。

まず、△DBCは∠DCB=90°の直角三角形だから、三平方の定理よりDB^2=4^2+8^2
DB^2=16+64
DB^2=80
DB>0より、
DB=4√5

次に、△DEBは∠DEB=90°の直角三角形だから、三平方の定理より
DE^2+6^2=(4√5)^2
DE^2+36=80
DE^2=44
DE>0より、
DE=2√11


[2]図２において、Fは、辺BCの中点である。SとFとを結ぶ。Gは、Pから線分SFにひいた垂線と線分SFとの交点である。線分PGの長さを求めなさい。

空間図形の問題を考える際のコツは、『求めないといけない辺がふくまれている平面を見つけて、平面で考える』です。

この問題では、△SPFがその平面です。

まず、[1]で求めたDE=2√11と「Sは、長方形ABCDの対称の中心」より、SP=√11です。

同様に、AB=DC=8cmより、SF=4cmです。

以上より、△SPFは∠SPF=90°の直角三角形だから、三平方の定理より、
(√11)^2+PF^2=4^2
11+PF^2=16
PF^2=5
PF>0より、
PF=√5

そのあと、公立高校入試でしばしば出題される、『同じものの面積（または体積）を２通りの方法で表わして方程式をたてる』で解いていきます。

△SPFの面積を求める式を２通り考えます。

SFを底辺、PGを高さと見ると、△SPFの面積を求める式は、
4×PG×1/2

∠SPF=90°だから、PFを底辺、SPを高さと考えると、△SPFの面積を求める式は、
√5×√11×1/2

この2つの式は、ともに△SPFの面積を求める式で等しいから、
4×PG×1/2=√15×√11×1/2
4PG=√55
よって、PG=√55/4cm


最後に、さらにややこしい問題が待っています（私は次の問題を解くのに１週間かかりました）。

（２）・・・立体HIJ-KLMは三角柱である。△HIJは、∠JHI=90°、HJ=HI=2cmの直角二等辺 形である。・・・HK=8cm である。・・・KP=MPである。・・・△JHNは、∠JHN=90°の直角三角形である。三角すいI-JHNの 体積を求めなさい。

まず、△HPKは∠HKP=90°の直角三角形だから、三平方の定理より、
HP^2=1^2+8^2
HP^2=1+64
HP^2=65
HP>0より、
HP=√65

次に、点Hから底面の円Pに垂線をひき、円Pの円周との交点を点Oとします。

△HOPが∠HOPの直角三角形で、OP=3cm（半径）だから、
HO^2+3^2=(√65)2
HO^2+9=65
HO^2=56
HO>0より、
HO=2√14

次に、△HOKが、∠HOK=90°の直角三角形だから、
OK^2+(2√14)^=8^2
OK^2+56=64
OK^2=8
OK>0より、
OK=2√2

最後に、∠IHN=∠OHK=90°-∠NHK、∠HIN=HOK=90°より△HIN∽△HOKだから、
2√14：2=2√2：IN
この式を解いて、IN=2√7/7

以上より、三角すいI-JHNの体積は、
底面積×高さ×1/3
=2×2×1/2×2√7/7×1/3
=4√7/21


こんなに手間がかかるはずはないので、もっとずっと簡単な解き方があるか、私の解き方のどこかが間違っているかのどちらかだと思うのですが、どなたか教えていただければありがたいです。


10時間後の追記：自分の書いたものを見て、思いつきました。

まず、△OKPは∠OKP=90°の直角三角形だから、三平方の定理より
OK^2+1^2=3^2
OK^2+1=9
Ok^2=8
OK>0より、
OK=2√2

次に、∠HOK=90°の直角三角形HOKで、三平方の定理より、
HO^2+(2√2)^2=8^2
HO^2+8=64
HO^2=56
HO>0より、
HO=2√14

次に、∠IHN=∠OHK=90°-∠NHK、∠HIN=HOK=90°より△HIN∽△HOKだから、
2√14：2=2√2：IN
この式を解いて、IN=2√7/7

以上より、三角すいI-JHNの体積は、
底面積×高さ×1/3
=2×2×1/2×2√7/7×1/3
=4√7/21

だいぶ「まし」になりましたが、もっといい解き方がありそうな気もします。



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math 大阪府２３年後期Ｂ 大問４ 平面図形

平成23年度後期Ｂ問題・平面図形の問題は、暗記カードをモデルにした問題でした（例年と同様、暗記カードであることは問題を解くのに関係ありません）。



大問４：図１において、四角形ABCDはAB=6cm、AD=11cmの長方形である。Iは、辺ABの中点である。Pは、長方形ABCDの内部の点であって、Iを通り辺ABに垂直な直線上にあり、PI=2cmである。このとき、AD//IPである。線分PJと四角形EFGHとは、それぞれ線分PIと長方形ABCDとを点Pを中心として同じ向きに同じ角度だけ回転させたものである。このとき、PI=PJ、長方形ABCD≡長方形EFGHである。Gは、直線EHについてAと反対側ににあって、直線ADについてCと反対側にある。K,L,M,Nは、それぞれ辺ABと辺EF、辺ABと辺EF、辺BCと辺EF、辺ADと辺FGとの交点である。このとき、Pは直線LN上にある。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。

（１）PとCとを結んでできる線分PCの長さを求めなさい。


（解き方と解答）
まず、問題を読んで必要なことを図にかき込んでおきます。

かき込んだ図をながめて、どうやって解くかの方針を立てます。

図形の問題ですから、解くのに使う道具は『相似』か『三平方の定理』です。

図をながめると、Pから辺BCに垂線をひくことで、三平方の定理が使えることに気づきます。





三平方の定理より、PC^2=3^2+9^2
PC^2=9+81
PC^2=90
PC>0より、
PC=√90
PC=3√10














（２）次の「証明」は、まず、△PIL≡△PJLであることを証明してから、IL=JLであることを示し、その後、IL=JLであることを用いて△KEL≡△MBLであることを証明したものである。次の「証明」における（　）から適しているものを一つ選び、記号を書きなさい。また、「証明」における（ｂ）の部分に△KEL≡△MBLであることの証明を書き加え、「証明」を完成させなさい。

「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL（共通）・・・（あ）
PI=PJ（仮定）・・・（い）
∠PIL=∠PJL=90°（仮定）・・・（う）
（あ）（い）（う）より、（　ア　直角三角形の斜辺と他の１辺　　イ　直角三角形の斜辺と一つの鋭角　　ウ　２辺とその間の角　）
がそれぞれ等しいから　△PIL≡△PJL
よって　IL=JL
（　　　　　b　　　　　）


（解答）

「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL（共通）・・・（あ）
PI=PJ（仮定）・・・（い）
∠PIL=∠PJL=90°（仮定）・・・（う）
（あ）（い）（う）より、（　ア　直角三角形の斜辺と他の１辺　　イ　直角三角形の斜辺と一つの鋭角　　ウ　２辺とその間の角　）（正解はア）
がそれぞれ等しいから　△PIL≡△PJL
よって　IL=JL
（　b　△KELと△MBLにおいて、
対頂角は等しいから、∠KLE=∠MLB・・・（１）
長方形の角だから、∠KEL=∠MBL・・・（２）
また、BI=3cm、EJ=3cm
IL=JLだから、
EL=EJ-JL、BL=BI-ILより、EL=BL・・・（３）
（１）（２）（３）より、１辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△KEL≡△MBL ）


（３）EL=2cmであるときの線分ANの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

（解き方と解答）
また、図に必要な数値をかき込みます。

特に、求めるANにxとかき込むのが大事です。
xをかき込むことで、△LPI∽△LNAを利用できることがわかります。

（求め方）
El=2cmであり、△KEL≡△MBLだから、BL=2cm
よって、IL=1cm
IP//ANだから、IP：AN=LI：LA
2：x=1：1+3
2：x=1：4
x=8cm




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mathematics 空間図形 よく出る三平方の定理の問題（大阪府公立・２２年前期理数科）

大阪府公立高校入試、２２年度前期理数科、最後の大問、空間図形の問題です。
大阪府公立高校入試でしばしば出てくる、三平方の定理を使った典型的な問題がまた顔を出しています。


３：図１、図２において、立体ＡＢＣ−ＤＥＦは八つの平面で囲まれてできた立体である。平面ＡＢＣと平面ＤＥＦは平行である。△ＡＢＣと△ＤＥＦはともに１辺の長さが２ｃｍの正三角形である。△ＡＥＦ、△ＦＢＡ、△ＢＦＤ、△ＤＢＣ、△ＣＥＤ、△ＥＣＡはすべて合同な二等辺三角形であり、ＡＦ＝ＦＢ＝ＢＤ＝ＤＣ＝ＣＥ＝ＥＡ＝４ｃｍである。このとき、Ａ、Ｆ、Ｄ、Ｃは同じ平面上にあり、四角形ＡＦＤＣは長方形である。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。
（１）図１において、Ｇは辺ＡＣの中点であり、Ｈは辺ＦＤの中点である。ＧとＨとを結ぶ。ＩはＢから線分ＧＨにひいた垂線と線分ＧＨとの交点である。
[1]ＢとＧとを結んでできる線分ＢＧの長さと、ＢとＨとを結んでできる線分ＢＨの長さをそれぞれ求めなさい。
[2]線分ＢＩの長さを求めなさい。求め方も書くこと。
















（解く前の準備）
問題文中に出てきた数値は、問題を解くときに使いそうな場所にできるだけ多く（ただし、じゃまにならない場所に）書き込んでおくのがコツの１つです。


（解き方）
[1]ＢとＧとを結んでできる線分ＢＧの長さと、ＢとＨとを結んでできる線分ＢＨの長さをそれぞれ求めなさい。


△ＢＡＣは正三角形なので各辺の比は１：２：√３。
よって、ＢＧ＝√３。




三角形ＢＦＤは二等辺三角形であり、△ＢＦＨは直角三角形だから、三平方の定理を使って、ＢＨ＝√（１６−１）＝√１５。








[2]線分ＢＩの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

（解き方）
[1]に続く[2]ですから、必ず[1]を使います。

さらに、空間図形の問題も、解くときは平面で考えることが鉄則、△ＢＧＨを使って解いていきます。

そのことに気づけば、大阪府公立入試でよく出る、３辺の長さがわかっている三角形の高さを求める問題だと気づくことができます。

この場合、ＢＩの長さをたずねていますが、ＢＩを求めようとすると中学生にはやや難し過ぎます。

ＧＩのほうをｘ、ＩＨを（４−ｘ）としてＧＩを求め、その後ＢＩを求めます。

直角三角形ＢＧＩと直角三角形ＢＩＨで、三平方の定理を使ってＢＩ2乗の長さを２通りの式で表わし、それを方程式にして解いていきます。































さらに、直角三角形ＢＧＩで三平方の定理を使って、


















ＢＩ＝√１１／２です。



（２）図２において、Ｊは辺ＡＥ上にあってＡ、Ｅと異なる点であり、Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、Ｏはそれぞれ辺ＡＦ、ＢＦ、ＢＤ、ＣＤ，ＣＥ上にあってＡＪ＝ＡＫ＝ＢＬ＝ＢＭ＝ＣＮ＝ＣＯとなる点である。このとき、６点Ｊ、Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、Ｏは同じ平面上にある。また、６点Ｊ、Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、Ｏを結んでできる六角形ＪＫＬＭＮＯはすべての内角の大きさが等しく、ＪＫ＝ＬＭ＝ＮＯ、ＫＬ＝ＭＮ＝ＯＪである。ＡＪ＝ｘｃｍとし、０<ｘ<４とするとき、六角形ＪＫＬＭＮＯの面積をｘを用いて表しなさい。

（解き方）
図をながめて、△ＡＪＫ∽△ＡＥＦ、△ＡＦＢ∽△ＫＦＬに気づいてください。

相似を使って、ＪＫ、ＫＬの長さを求めることができるはずです。

さらに、問題文中の「六角形ＪＫＬＭＮＯはすべての内角の大きさが等しく」から、それぞれの内角が１２０度であることも使えることがわかります。





そうすると、求めたい六角形ＪＫＬＭＮＯは左図のような、大きい正三角形から小さい正三角形を切り落とした形になるはずです。

何とか解けるめどがたったので、正確に、ＪＫ、ＫＬの長さから求めていきましょう。

相似を使って、ＪＫ：ＥＦ＝ＡＪ：ＡＥ
ＪＫ：２＝ｘ：４
よって、ＪＫ＝ｘ／２

また、ＫＬ：ＡＢ＝ＫＦ：ＡＦ
ＫＬ：２＝４−ｘ：４
よって、ＫＬ＝（４ーｘ）／２

以上より、大きい正三角形の１辺は、ｘ／２＋２×（４−ｘ）／２＝−ｘ／２＋４

また、大きい正三角形の高さと小さい正三角形の高さは、１：２：√３を使って求めることができます。



















求める六角形の面積は、−√３／８ｘ2乗＋√３／２ｘ＋√３です。


こんな問題を解かないといけない理数科の受験生は大変ですね（私の解き方が下手なだけで、もっと簡単な方法があるのかもしれませんが、私はこの方法しか思いつきませんでした）。

mathematics 平面図形への書き込み（大阪府公立・２２年前期理数科）

大阪府公立高校入試、２２年度前期理数科の問題を取り上げます。
大問１で７問か８問の小問、大問２が平面図形、大問３が空間図形というのが最近の傾向です。
この稿で取り上げるのは平面図形です。

今日のテーマは「解く前の書き込みで、解けるかどうかが決まる」です。


２：図１、図２において、四角形ＡＢＣＤはＡＢ＝２６ｃｍ、ＡＤ＝２０ｃｍの長方形であり、四角形ＥＦＧＨは１辺の長さが１３ｃｍの正方形である。Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＡＤ、ＡＢ上にあって、Ｇ、Ｈは長方形ＡＢＣＤの内部にある。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。
（１）図１において、ＩはＧから辺ＡＢににひいた垂線と辺ＡＢとの交点でありＪはＧから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点である。
[１]△ＥＡＦ≡△ＦＩＧであることを証明しなさい。
[２]ＡＦ＝４ｃｍであるときの線分ＧＪの長さを求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。
















[１]△ＥＡＦ≡△ＦＩＧであることを証明しなさい。

（解法）
解く前に必要な事項をどれだけ上手に書き込むかで解けるかどうかが決まります。

大阪府公立高校の入試問題の特徴として、
（１）問題文で与えられた数値を図の必要なところに複数書き込んでおく
（２）直角三角形があるとき、直角以外の角に丸や×の印をつけておくと解き方が見えてくる
の、２つを知っておくと得点力が違ってきます。


（証明）
△ＥＡＦと△ＦＩＧにおいて、
四角形ＥＦＧＨが正方形だからＥＦ＝ＦＧ・・・（１）
長方形の角だから∠ＥＡＦ＝９０度
仮定より∠ＦＩＧ＝９０度
よって、∠ＥＡＦ＝∠ＦＩＧ・・・（２）
次に、∠ＩＦＧ＝１８０度−∠ＡＦＥ−∠ＥＦＧ
＝１８０度−∠ＡＦＥ−９０度
＝９０度−∠ＡＦＥ
また、∠ＡＥＦ＝１８０度−∠ＥＡＦ−∠ＡＦＥ
＝１８０度−９０度−∠ＡＦＥ
＝９０度−∠ＡＦＥ
よって∠ＩＦＧ＝∠ＡＥＦ・・・（３）
（１）（２）（３）より、直角三角形で斜辺と１つの鋭角が等しいから
△ＥＡＦ≡△ＦＩＧ

直角三角形で、丸をつけた角と×をつけた角の和が９０度になることをしばしば使います。
証明が書きやすいようにあらかじめ印をつけておくと簡単に気づくことができます。


[２]ＡＦ＝４ｃｍであるときの線分ＧＪの長さを求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。

（解法）
あらかじめ知っておいたほうがよい予備知識として、大阪府公立高校入試数学の大問では、（１）[1][2]、（２）[1][2]という問題構成のとき、（１）と（２）の問題の間にはほとんど連続性や関連性はありません。
逆に（１）[1][2]の[1]と[2]はつながった問題です。
よく授業中冗談で言うのですが、[1]と[2]は連続もののテレビドラマですから、[1]を見ておかないと[2]を理解できません。

この問題もまさにそうで、[1]の合同の証明を使って、[2]を解いていきます。
具体的には、ＡＦ＝４ｃｍと問題文に書いてあるのでＡＦに４を書き込んだ後、[1]で合同を証明したことからＩＧにも４と書き込んでおきます。
それさえ準備しておいたら、三平方の定理を使ってＦＩの長さを求められることに気づきますから、解き方が見えてきます。

（求め方）
△ＥＡＦ≡△ＦＩＧより、ＩＧ＝ＡＦ＝４
△ＦＩＧで∠ＦＩＧ＝９０度、ＩＧ＝４、ＦＧ＝１３より、三平方の定理を使って












ＡＦ＝４、ＦＩ＝３√１７より、
ＩＢ＝２６−４−３√１７
＝２２−３√１７

∠ＧＩＢ＝∠ＧＢＪ＝∠ＧＩＢ＝９０度だから長方形ＩＢＪＧは長方形である
よって、ＩＢ＝ＧＪ

したがって、ＧＪ＝２２−３√１７


（２）図２は、ＡＦ＝１２ｃｍであるときの状態を示している。
図２において、Ｋは辺ＥＦ上にあってＥ、Ｆと異なる点である。Ｌは辺ＧＨ上にあってＧ、Ｈと異なる点である。ＫとＬとを結ぶ。Ｍは、Ｌから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点である。ＫＬ//ＢＣであって、四角形ＦＧＬＫの面積が６５平方ｃｍであるとき、線分ＬＭの長さを求めなさい。

（解法）
ＡＦ＝１２を書き込むだけでなく、直角三角形で５：１２：１３ができているのでＡＥ＝５も書き入れておきます。
ＥＦ＝ＦＧ＝ＥＨ＝１３も使う可能性があるので記入、その図をながめて、どうやって解こうかと考察します。

ＦＧ＝１３の書き込みから、Ｇを通りＢＣに平行な線を書き込めばそこにも５：１２：１３ができること、Ｆを通り、ＢＣに平行な線を書き、ＨＧとの交点をＮとして、その線で四角形ＦＧＬＫの面積をわけて考えたら解けるのではないかということ等を思いつきます。

最後に、求めるＬＭ＝ｘとおいて、やっと解き始めることができます。

（解答）
△ＦＧＮは∠ＦＧＮ＝９０度、∠ＦＮＧ＝∠ＥＦＮ＝∠ＡＥＦより△ＡＦＥと相似。

よって、ＦＮ：ＥＦ＝ＦＧ：ＡＦだから
ＦＮ：１３＝１３：１２
ＦＮ＝１６９／１２

四角形ＦＧＬＫ＝△ＦＧＮ＋四角形ＫＦＮＬ
＝（１６９／１２）×５×（１／２）＋（１６９／１２）×（ｘ−５−９）

この面積が６５であるから方程式にして、
（１６９／１２）×５×（１／２）＋（１６９／１２）×（ｘ−１４）＝６５

すぐに筆算をしないで、計算が楽になるように工夫しながら解いていかないと、時間ばかりかかり、計算ミスも増えてしまいます。















ＬＭ＝４１９／２６です。


（最後に）
平面図形の最後の問題は、毎年一番難儀な問題です。
あることに気づき、解くための補助線を書き込まないと、まず解けません。
解き方を思いつかなかったら後回しにして、さっさと次の空間図形の問題にとりかかるべきです。

もう１つ、理数科の問題では出題される計算問題は毎年たった１問です。そのかわりに、後の関数や図形の問題で計算力を試されます。
計算力とは、暗算力や筆算力ではありません。
すぐに筆算をするのが最も愚策、工夫して式を簡単にし、速く正確に解いていかないと得点が伸びません。

mathematics 平面図形は相似と三平方にしぼる（大阪府公立・２１年前期理数科）

２１年度大阪府公立高校の前期入試理数科、３番の平面図形の問題です。

この稿のテーマは、「図形の問題は相似か三平方の定理にしぼって解く」です。


３、図１、図２において、四角形ＡＢＣＤはＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝２ｃｍの長方形である。Ｅは、辺ＡＢの中点である。Ｆは、辺ＤＣ上にあってＤと異なる点であり、ＤＦ＜ＡＥである。四角形ＰＱＦＲ≡四角形ＡＥＦＤである。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。


（１）図１において、Ｑは直線ＤＣ上にあってＦについてＣと反対側にあり、Ｐは直線ＤＣについてＡと反対側にある。Ｓは、Ｐから直線ＢＣにひいた垂線と直線ＢＣとの交点である。線分ＥＦの長さをｘｃｍとし、そのときの線分ＣＳの長さをｙｃｍとする。


[1]次の文中（ア）、（イ）に入れるのに適している数をそれぞれ書きなさい。

ｘの変域は（ア）＜ｘ＜（イ）である。

[2]ｙをｘの式で表しなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。








（解いてみる）
問題文を読んで、解く前に書き込みをしておいたのが下の図です。問題文に書いてあることだけでなく、書いてあることからわかることも書き込みをしておきます。


[1]
ＤＦ＜ＡＥという条件にあてはまるようにｘを考えます。

ｘが一番小さくなるのは、点Ｆが点Ｅのほぼ右にきたときです。それより下だとＤＦ＜ＡＥの条件に反します。
このとき、ｘは２に近づきます。

ｘが一番大きくなるのは、点Ｆが点Ｄに重なる直前です。
このときのｘは線分ＤＥの長さから求められます。
△ＡＥＤが直角三角形なので、三平方の定理よりＤＥ＝√１３。

以上より、２＜ｘ＜√１３。

（ア）は２、（イ）が√１３です。

[2]

もともとのｘとｙはずいぶん離れた場所にあって両者の関連性を見い出さないので、すぐに式をつくることはできません。ｘ、ｙと等しい場所を他に見つける必要があります。

問題文に「四角形ＰＱＦＲ≡四角形ＡＥＦＤ」とあるので、ＱＦ＝ｘを書き込んでおきます。

図形の問題を解くのに使える道具は『相似』と『三平方』です。
使える道具が限られているので、私なら、「相似か三平方を使うにはどうしたらよいか」の観点から考えます。
さらに、相似にしろ三平方の定理にしろ、使える図形は三角形しかありません。

この問題でも、おそらくＱＦ＝ｘを使うであろう、だからＱＦを含む三角形で考えてみよう、このような発想で解いていきます。

そう考えて、Ｆを通りＲＰに平行な線分を書き込み、長さの２を書き入れます。
そうすると、Ｐを通り下のＣＳに平行な直線をかいてもう一つ三角形を作図し、ｙと記入したら解けるのではないかと思いつくことができます。

２つの三角形は、∠ＦＱＰが共通で、ともに９０度の角をもつので、２組の角がそれぞれ等しい相似です。

ここまできたらもう解けたも同然、相似な図形の対応する辺の比は等しいので、ＱＦ：ＱＰ＝２：ｙ
ｘ：３＝２：ｙ
ｘｙ＝６
ｙ＝６／ｘ


（別の解き方）

府教育委員会の模範解答は違う解き方をしています。

私と同じ書き込みに加えて、さらにＦとＰを結ぶ線を書き込んで、△ＱＦＰの面積を２通りの方法で表して等式（方程式）を立てています。
底辺をＱＦと見ると、面積はｘ×ｙ×１／２、底辺をＱＰと見ると面積は３×２×１／２、
ｘｙ＝６
ｙ＝ｘ／６
と解いています。

解答を見ると、「ああ、そうか」と思えますし、よく出る「面積を２通りに表して方程式を立てる」という解法ではありますが、私が受験生だったとして、ＦＰを結ぶ線を思いつくかどうか、自信がありません。


（解いた後の感想）
[1]ＤＦ＜ＡＥという条件から、ｘの変域を導く問題です。三平方の定理を使いますが、数学というより国語やクイズに近い感じがします。

[2]私は運良く相似な三角形の組をすぐに見つけ出せたので難しい印象を持ちませんでしたが、同じ私が別の機会に解くことがあるとして、同じ解法を思いつけるかどうか、自信がありません。
やさしいのか、難しいのか、よくわからない問題です。


（２）図２は、図１中の四角形ＰＱＦＲをＦを中心とし回転させた状態を示している。
図 ２において、Ｑは直線ＥＦについてＣと反対側にある。ＥとＱとを結んでできる△ＦＱＥの内角∠ＱＥＦの大きさをaとし、０＜a＜９０とする。ＣとＲを結ん でできる△ＦＣＲの内角∠ＲＦＣの大きさをaを用いて表しなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いてもよい。










（解いてみる）
しばらく考えてみましたが、解き方を思いつきませんでした。私が受験生なら、いったんあきらめてさっさと次の問題に向かいます（後で、あらためて戻ってくると、別の観点から問題を眺めることができてあっさり解けることがあります）。


四角形ＰＱＦＲ≡四角形ＡＥＦＤなので、ＦＱ＝ＦＥを使いそうだということはわかります。
△ＦＱＥが二等辺三角形なので、∠ＦＥＱも∠ＦＱＥもaです。

四角形ＰＱＦＲ≡四角形ＡＥＦＤなので、∠ＤＦＥと∠ＲＦＱも等しい。
だから、∠ＱＦＥ＝∠ＤＦＥ−∠ＱＦＤ
∠ＤＦＲ＝∠ＲＦＱ−∠ＱＦＤより
∠ＱＦＥ＝∠ＤＦＲ（図の太い赤線の角どうし）

これを使うことを思いつきませんでした。

∠ＱＦＥ＝１８０度−２aなので∠ＤＦＲ＝１８０度−２a

∠ＤＦＣ＝１８０度だから、∠ＲＦＣ＝１８０−（１８０−２a）
よって∠ＲＦＣ＝２a

（解いた後の感想）
私が受験生なら、この問題は運が悪いと時間内に解けなかったかもしれません。移動した図形の、等しくなる辺や角度を利用する問題は、どこに目をつけて解いたらよいのかを見つけにくいことが多く、気づくと簡単、気がつかないと時間切れになってしまいます。

mathematics 空間図形 四角錐（大阪府公立・２１年前期理数科）

大阪府公立高校入試問題、２１年度の前期理数科４番、空間図形の問題です。

大阪府公立でしばしば出題される、三平方の定理を使って３辺の長さがわかっている三角形の高さを求める問題が（２）で顔を出しています。

また（３）は、相似を使って垂直であることを証明する問題です。

４、左図において、立体Ａ−ＢＣＤＥは正四角錐である。底面ＢＣＤＥは１辺の長さが６ｃｍの正方形であり、ＡＢ＝１２ｃｍである。Ｆは、底面ＢＣＤＥの対角線の交点である。このとき、直線ＡＦは底面ＢＣＤＥと垂直である。Ｇは、Ｂから辺ＡＣにひいた垂線と辺ＡＣとの交点である。Ｈは、辺ＡＤ上にあってＤＨ＝２ＣＧとなる点である。ＢとＨを結ぶ。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。

（１）正四角錐Ａ−ＢＣＤＥの体積を求めなさい。

（２）線分ＣＧの長さを求めなさい。

（３）ＢＨ⊥ＡＤであることを証明しなさい。


（解いてみる）
（１）
学校の定期テストの問題であれば難問ですが、入試問題としては典型的な標準問題。確実に点を稼がないといけない問題です。

ＢＣ＝６、ＣＤ＝６より、１：１：√２を用いてＢＤ＝６√２。だからＢＦ＝３√２。
三平方の定理を使って、









四角錐の体積＝底面積×高さ×１／３より
６×６×３√１４×１／３＝３６√１４


（２）求めるＣＧをｘとして方程式を作ることを考えます。空間図形の問題を楽にとくコツは、必要な平面だけを取り出してそこで考えることです。

三平方の定理を使う問題の中で、解法を知っておかないといけない問題、「辺ＢＧを２通りの方法で表して等式（方程式）をつくる」の問題です。















（３）ＤＨ＝２ＣＧよりＤＨ＝３、よってＡＨ＝９を書き込んでおきます。
「空間図形の問題を楽にとくコツは、必要な平面だけを取り出してそこで考える」、必要な平面をかいて、それを見て、どう解くかを考えます。


垂直の証明に「定番」はありません。状況に応じて、「相似」でいくか、「三平方の定理」でいくか、何かそれ以外の方法があるかを考えます。

平面ＡＢＤの図を眺めると、△ＡＢＦと△ＢＤＨの相似が言えたら∠ＡＦＢ＝∠ＢＨＤ＝９０度を証明できますから、その方針でいこうと試してみます。

△ＡＢＦと△ＢＤＨにおいて
ＡＢ：ＢＤ＝１２：６√２＝２：√２
ＢＦ：ＤＨ＝３√２：３＝√２：１
一見違う比のように見えますが２：√２を√２でわったら√２：１で、実は同じ比です。そこで、ＡＢ：ＢＤ＝２：√２も√２：１に書き換えておきます。

また、ＡＢ＝ＡＤだから∠ＡＢＦ＝∠ＢＤＨ

よって、２組の辺の比が等しくその間の角が等しいので
△ＡＢＦ∽△ＢＤＨ

相似な図形の対応する角は等しいので
角ＡＦＢ＝角ＢＨＤ＝９０度

以上より、ＢＨ⊥ＡＤ


（解いた後の感想）
（１）は入試問題としては楽なほうに入ります。

（２）も頻出問題であり、ＣＧを求めさせることでさらに解きやすくなっていますが、「あ、あの問題だ」と思いつかないと難問になってしまいます。

（３）は、単純な合同や相似の証明と違うので、受験生によってはとまどう人がいるかもしれません。
合同、相似以外の証明も練習しておく必要があります。
「証明に実は決まった書き方はない、理由を述べては書く癖をつけておけば満点の答案が書ける」と、度胸をすえて取り組んでおくことです。

mathematics 平面図形（大阪府公立・２０年前期理数科）

今日のテーマは、相似と三平方の定理を使って解く平面図形の問題です。

入試問題を解くときの鉄則

・問題文を読んだ段階で、解くために必要なことを予測し、必要と思えることを図に書き込んでおく

・自分の持っている道具を確認し、どの道具が使えるかを考慮しながら問題を解いていく

「解けるかどうかは、解き始める前で決まります。」

問題は、２０年前期試験理数科の問題です。前期試験、後期試験でこれ以上の難しい問題は出題されません。

（大阪府の公立高校入試数学の問題は、問題を解くときにほとんど必要のない冗長な部分が多く、それが受験生を困らせます。
受験生の参考になるように、図で確認しておけば済む、たいして重要でない部分は緑字で、見逃してはいけない大切な部分は青字で示してみました。）


２：図の写真のようなバケツをモデルにした問題である。
図１、図２において、四角形ＡＢＣＤはＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝２５ｃｍ、ＢＣ＝１１ｃｍ、ＡＢ＝ＤＣ＝２５ｃｍの台形であり、Ｌは直線である。Ｅは、辺ＡＤの中点である。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。

（１）図１において、Ｂ、ＣはＬ上にある。Ｆは、辺ＢＣの中点である。このとき、台形ＡＢＣＤは直線ＥＦを対称の軸とする線対称な図形である。Ｇは、辺ＣＤ上の点である。ＥとＧとを結ぶ。ＥＧ＝１６ｃｍである。Ｈは、ＤからＬにひいた垂線とＬとの交点である。Ｉは、Ｅから辺ＣＤにひいた垂線と辺ＣＤの交点である。

[１]線分ＣＨの長さを求めなさい。

[２]△ＥＩＤ∽△ＤＨＣであることを証明しなさい。

[３]線分ＤＧの長さを求めなさい。求め方も書くこと。


解く前の準備：
色分けでわかるように、図を見たらわかることをくどくど書いてあるのが大阪府公立入試問題の特徴です。惑わされないように、大事なことだけをしっかりと読み取って図に記入しておきます。



（１）線分ＣＨの長さを求めなさい。

（準備）ＥがＡＤの中点、ＦがＢＣの中点なので、ＡＤ＝２５、ＢＣ＝１１と記入しないでＥＤ＝２５／２、ＦＣ＝１１／２と書き込んでおきます。

（解答）それだけで、２５／２−１１／２＝１４／２＝７ｃｍとわかります。


（２）△ＥＩＤ∽△ＤＨＣであることを証明しなさい。

（準備）△ＥＩＤと△ＤＨＣを見比べます。
相似の証明は、そのほとんどが相似条件「２組の角がそれぞれ等しい」を根拠とすることを念頭に、等しいといえる角を見つけます。

最初から図にかいてあることから、仮定より∠ＥＩＤ＝∠ＤＨＣ＝９０度はすぐにいえます。

次に、直角三角形で直角以外の２つの角の和は９０度です。そのことから∠ＤＥＩ＝９０度−∠ＥＤＩ、∠ＣＤＨ＝９０度−∠ＥＤＩがいえそうです。
この論の進め方は証明でよく使います。
私はわかりやすいように、直角三角形が出てきたら、直角以外の角に丸とバツをつけておけと言っています。








では、証明をかいていきましょう。

（解答）△ＥＩＤと△ＤＨＣにおいて、
仮定よりＥＩ⊥ＣＤ、ＤＨ⊥Ｌだから、∠ＥＩＤ＝∠ＤＨＣ＝９０度・・・（１）
また、∠ＤＥＩ＝１８０度−９０度−∠ＥＤＩ＝９０度−∠ＥＤＩ
ＥＤ⊥ＤＨだから、∠ＣＤＨ＝９０度−∠ＥＤＩ
よって、∠ＤＥＩ＝∠ＣＤＨ・・・（２）
（１）（２）より、２組の角がそれぞれ等しいから
△ＥＩＤ∽△ＤＨＣ

（私はうっかりしていて気づきませんでしたが、錯角で等しいので∠ＥＤＩ＝∠ＤＣＨを言うともっと簡単です。）

（３）線分ＤＧの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

（準備）１つ前の△ＥＩＤ∽△ＤＨＣを証明したのは、次のこの問題で使うためです。そこから解き方をしぼります。

そのことに気づくと、２つ前でＣＨ＝７ｃｍを求めたのも、ここで使うためだったということがわかってきます。

そうすると、相似を使ってＤＩを求められるので、次は直角三角形△ＥＩＤで三平方の定理を使ってＥＩを求め、さらに直角三角形△ＥＧＩで三平方の定理を使ってＧＩを求め、ＤＩ＋ＧＩで求めようという方針が立ちます。

（解答）△ＥＩＤ∽△ＤＨＣより、ＥＤ：ＤＣ＝ＤＩ：ＣＨ
２５／２：２５＝ＤＩ：７
これを解いてＤＩ＝７／２

△ＥＩＤは∠ＥＩＤ＝９０度の直角三角形だから三平方の定理より、













△ＥＧＩも∠ＥＩＧ＝９０度の直角三角形だから、












ＤＩ＝７／２、ＧＩ＝４√７より、ＤＧ＝ＤＩ＋ＧＩ＝７／２＋４√７


（２）図２は、図１中の台形ＡＢＣＤを傾けた状態を示している。
図２において、ＢはＬ上にある。ＡとＣとを結んでできる線分ＡＣとＬは平行である。ＪはＥからＬにひいた垂線とＬとの交点である。線分ＥＪの長さを求めなさい。











解く前の準備：
ただやみくもに図に数値を書き込むのではなくて、どうやって解こうかと考えながら書き込みをします。
使う道具は、九分九厘、相似か三平方の定理です。２つの道具をどこでどう使うかを予想しながら書き込みます。
ＤＡ＝ＤＣで、二等辺三角形であることも頭においておくべきです。

ＥがＡＤの中点であることから相似を使いたいし、三平方の定理で数値を求めたいので直角三角形ができるように、Ｄから垂線をおろし、ＡＣとの交点をＰ、直線Ｌとの交点をＱ、ＤＣの延長と直線Ｌとの交点をＳ、Ｃからひいた垂線と直線Ｌとの交点をＲとします。





（解答）
いずれにしても、ＡＣの長さを求めたらなんとかなりそうだと決めて、まずＡＣの長さを求めます。

△ＤＣＨで三平方の定理より、








よって、Ｃからひいた垂線の長さは２４ｃｍです。

もう一度三平方の定理を使ってＡＣの長さを求めます。













もう一度、図２にもどります。
ＡＣ＝３０とわかったので、△ＤＡＣが二等辺三角形なので点ＰはＡＣの中点となり、ＡＰ＝１５。

△ＤＡＰはＤＡ＝２５、ＡＰ＝１５、３：４：５の直角三角形です。
ＤＰは３：４：５の４にあたる辺なので２０ｃｍ。
点Ｅが辺ＤＡの中点だから、中点連結定理よりＥＴはＤＰの１／２の１０ｃｍとわかります。

次にＴＪですが、ＴＪ＝ＣＲなので、ＣＲを求めます。
△ＤＰＣ∽△ＣＲＳで相似比はＤＣ：ＣＳの２５：１１。
ＤＰ：ＣＲ＝２５：１１
２０：ＣＲ＝２５：１１
よってＣＲ＝４４／５

ＥＪ＝ＥＴ＋ＴＪ＝１０＋４４／５＝９４／５

homeroom 相似で解くか、三平方で解くか

Ｋ中のＮさんから、学年末テストの問題でもう一つ質問がありました。数学の問題です。

最後の（４）が即答できませんでした。

７：ＡＢ＝３ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍ、ＣＡ＝２ｃｍの△ＡＢＣと∠ＢＡＣの二等分線Ｌがある。３点Ａ、Ｂ、Ｃは円の周上にある。点Ｂ、Ｃから直線Ｌに垂線をひき、それぞれの交点をＤ、Ｅとする。また直線ＬがＢＣおよび円と交わる点をそれぞれＦ、Ｇとする。次の各問いに答えなさい。

（１）ＢＤとＣＥの長さの比を求めなさい。

（２）ＢＦの長さを求めなさい。

（３）△ＡＢＧと△ＡＦＣは相似である。相似条件を答えなさい。

（４）ＡＦの長さを求めなさい。


（１）から（３）までは簡単です。

（１）ＢＤとＣＥの長さの比を求めなさい。

（解答）△ＡＢＤと△ＡＣＥは、∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ＝９０度、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥより２組の角がそれぞれ等しいから相似。ＡＢ＝３ｃｍ、ＡＣ＝２ｃｍで、相似な図形の辺の比は等しいから、ＢＤ：ＣＥの長さの比も３：２。

（２）ＢＦの長さを求めなさい。

（解答）△ＦＢＤと△ＦＣＥも、∠ＦＤＢ＝∠ＦＥＣ＝９０度、対頂角∠ＢＦＤ＝∠ＣＦＥより相似。（１）のＢＤ：ＣＥ＝３：２よりＢＦ：ＣＦ＝３：２、またＢＣ＝４ｃｍだからＢＦ：４＝３：５または、４ｃｍ×３／（３＋２）よりＢＦ＝１２／５ｃｍ（または２.４ｃｍ）。

（３）△ＡＢＧと△ＡＦＣは相似である。相似条件を答えなさい。

（解答）△ＡＢＧと△ＡＦＣで、弧ＡＢの円周角だから∠ＡＧＢ＝∠ＡＣＦ、仮定より∠ＢＡＧ＝∠ＦＡＣ、よって２組の角がそれぞれ等しいが相似条件。


問題は（４）です。ずっと相似の問題が並んでいるので相似を使えばすぐに解けるだろうと思って求めるＡＦをｘとおいて解きはじめたのですが、なかなか解けません。

（ここで遅くなったＮさんを心配してお迎えに来られていたお父さんが様子を見に来られたので「私の宿題にしてもらっていい？」と言ってＮさんには帰ってもらいました。年度がわりなので新パンフレットを他の先生たちと１時間ほどかけて製本、そのあと問題をもう一度眺めていて、やっと解き方が浮かびました。）


（４）ＡＦの長さを求めなさい。

（解答）相似ばかり考えていたのが解けなかった原因でした。

△ＡＥＣと△ＡＤＢが直角三角形であり、三平方の定理で解けないかと思いついたら、ＡＥをｘとして等式ができることに気づきました。

ＡＥ：ＡＤ＝２：３です。だから、ＡＤからＡＥをひいたＥＤの比は１になります。

さらに、ＥＦ：ＦＤも２：３なので、ＡＥをｘとすると、ＥＤ＝１／２ｘ

ＥＦはＥＤを２：３で分けた２のほうなので、ＥＦ＝ＥＤ×２／（２＋３）＝ＥＤ×２／５
１／２ｘの２／５だからＥＦ＝（１／２ｘ）×（２／５）＝１／５ｘ

これで準備完了です。

直角三角形ＡＥＣと直角三角形ＥＦＣを使って、三平方の定理を用いて、辺ＥＣの長さを２通りの方法で表すことができます。

まず、△ＡＥＣで、三平方の定理より






次に、△ＥＦＣで、三平方の定理より







ＥＣの２乗を２つの式で表せたので等式、方程式をたてて



















ＡＦ＝ＡＥ＋ＥＦなので、

















直角三角形ＡＢＤでも、同じようなやり方で解くことができます。

また、ＡＦをｘとしてＡＥ、ＥＦをｘを使って表せば、やはり同じように解くことができます。


中学生に負ける

ＮさんやＦ君の話によると、この問題を試験時間内に解けた子が何人かいるとのこと。
中学生に負けるなんて、『悔しいです！！』


相似を使うか三平方で解くか

この稿の本題ですが、入試問題では、相似と三平方のどちらを使ったらよいかを悩む問題、あるいは、どちらを使っても解ける問題があります。

私は塾生には、優先は相似、次が三平方と言ってきました。

三平方の定理を使うと中学生では解きにくい二重根号（ルートの中にさらにルートがあるもの）が出てきてしまう問題があるからです。
相似の比例式だと二重根号はありえませんし、式を立てるにも、相似を使ったほうがやさしいことが多いのです。

この（４）の問題もそう思って相似にこだわったのですが（問題の流れも相似を意識させるつくりになっています）、三平方の定理を思いつかないのが失敗でした。


しかし、解いたあとも頭の片隅で、これはひょっとすると相似でも解けるのではないか、という疑問が残ったままでした。
高校で習う「方べきの定理」を使えるのではないかとも思って眠りにつきました。


朝起きて、パソコンを開いてみると、Ｕ先生から相似だけで解くもう一つの解き方がありますとのメールが届いていました。


Ｕ先生の解き方



































***** ５教科以外の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます *****

mathematics 三平方の定理（５）（空間図形と三平方の定理）

直方体の対角線

直方体の内部を通る、頂点と頂点を結ぶ線分が直方体の対角線です。

縦の長さがa、横の長さがｂ、高さがｃの直方体の対角線を、三平方の定理を使って求めてみましょう。








まず、線分ＢＤの長さを求めます。
△ＡＢＤは直角三角形だから、三平方の定理より






次に直方体の対角線ＢＨの長さを求めます。
△ＢＨＤは∠ＢＤＨ＝９０度の直角三角形です。よって、










つまり、縦がa、横がｂ、高さがｃの直方体の対角線の式は、


です。




重要例題１：ＡＢ＝ＡＤ＝４、ＡＥ＝６の直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨがある。点Ｐ、Ｑはそれぞれ辺ＢＦ、ＤＨの中点である。四角形ＡＰＧＱで直方体を切断するとき、次の問いに答えなさい。

（１）四角形ＡＰＧＱの周の長さと面積を求めなさい。

（２）切断された頂点Ｃを含むほうの立体の体積を求めなさい。







（１）四角形ＡＰＧＱの周の長さ

△ＡＱＤは∠ＡＤＱ＝９０度の直角三角形であり、ＡＤ＝４、ＤＱ＝３より、ＡＱ＝５

同様にＡＰ＝ＰＧ＝ＧＱ＝５

よって周の長さは２０






四角形ＡＰＧＱの面積

四角形ＡＰＧＱは、ＡＰ＝ＰＧ＝ＧＱ＝ＱＡより、ひし形です。
面積は対角線×対角線÷２で求めることができます。

ひし形ＡＰＧＱの対角線ＡＧは、直方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨの対角線でもあります。
よって、公式


より














また、もう一つの対角線ＰＱはＢＤと等しくなりますから、ＡＢ：ＡＤ：ＢＤ＝１：１：√２を使ってＢＤ＝４√２

以上より、四角形ＡＰＧＱの面積は、２√１７×４√２×１／２＝４√３４


（２）四角形ＡＰＧＱで切断された立体の体積

もとの直方体の体積の半分です。

４×４×６×１／２＝４８



円錐と三平方の定理

円錐で知っておいたほうがよいこと

体積は底面積×高さ×１／３で求められます。

表面積＝底面積＋側面積です。
底面積＝ｒ×ｒ×π、こちらは簡単ですが、側面積は少々やっかいです。

側面積の求め方１：
円錐の展開図で考えます。
中１のとき、おうぎ形の面積を求める公式、半径×弧×１／２を習いました。
側面積Ｓはおうぎ形なので、半径にあたる母線ｌ×弧（赤い線）×１／２で求めることができます。
そして、赤い線の弧の長さは下の小さい円Ｏｓの円周と等しくなります。
以上より、側面積Ｓ＝おうぎ形の半径ｌ（円錐の母線）×おうぎ形の弧（底面の円周）×１／２
Ｓ＝ｌ×２πｒ×１／２
＝ｌ×ｒ×π

側面積の求め方２：
やはり円錐の展開図で考えます。

円Ｏ（点線の円）の面積は半径ｌ×ｌ×πです。
側面積であるおうぎ形は、その円の一部です。
円の何分のいくらかを考えます。
円周に対する弧の割合がわかれば、円の何分のいくらかがわかります。
円Ｏの円周は直径×π、ｌ×２×π。
弧の長さは小さい円Ｏｓの円周と等しいのでｒ×２×π。

以上より、おうぎ形の面積は円Ｏの面積のｒ×２×π／ｌ×２×π、つまりｒ／ｌにあたることがわかります。

円Ｏの面積はｌ×ｌ×πですから、おうぎ形の面積はそのｒ／ｌ、すなわちｌ×ｌ×π×ｒ／ｌ＝ｌ×ｒ×π

よって側面積Ｓ＝ｌ×ｒ×π

いずれにしても、側面積は、ｌ×ｒ×π（母線×半径×π）と、公式化して覚えておいたほうがよいように思います。


円錐の体積と表面積

左図の、底面の半径３、母線の長さ９の円錐の場合、

体積は、底面積×高さ×１／３より
高さをｘとすると、三平方の定理より６√２
３×３×π×６√２×１／３
＝１８√２π

表面積は、側面積＋底面積より
９×３×π＋３×３×π
＝３６π




重要例題２：底面の半径が５、母線の長さが１３の円錐に球が内接している。球の半径を求めなさい。

















（解き方）円錐の高さＡＤは１２（５：１２：１３の直角三角形であることに気づくと瞬時に求められます）。

また、△ＡＢＤと△ＡＯＰは
∠ＡＤＢ＝∠ＡＰＯ＝９０度
∠ＢＡＤ＝∠ＯＡＰ
より△ＡＢＤ∽△ＡＯＰ

対応する辺の比が等しいので
ＡＢ：ＡＯ＝ＢＤ：ＯＰ
すなわち、１３：（１２−ｒ）＝５：ｒ
５（１２−ｒ）＝１３ｒ
６０−５ｒ＝１３ｒ
−１８ｒ＝−６０
ｒ＝１０／３


（俊英塾Ｕ先生の別解）

△ＡＢＣの面積は１０×１２×１／２＝６０

また、△ＡＢＣ＝△ＡＢＯ＋△ＯＢＣ＋△ＡＯＣ
半径をｒとすると
１３×ｒ×１／２＋１０×ｒ×１／２＋１３×ｒ×１／２
＝（１３＋１０＋１３）×ｒ×１／２
＝３６×ｒ×１／２
＝１８×ｒ

以上より等式をつくり
１８ｒ＝６０
ｒ＝１０／３

「高１で習う数Ａで、Ｓ＝１／２（a＋b＋c）ｒという公式が出てきます」とのことです。



最短距離と三平方の定理

まわって進むよりまっすぐ進むほうが近道です。
２点の最短距離は２点を通る線分をひくことで求められます。
空間図形でも原理はかわりません。

左の直方体で頂点から頂点へ糸をぴんと張ったとき（このとき糸の長さは最も短くなります）、糸は直線になっています。
空間図形では直線であることがわかりにくいので、展開図をかいて平面で考えたらわかりやすくなります（空間図形の問題を解くときは平面にして取り出して考えるのが基本です）。

この展開図ではすべての面を記入しましたが、実際に問題を解くときは必要な面だけ（青色の線の部分）をかけば十分です。

直角三角形ができるので、三平方の定理を使うことができます。








重要例題３：底面の半径BOが３、母線の長さＡＢが６の円錐がある。母線ＡＣの中点をＰとする。
（１）点Ｂから点Ｃまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。

（２）点ＢからＰまで、側面上を半周してひもをかける。ひもの長さが最短になるときのひもの長さを求めなさい。






（解き方）展開図をかきます。
母線が６、底面の半径が３で２：１なので、側面の中心角は１８０度になります。
展開図上、直線で表された部分が最短の長さになります。

（１）線分ＡＢ＝６、ＡＣ＝６の直角三角形で１：１：√２が使えるので線分ＢＣ＝６√２

（２）ＡＢ＝６、ＡＰ＝３の直角三角形。ＢＰの長さをｘとして三平方の定理を使う。
計算すると、ＢＰ＝３√５









体積を２通りの方法で求めて等式をつくって解く問題

重要例題４：１辺が６の立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨがある。次の問いに答えなさい。


（１）３点Ａ、Ｆ、Ｃを頂点とする△ＡＦＣの面積を求めなさい。

（２）三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積を求めなさい。

（３）点Ｂから面ＡＦＣにひいた垂線ＢＨの長さを求めなさい。





（解き方）空間図形でもっともよく出る問題の１つです。

（１）△ＡＦＣは、正方形の対角線を３辺とする三角形なので正三角形です。１：２：√３を使って、まず高さ、それから面積を求めます。
簡単に正三角形の図をかいて求めます。

１：１：√２よりＡＣ＝ＡＦ＝ＦＣ＝６√２

正三角形の高さは、１：２：√３より３√６

面積＝６√２×３√６×１／２＝９√１２＝１８√３



（２）よく出題される問題です。

三角錐Ｂ−ＡＦＣと書いてあっても、三角形ＡＦＣを絶対の底面だと思う必要はありません。

面ＡＢＣと辺ＢＦが垂直ですから、面ＡＢＣが底面で、ＢＦを高さと見ることもできます。

「見方をかえて」解く問題です。

三角錐なので体積＝底面積×高さ×１／３。

底面積ＡＢＣ＝６×６×１／２＝１８
高さは６

よって１８×６×１／３＝３６

（３）１番の、△ＡＦＣを正三角形とわかること、その正三角形の面積を求めること、２番の三角錐の体積を上手に求めること、どれも重要で良い問題ですが、さらに、その結果を活用するよくできた問題です。

（２）で、すでに三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積はわかっています。
ところが、見方をかえて、△ＡＦＣをこの三角錐の底面と見ると、今度はＢＨが高さになります。
つまり、三角錐Ｂ−ＡＦＣの体積を２通りの式で表せるわけで、等式をつくることができますから、方程式と考えて解くことができます。

底面積を△ＡＦＣと考え、高さのＢＨをｈとすると、三角錐の体積は１８√３×ｈ×１／３
底面積を△ＡＢＣと考えると体積は（２）より３６
等式にして
６√３ｈ＝３６
ｈ＝３６／６√３
ｈ＝６／√３
分母を有理化して
ｈ＝２√３




（Ｕ先生に教えられてわかったのですが、Ｈの記号を別々の２箇所に使ってしまっていました。後日、訂正します。）

mathematics 三平方の定理（４）（円と三平方の定理）

円の問題でも、直角三角形を見つけることで三平方の定理を使って問題を解くことができます。


弦と三平方の定理

例題：円Ｏに１２ｃｍの弦をひいたとき、中心Ｏからの距離が４ｃｍになった。この円の半径を求めなさい。

（円の定理：弦に垂直な半径は弦を二等分する。弦の垂直二等分線は円の中心を通る。）






直角三角形を見つけて、三平方の定理を使います。













円の接線と三平方の定理

例題：半径２と半径１で、中心と中心との距離が４の２つの円Ｏ、Ｏ’がある。２つの円の共通接線がＰ、Ｑで円と接するとき、ＰＱの長さを求めなさい。

（円の定理：接線と接点を通る半径は垂直に交わる。）






Ｏ’を通り、ＰＱに平行な直線をひき、ＯＰの延長との交点をＲとします。
求めたいＰＱをｘとすると、Ｏ’Ｒもｘ。












三角形と内接円

重要例題１：図のように∠Ａ＝６０度、∠Ｃ＝９０度の直角三角形ＡＢＣに内接する半径１の円Ｏがある。辺ＢＣ、ＡＣ、ＡＢとの接点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとするとき、次の問いに答えなさい。

（１）線分ＡＥの長さを求めなさい。

（２）線分ＢＦの長さを求めなさい。

（３）色をつけた部分の面積を求めなさい。




（１）
△ＡＦＯと△ＡＥＯにおいて
接線は接点を通る半径に垂直だから∠ＡＦＯ＝∠ＡＥＯ＝９０度・・・（１）
共通にふくまれる辺だからＡＯ＝ＡＯ・・・（２）
半径の長さは等しいからＯＦ＝ＯＥ・・・（３）
（１）（２）（３）より、直角三角形で斜辺と他の１辺が等しいので
△ＡＦＯ≡△ＡＥＯ

したがって、∠ＦＡＯ＝∠ＥＡＯ＝３０度
だから、ＯＥ：ＡＯ：ＡＥ＝１：２：√３
よってＡＥ＝√３

（２）
△ＡＢＣで、ＡＣ：ＡＢ：ＢＣ＝１：２：√３
ＡＣ＝√３＋１だから
ＡＢ＝（√３＋１）×２＝２√３＋２
ＡＦ＝ＡＥ＝√３だから
ＢＦ＝ＡＢ−ＡＦ
＝２√３＋２−√３
＝２＋√３




（３）
まず、影のついた部分や斜線部の面積を求めるときは、大きな図形から不要な部分をひくのが原則です。
次に、私たちが求めることのできる面積は、三角形とおうぎ形くらいしかありません。

だから、色のついた面積を求めるには、四角形ＡＦＯＥから弧ＦＥのおうぎ形をひけばよいことがわかります。
この問題では、∠ＡＯＥ＝６０度なので、おうぎ形の中心角ＦＯＥ＝１２０度です。





















重要例題２：辺の長さが３、４、５の△ＡＢＣに内接する円の半径を求めなさい。











解き方１：辺で等式をつくる
中心と接点Ｄ、Ｅを結びます。
半径のＯＤ＝ＯＥ＝ｘとすると、ＤＣ＝ＥＣ＝ｘ

ＡＥ＝３−ｘだから、ＡＦ＝３−ｘ
ＢＤ＝４−ｘだから、ＢＦ＝４−ｘ

辺ＡＢで等式ができます。

４−ｘ＋３−ｘ＝５
−２ｘ＝−２
ｘ＝１

内接円のときの書き込みの仕方を知っておかないといけません。
三角形から見たら内接円ですが、円から見たら三角形の各辺は接線です。
接線の性質、「接線は接点を通る半径と垂直である」を利用するためには、上のような書き込みの仕方しかありません。


解き方２：面積で等式をつくる

△ＡＢＣの面積は２通りの方法で表わすことができます。

まず、底辺４、高さ３の三角形と見ることができますから、４×３×１／２＝６
△ＡＢＣの面積は６とわかりました。

次に△ＡＢＣは、△ＡＢＯと△ＢＣＯと△ＣＡＯの、３つの三角形の合計と考えることもできます。
このことを式に表わすと、












以上から方程式をつくります。

６ｘ＝６
ｘ＝１


この解き方も、知っておかないといけません。