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math 90°30°60°の直角三角形、辺の長さで成り立つこと

3つの角が90°、30°、60°の直角三角形の辺のうち、一番長い辺(斜辺(しゃへん))と一番短い辺とは常に長さが2:1になります。
図1








なぜ、2:1になるのか?

(1)分割して見つける方法
図2修正角BACを30°と60°に分ける線をひき、辺BCと交わる点をMとします。
三角形AMCで、角の和は180°ですから、角AMCも60°となり、三角形AMCは正三角形になります。
だから、辺ACの長さを1とすると、辺AMの長さも辺MCの長さも1です。

また、三角形ABMは角ABM=角BAM=30°となり、2つの角の大きさが等しいので二等辺三角形です。
だから、AM=BMとなり、AM=1ですからBM=1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。

(2)円を使って見つける方法
図3中心が点Oである円の直径の両端を点B、点C、とし、円周上の一点を点Aとします。
このとき、角BOCは180°であり、どんなときでも角BACはその半分の90°になります。
その性質を利用して、底辺が直径のBCで、角ABC=30°、角ACB=60°の、円に接する直角三角形ABCをかきます。

半径の長さは等しいので、OC=OAです。
三角形AOCでOC=OAだから、二等辺三角形の性質より角OACも60°になります。さらに、三角形AOCの角の和は180°だから、角AOCも60°となり、三角形AOCは正三角形です。
だから、辺ACの長さを1とすると、OAの長さも、OCの長さも1です。

次に、半径の長さは等しいのでOA=BOとなり、BOの長さも1です。

以上より、BC:AC=1+1:1=2:1だといえます。


90°・30°・60°の直角三角形の辺の比が2:1であることを使う問題

例題:かげをつけた部分の面積を求めなさい。
図4










(解き方と解答)
曲線部分があるとき、小学生は、「おうぎ形」の面積を求める以外に面積を求める方法はありません。
そこから出発します。

そうすると、中心角が150°のおうぎ形から三角形の面積をひいたら求められることがわかってきます。
図5





まず、半径が10cmで、中心角が150°のおうぎ形の面積を求めます。
10×10×3.14×150/360
=314×5/12
=785/6・・・(1)

次に、三角形ABOの面積を求めます。
図6底辺BOの長さは10cmです。
高さは、頂点AからBCに垂直にひいたAHの長さです。

ところが、三角形AOHは、90°、30°、60°の直角三角形ですから、AO:AH=2:1になります。

AO=BO=10cmだから、AH=5cmです。

以上より、三角形ABOの面積は、10×5÷2=25・・・(2)

(1)(2)より、かげをつけた部分の面積は、
785/6-25
=785/6-150/6
=635/6



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math 正三角形・正六角形と面積(同じ形に分けて考える問題)

正三角形や正六角形には知っておかないといけない性質がいくつかあって、いろいろおもしろい問題が出題されますが、その一つに、同じ形の図形に分割して解く問題があります。


例題1:周の長さが等しい正三角形と正六角形の面積の比を求めなさい。

正三角形と正六角形







考え方・解き方
このような問題を解くとき、小学生にとって最もわかりやすい解き方は、図形を分割して、同じもの何個でそれぞれの図形ができているかを見つける方法です。

まず、「周の長さが等しい」ことから、正六角形の1辺の長さを1とすると、正三角形の1辺の長さが2になることに気づいてください。
正六角形の周の長さは1×6=6、正三角形の周の長さは2×3=6となって、周が等しくなります。

正三角形と正六角形の2次に、正六角形が正三角形の集まりであることに着目します。

正三角形の一つの角は60度です。
正六角形の一つの角は120度であり、左の図のように分割すると一つの角が60度の正三角形6個に分割できます。
つまり、正六角形は、正三角形が集まったものだと考えることができます。

正六角形が、1辺が1の正三角形の集まりであることがわかったので、次に1辺が2の正三角形の中にも、同じように、1辺が1の正三角形を作ってみます。

正三角形と正六角形の3左の図のように、1辺が1の正三角形が、正三角形の中には4個できることがわかります。




正三角形の中には1辺が1の正三角形が4個、正六角形の中には1辺の長さが1の正三角形が6個できました。

だから、面積の比は4:6=2:3。
答えは2:3です。


例題2:左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積は、正六角形の面積の何倍になりますか。


例題2









考え方・解き方
正六角形は、正三角形6個に分割できるだけでなく、次の図のように分割することもできます。
例題2の2
この分割の仕方だと、同じ形、同じ大きさの、二等辺三角形6個に分割できます。
言い換えると、1個の二等辺三角形の面積は、正六角形の1/6です。





例題2そうすると、斜線部の面積は、正六角形の右半分の1/2から、二等辺三角形1個分の1/6をひいたものですから、1/2-1/6=3/6-1/6=2/6=1/3だということになります。
答えは1/3です。







最後に、ちょっと難しい問題にチャレンジしてみましょう。

例題3:左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積の和は、外側の正例題3六角形の面積の何倍ですか。









考え方・解き方
この問題だと、もう一つ、『底辺が等しいとき、面積は等しい』を使います。
例題3の2左図の三角形、アとイで、底辺は等しい長さです。
また、どちらの三角形の高さも、赤線で示した部分が高さであり、共通です。
三角形の面積を求める式、「底辺×高さ÷2」のうち、底辺が等しく、高さが共通だから、結局、2つの三角形アとイの面積は等しくなります。

まず、問題の斜線部のうち、大きいほうの三角形の大きさを考えます。
例題3の3
左図の、赤線で囲んだ二等辺三角形の大きさは外側の正三角形の大きさの1/6でした。

そして、「底辺が等しいと面積も等しい」ので、赤の斜線部の面積は、その二等辺三角形の面積の1/3になります。
つまり、1/6の1/3、つまり、正六角形の1/18です。・・・(1)

次に、中にある小さい正三角形の大きさを考えます。
例題3の4
左図の赤の斜線部の面積は、青の斜線部の面積と同じです(「底辺が等しいと面積も等しい」ので)。
つまり、赤の斜線部は、外側の正六角形の1/18です。



さらに、左図でわかるように、小さい正三角形の面積は、二等辺三角形の面積の1/3例題3の5になります。

1/18の1/3だから、外側の正六角形の1/54です。・・・(2)






(1)より、例題3中の斜線部のうち、大きい正三角形1個の面積は外側の正六角形の1/18。
その正三角形が6個あるから、1/18×6=1/3・・・(3)

(2)より、中の斜線部のうち、小さい正三角形1個の面積は外側の正六角形の1/54。
その正三角形が6個あるから、1/54×6=1/9・・・(4)

(3)(4)より、1/3+1/9=3/9+1/9=4/9。

答えは、4/9です。




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