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勉強をしている子どもたちが、悩み、知りたい、理解したいと思いながら、今までは調べる方法がなかった事柄を、必要かつ十分な説明でわかりやすく記述したサイトです

割合

math 利益と割引の問題を超簡単に解く(中学数学)

意外にできないのが利益や割引の問題です。


理解しておかないといけない3つのこと

当然知っておくべき次の3つの事柄を理解できていないと、利益や割引の問題は解けません。 

1、原価利益定価割引売り値の意味・・・お店の人が仕入れた価格が「原価」、原価に「利益」を上乗せした値札の額が「定価」、売れないときに定価から「割引」して実際に売った価格が「売り値」です。

(言葉の意味がよくわからない人はこちらをご覧ください。)


2、百分率歩合と式・・・1%=0.01、1割=0.1だから、「%」や「」は、小数分数にしないと数学では使えません。

(百分率や歩合に自信がない人はこちらをご覧ください。)


3、利益割引の意味・・・2割は0.2ですが、2割の利益を見込んだ定価は(1+0.2)で原価の1.2倍です。同様に、3割は0.3ですが、3割の割引は(1-0.3)で0.7倍と考えないといけません。

(利益と割引のとき、1にたしたり、1からひかないといけない理由を詳しく知りたい人はこちらをご覧ください。)


割合が数字のときは小数か分数に、割合が文字のときは分数に

数学の大切なきまりです。

12%や3割など、割合数字で表わされているときは、小数の0.12、0.3になおしても、分数の12/100、3/10になおしても、どちらでもかまいません(分数にするときは約分12/100→3/25を忘れずに)。

私は、小数のほうが計算間違いが少ないので、分数にしないで小数を使うようにすすめています。

a%やb割など、割合文字で表わされているときは、分数しか使えないので、a/100、b/10になおさないといけません(0.0a、0.bなどという式はありません。)


以上より、問題を解く前に知っておかないといけないことをまとめてます。

利益と割引の1(1)12%0.12に、3割0.3にする。
a%a/100に、b割b/10にする。









利益と割引の2(2)12%利益を見込んだ定価は(1+0.12)を、3割利益を見込んだ定価は(1+0.3)をかける。
a%利益を見込んだ定価は(1+a/100)を、b割利益を見込んだ定価は(1+b/100)をかける。






利益と割引の312%割引(1-0.12)を、3割割引(1-0.3)を定価にかける。
a%割引(1-a/100)を、b割割引(1-b/10)を定価にかける。








さらに簡単にまとめると、

(1)a%a/100b割b/10

(2)利益1+●割引1-●



これで、どんな問題でも式をたてて解くことができます。


中1の文字式の問題

例題1:次の数量を式で表わせ。
(1)300円のa%
(2)原価x円の商品に3割の利益を見込んで定価をつけ、定価の2割引きで売ったときの売り値


(解き方)

(1)a%はa/100だから、300×a/100=3a円
(2)3割は0.3で3割の利益は1+0.3=1.3だから、そして、2割は0.2で2割の割引は1-0.2=0.8だから、x×1.3×0.8=1.04x円


中1の一次方程式の問題


例題2:原価に300円の利益を見込んで定価をつけた品物がある。この品物を定価の2割引きで売ると売価は960円である。この品物の原価を求めよ。

(解き方)

「原価を求めよ」とあるので原価をx円とします。

定価は(x+300)です。
2割引は1-0.2=0.8です。
だから、式は(x+300)×0.8=960

これを解いて、
(x+300)×0.8=960
0.8x+240=960
両辺に10をかけて、
8x+2400=9600
8x=9600-2400
8x=7200
x=900

原価は900円です。


中3の二次方程式の問題

例題3:原価1600円の品物にx%の利益を見込んで定価をつけた。この品物を定価のx%引きで売ったところ、100円の損失が出た。xの値を求めよ。

(解き方)

まず、x%をx/100にします。

次に、x%の利益は(1+x/100)、x%引きは(1-x/100)です。

以上より、1600(1+x/100)(1-x/100)=1600-100
この二次方程式を解きます。

1600(1+x/100)(1-x/100)=1500
利益と割引の4






















答えは25%です。




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math 利益と割引の問題を超簡単に解く(小学算数)

多くの人が苦手な問題に、利益割引の問題があります。
利益と割引の問題を簡単に解く方法を考えてみましょう。


代表的な問題は次のような問題です。

例題1:ある品物を4000円で仕入れ、4割の利益を見込んで定価をつけましたが、この品物を大売り出しの日に定価の1割5分引きで売りました。売り値は何円ですか。

(解き方)
まず、仕入れ値利益定価売り値などの、言葉の意味を知っておかないといけません。
自信がない人は、こちらを参考に、意味をしっかり理解しておいてください。

次に、「4割利益を見込んだ定価」とあるとき、定価を仕入れ値の1.4倍と考えます。

「4割の利益」だけなら、0.4倍です(4割を0.4倍と考える理由についてはこちらを参照してください)。
4割の利益を求める式なら、4000×0.4=1600円です。

しかし、「4割利益を見込んだ定価」のときは、1.4倍と考えないといけません。
利益4000円で仕入れた品物を1600円で売ったのでは大損です。
お店の人は、仕入れ値に利益(もうけ)をたした金額で売ろうとするのです。これが定価です。
もともとの数量が1倍で、それに0.4倍をたした金額が定価ですから、定価を仕入れ値の1.4倍と考えるわけです。

4割利益を見込んだ定価」→(1+0.4)倍→1.4倍と覚えます。

次に、「1割5分引き」も0.15ではありません。
1割5分だと0.15倍ですが、「1割5分引き」だと、もとの1から0.15を引かないといけません。
割引1割5分で売るのではなくて、定価から1割5分引いて売るのだから、売り値の割合は1-0.15=0.85倍です。

1割5分引き」→(1-0.15)倍→0.85倍と覚えます。

以上より、この問題は、4000円で仕入れ、「4割の利益を見込んで定価をつけた」から「×(1+0.4)」、「1割5分引き」だから「×(1-0.15)」となるわけです。

4000×(1+0.4)×(1-0.15)
=4000×1.4×0.85
=4760円
となります。


(ポイント)

利益たす
引きからひく

このことを理解し、覚えて使うことができれば、利益と割引の問題は簡単になります。


例題2:ある品物に、原価の4割の利益を見込んで定価をつけました。しかし、定価から20%引きの1792円で売りました。このときの利益は何円ですか。

(解答)
覚えた
4割の利益」→1+0.4=1.4
20%引き」→1-0.2=0.8
を、使います。

仕入れ値の1.4倍の、0.8倍が、1792円になったわけです。

よって、仕入れ値は、
1792÷0.8÷1.4=1600円

求めないといけないのは「利益」です。
1600円で仕入れた品物を1792円で売ったので、もうけ、利益は
1792-1600=192円です。


次の問題は、しばしば中学入試でも出題されるやや難しい問題です。

例題3:ある品物に仕入れ値の3割の利益を見込んで定価をつけましたが、売れないので、定価の15%引きで売ったところ、1890円の利益がありました。この品物の仕入れ値はいくらですか。

(解答)
やはり
3割の利益」→1+0.3=1.3
15%引き」→1-0.15=0.85
を、使います。

ところが、この問題の場合、わかっているのは利益の1890円です。
利益の1890円が何倍になっているのかを先に見つけます。

仕入れ値の何倍で売ったかというと、
1.3×0.85=1.105

だから、利益の割合は仕入れ値の1をこえた部分、1.105-1=0.105です。

0.105倍が1890円だから、仕入れ値は
1890÷0.105=18000円です。


このように、利益と割引の問題では
利益たす
引きからひく
を覚えておいて、使えばよいのです。




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math 割合、百分率・歩合は、「〜倍」をつけると超簡単

小学生が一番苦手な割合の問題を楽に解くために、みなさんに提案したい1つの試案です。

割合
百分率(%)、歩合(割・分・厘)の問題は「〜倍」をつけると超簡単になります。


整数の場合

100円の2倍はいくらか?
誰が考えたって、100×2=200円です。・・・(1)

あるものの3倍が300個だった、あるものは何個か?
すぐに300÷3=100個だとわかります。・・・(2)

400mは100mのどれだけか?
400÷100=4ができない人はいないでしょう。・・・(3)


小数の割合、分数の割合

割合が小数分数の場合、単位のないもの〜倍をつけたら、整数の問題と同じ簡単な問題になります。

100円の0.2はいくらか?
100円の0.2と考えると、100gの2倍と同じです。
100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの0.3が300個だった、あるものは何個か?
あるものの0.3300個だと考えると、あるものの3倍が300個のときと同じです。
300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mに対する割合はいくらか?
400mは100mの何かと同じです。
400÷500=0.8です。・・・(3)


百分率

まず、百分率(%)の場合、%は、そのままでは計算では使えません。
1%0.01に、10%0.1にかえて、計算します。
2%だと0.02、20%だと0.2、25%だと0.25にしてから計算します。

%小数にかえたあと、その小数に〜をつけて考えます。
%



100円の20%はいくらか?
100円の20%→100円の0.2、だから100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの30%が300個だった、あるものは何個か?
30%0.3が300個だった、だから300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mの何か?
400mは500mの何かと考えて、400÷500=0.880%です。・・・(3)


歩合

歩合も、%とまったく同じです。

まず、歩合(〜割〜分〜厘)の場合も、割・分・厘は、そのままでは計算では使えません。
1割0.1に、1分0.01に、1厘0.001にかえて、計算します。
2割だと0.2、2分だと0.02、2割3分4厘だと0.234にしてから計算します。

小数にかえたあと、その小数に〜をつけて考えます。
割



100円の2割はいくらか?
100円の2→100円の0.2、だから100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの3割が300個だった、あるものは何個か?
30.3が300個だった、だから300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mの何か?
400mは500mの何かと考えて、400÷500=0.88です。・・・(3)



この方法が有効かどうか、実際の問題で試してみましょう。

例題1:容積2500Lの水そうの9割4分に水が入っている。入っている水の量はは何Lですか。

9割4分→0.94倍と読みかえます。
2500Lの0.94倍を求める問題だから、2500×0.94=2350L

例題2:庭の面積の56%が花畑です。花畑の面積は476平方mです。庭全体の面積はいくらですか。

56%→0.56倍と読みかえます。
庭の0.56倍が476だったので、476÷0.56=850平方mです。

例題3:A君の学校の生徒数は840人で、そのうち630人は自転車で通学しています。自転車で通学している生徒数の割合は何%ですか。

自転車で通学している生徒数は何%かを、何倍かと読みかえます。
自転車で通学している生徒数は全生徒数の何倍かという問題だから、630÷840=0.75倍
=75%



覚えるのも大変だし、覚えたって実際には使いにくい、割合の3つの式
(1)比べる量=もとにする量×割合
(2)もとにする量=比べる量÷割合
(3)割合=比べる量÷もとにする量
を覚えるより、~倍をつけるだけのほうがずっと簡単に解けるようになるのではないでしょうか?




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mathematics 5年生で起こる算数の一大革命

割合の単元を学習していて、例えば「60円の、120円に対する割合を求めなさい。」という問題で、安易に120÷60=2とする子が相当数います(特に『ゆとり』以後、増えました)。

「おいおい、何でも大きい方を小さい方でわると思ったら大間違いだよ。割合の問題だと、小さい方を大きい方でわることも多いから、問題をよく読んで考えなきゃ。」と、今までは何の疑問も感じないでただ子どもを責めていたのですが、今年、5年生に割合を教えていて、初めてある重大なことに気づきました。

現行の4年生の教科書だと、1年間、かけ算の計算練習をする機会がまったくありません。単元として、かけ算の項目がゼロなのです(まともにかけ算ができない中学生の増えるのも当たり前です)。

5年生になると、今度は逆に、わり算が1年間に2回も、間をおかずに出てきます。最初が小数÷整数、後の方が小数÷小数です。これも頭がごっちゃになってよくないのですが(子どもの頭にはある程度の熟成期間が必要です)それはさておき、ということは、答えが小数になるわり算が、5年生になるまでまったく出てこないということにやっと最近気づきました。

4÷5=0.8が5年生になるまで出てこないのです。

ということは、5年生のわり算は、子どもたちの頭の中では、ちょうど中学1年生が負の数を習うのと同じような、算数・数学の世界での大革命です。
中学生になると、それまでの正の数に加えて負の数を知ることによって、数の世界が一挙に2倍に広がります。
同じように、小学5年生は答えが小数になるわり算を習うことで、今まで1より大きい整数しか出てこなかったわり算の世界に答えが1より小さい小数のものも出現することになって、一挙に2倍に数の世界が広がるわけです。

そりゃあ、常に大きい数÷小さい数しかしようとしない子が出てくるはずだ。それまでの10年間、その世界しか知らない、その世界しかないと思っている子に、すぐに新しい世界に慣れろと言っても無理だ。

大いに反省しました。

今年からはやさしく、算数では答えが1より小さい小数になる世界もあるんだよ、特に割合の世界はそうなんだよ、と教えることにします。


数の世界が2倍に広がる革命は、小5の後は中1の負の数、その後は中3のルート、そして高校生になってからの複素数でしょうか。

数学の苦手な中3の子が、平方根の習い初めにつまずくのも無理もない。

革命に慣れるには、ある程度の日数が必要です。

mathematics 割合・比べる量・もとにする量

割合の単元は、速さとならんで小学生がもっとも苦手とする分野です。
指導する私たちもいろいろ工夫をしますが、なかなかうまくいきません。

今日のこの稿は、いつもと違って「悩み」と「試行」の羅列です。
私が現状で考えている、「こうしたらいいのではないだろうか。」を書いてみたいと思います。


割合の3つの公式

算数の単元、『割合』では3つの式が出てきます。

1:割合=比べる量÷もとにする量
2:比べる量=もとにする量×割合
3:もとにする量=比べる量÷割合

割合の問題が難しい根本的な理由は、ここで出てくる3つの言葉、「割合」、「比べる量」、「もとにする量」が、子どもたちにとって外国語以上に意味不明なところにあります(教えているほうも、きちんとわかっているかどうか疑問です)。

割合の問題を上手に解くには、3つの言葉の意味を明瞭にすることしかないように思われます。


割合

まず、「割合」の言葉の意味を、「割合=比べる量÷もとにする量」を使って解くと思われている問題を例に考えてみましょう。

割合とは、『何倍か』という意味です。

「何倍か」と言えばよいのに「割合」の語をもちいるのは、普通「何倍か」というときは、2倍とか3倍とか1.5倍とか、1以上の数になることが多いのに対して、割合の場合は0.7倍とか0.3とか30%とか3割とかの、1より小さい数、全体の中の一部を表すことが多いからです。
「倍」には「大きくなる」というニュアンス、「割」には「小さくなる」というにおいが感じられます。

割合を習うまで、小学生の解くわり算は必ず「大きい数÷小さい数=1より大きい数」です。
割合の問題は逆に「小さい数÷大きい数=1より小さい数」であることがほとんどです。
そのことをはっきりと知っておかないといけませんが、それ以外では「割合」=「何倍か」と言い換えるとわかりやすくなります。

例題1:Aさんの体重が40kg、Bさんの体重が32kgであるとき、Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくらですか。

「Bさんの体重のAさんの体重に対する割合はいくら」の部分を、「BさんはAさんの何倍か」と読み替えると、はるかに簡単になります。

「BさんはAさんの何倍か」ですから、B÷A、32÷40=0.8倍です。

割合=比べる量÷もとにする量の式に苦労して当てはめるよりずっと楽だと思います。


もとにする量

比べる量=もとにする量×割合のタイプの問題を、「もとにする量」の意味を探ることで考えてみましょう。

「もとにする量」は、「割合」=「何倍か」ほど単純ではありません。
「もとにする量」にはいくつかの意味があります。

もともとは、「もと」とは「基準にする量」の意味です。

例題2:お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍です。ゆう子さんの身長が140cmのとき、お兄さんの身長は何cmですか。

「お兄さんの身長はゆう子さんの身長の1.1倍」とは、ゆう子さんの身長を『基準』にしたとき、お兄さんの身長がその1.1倍という意味です。

それさえわかれば、140cmの1.1倍だから、140×1.1=154cmとすぐわかります。
この問題のように、基準にする量がわかっているとき、かけ算で答えを求めることができます。

いまの子どもたちは、「もと」という和語より「基準」という漢語のほうが意味をとらえやすいようです。

もとにする量」の2番目の意味は、『全体』です。

例題3:小学校のしき地の面積が8000平方mであり、その0.35の割合にあたる部分が校舎の土地の面積である。校舎の土地の面積は何平方mですか。

しき地全体の面積が8000で、その0.35倍が校舎の面積なので8000×0.35=2800平方mです。
この問題のように、全体がわかっていてその一部を求めるときもかけ算になります。

この場合、小学校のしき地8000を『基準』にしたとき、その0.35倍が校舎だから8000×0.35と考えるより、全体8000のうちの0.35だから8000×0.35と考えるほうが、子どもたちの実際の頭の使い方に即しているように思われます。

もとにする量」の3番目の意味は、去年と今年のうち去年のように、時間の流れの中で『に起こった方』、『の方』の意味です。

例題4:去年のジャガイモの取れ高は90tだった。今年のジャガイモの取れ高は去年の取れ高の0.95にあたる。今年の取れ高はいくらか。

去年がわかっていて、その0.95倍だから90×0.95=85.5tです。

この問題のように、時期的な前の方、去年がわかっていて、後の方、今年を求めたいときもかけ算です。

「比べる量=もとにする量×割合」を100万遍唱えたって、上のような問題が解けるようになるとは思われません。
基準になる量がわかっているとき」、「全体の量がわかっているとき」、「順番の前の方の量がわかっているとき」、かけ算で答えを求めると考えた方がずっと実際の役にたちます。


比べる量


「もとにする量=比べる量÷割合」のカテゴリーに入る問題群を使って、「比べる量」の語の意味を最後に考えます。

先に結論を述べると、「比べる量」の意味を考えてもあまり役には立ちません。
「比べる量」とは、「もとにする量」との対比から生まれた概念であり、言い換えれば「もとにする量」と対照される後が「比べる量」であり、「もとにする量」を表だと考えると「比べる量」はその裏に過ぎないからです。
「もとにする量」でないもの、「もとにする量」の反対概念が「比べる量」です。

したがって、「基準になる量」ではなくて「比較される方の量」、「全体」ではなくて「部分」、連続した事項のうちの「前」ではなくて「」の方が「比べる量」です。

そして、「比べる量」がわかっているとき、割合でわると「もとにする量」がわかるということになります。
「もとにする量=比べる量÷割合」の式が表しているのは以上のような意味です。

妹の体重が36kgで姉の0.9にあたるときの姉の体重を求める問題(基準にあたる量を求める問題)、
貯金の0.4にあたる金額で2000円の本を買ったときにもとの貯金額全体を求める問題(全体にあたる量を求める問題)、
今年の売り上げ1210000円が去年に比べて1.1倍であるときの去年の売上高を求める問題(前後の流れのうち、前の方を求める問題)などが、
「もとにする量=比べる量÷割合」といわれる問題だということになります。


以上の記述で推測できると思いますが、私は割合の3つの式を教えたり、覚えさせたりすることには懐疑的です。
3つの式をちゃんと覚えたって何の役にも立たないのに、なぜすべての本で割合の単元の冒頭に3つの式が掲げられているのか、長年不思議に思っています。
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