science 輪軸（りんじく）

半径の異なる2つの輪を組み合わせ、同じ軸（中心）のまわりを回転するようにした道具を輪軸（りんじく）といいます。

滑車とてこのはたらきの両方を備えた道具です。

（１）滑車と同じはたらき
大きい輪に下向きに力を加えると、小さい輪につるされたものを逆の向きに持ち上げることができます。

（２）てこと同じはたらき
半径（中心からの距離）の小さい輪につりさげたおもりを、大きい輪を小さい力で引くことで持ち上げることができます。

輪軸は、滑車とてこの両方の性質をもった道具なので、滑車の原理とてこの原理のどちらかを使って問題を解くことができます（滑車の原理についてはこちら、てこの原理についてはこちらを参照）。


例題１：図１でひもをひく力Aの大きさ、図２で輪軸の半径Bの長さはそれぞれいくらですか。
（図１の解き方）
軸（中心）が支点ですから、てこの原理の、おもり×支点までの距離＝おもり×支点までの距離を使って解きます。
輪軸を反時計まわりにまわそうとする60×10と、輪軸を時計まわりにまわそうとするA×30が同じになればよいわけです。
60×10÷30=20
答えは20gの力です。

おもり×半径（支点までの距離）=おもり×半径（支点までの距離）で、積が一定だから、反比例と考えて解くこともできます。
半径が10:30=1:3で、おもりの比は逆の3:1になるから、3:1=60:A
A=20gです。

（図２の解き方）
同じように考えて、25×20=10×Bだから、25×20÷10=50、答えは50cmです。
または、25:10=5:2の逆の比になるから、2:5=20:Bより、B=50cmでもかまいません。




輪軸と仕事の原理

輪軸でも、仕事の原理（力×動いた距離は一定で変わらない）が成り立ちます。

例題２：図１、図２で、おもりを10cm引き上げるには、ひもを何cm引かないといけませんか。
（図１の解き方）
小さい輪で、60gのおもりが10cm動いたので、仕事の量は60×10=600。
仕事の原理より、大きい輪で20×ひもを引いた距離が600になればよい。
60×10=20×□
60×10÷20=30cmが答えです。

おもりの大きさが60:20=3:1だから、ひもの動く距離は逆比の1:3と考えて、30cmと考えてもかまいません。

別の考え方として、回転する角度が同じだから、おもりが移動する距離は半径に比例すると考えることもできます。
半径が1:3だから、おもりが移動する距離（=糸を引く距離）も1:3。
10:□=1:3だから、30cm。


（図２の解き方）
25×10=10×ひもを引く距離だから、25×10÷10より、答えは25cm。
または、おもりの大きさ25:10=5:2の逆の比になるから、10:□=2:5より、25cm。
または、同じ角度で回転するから半径の比=ひもを引く距離。10:□=2:5より、25cm。


複雑な問題の解き方

例題３：半径が5cmの小さい輪、半径が10cmの中くらいの輪、半径が20cmの大きい輪の、３つの輪をもった輪軸があります。図のように、小さい輪に18gのおもり、中くらいの輪に29gのおもりをつけて、大きい輪をAの力で引いたところ、輪軸はつり合いました。
（１）大きい輪を引く力Aの大きさはいくらですか。
（２）大きい輪のひもを40cm上に引いたとき、18gのおもり、29gのおもりはそれぞれどちらの向きに何cm動きますか。
（３）輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力はいくらですか。ただし、輪軸の重さは考えないものとします。


（解き方）
（１）大きい輪を引く力Aの大きさはいくらですか。
やや複雑な問題では、てこの問題と同じで、どちらにまわそうとする力なのかを確認しておく必要があります。
18gのおもりは、反時計まわりに輪軸をまわそうとする力です。
29gのおもりは、時計まわりにまわそうとする力です。
大きい輪に加えた力Aは、反時計まわりにまわそうとする力です。
この３つの力の間に、おもり×支点までの距離＝おもり×支点までの距離
の関係が成り立ちます。

だから、18×5+A×20=29×10。
90+A×20=290
A×20=200
A=10gです。


（２）大きい輪のひもを40cm上に引いたとき、18gのおもり、29gのおもりはそれぞれどちらの向きに何cm動きますか。
大きい輪を上に引くと、輪軸は反時計まわりに回転します。すると、18gのおもりは下に、29gのおもりは上に、動きます。

次に、おもりが動く距離ですが、この問題の場合、「回転する角度が同じだから移動する距離は半径に比例する」を使うのが一番簡単でしょう。
輪の半径は、5:10:20=1:2:4でした。

18gのおもりの動く距離は、□:40=1:4より10cm。

29gのおもりの動く距離は、□:40=2:4より20cm。


（３）輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力はいくらですか。ただし、輪軸の重さは考えないものとします。
滑車の問題と同じで、上へ引く力と下に引く力がつりあえばよいと考えます。

この問題では、輪軸全体を下に引く力は18gと29gです。
輪軸全体を上に引く力は10gでした。

10+□=18+29より、輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力は37gです。



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math 円の問題を解くときに使う3つの技（全体-白、分配法則、移動）

円の問題を解くときによく使う技（わざ）は、(1)全体-白、(2)分配法則、(3)移動の3つです。

全体-白
斜線の部分、かげをつけた部分の面積を求めるときは、「全体から白い部分をひく」の技を使います。

例題1：次の図でかげをつけた部分の面積を求めなさい。









（解答）
全体の直角二等辺三角形から、白い部分のおうぎ形の面積をひけばよい。

全体は、1つの角が45°の直角二等辺三角形だから、底辺も高さも8cmだと考えます。
三角形の面積は、8×8÷2=32

白い部分は、半径が8cmで、中心角が45°のおうぎ形です。
まず、円全体のどれだけにあたるかを求めると、
45÷360=45/360=1/8
円の1/8にあたるおうぎ形だとわかったから、おうぎ形の面積は、
8×8×3.14×1/8=8×3.14=25.12

以上より、全体-白を求めると、
32-25.12=6.88


分配法則
分配法則とは、
A×(B+C)=A×B+A×C
と、その逆の、
A×B+A×C=A×(B+C)
が成り立つという計算法則です。

算数では、「式をできるだけ簡単にしてから計算する」ことが大原則です。
何も考えないでがむしゃらに計算する人は、計算法則、特に分配法則を上手に使って工夫して解く人に比べると、時間が5倍以上かかり、計算まちがいも5倍以上増えます。
「どうしたら簡単に計算できるか」を常に考えて問題を解くべきです。

例題2：次の図でかげをつけた部分の面積を求めなさい。










（解答）
かげをつけた部分の面積を求める問題なので全体-白で解きますが、分配法則A×B+A×C=A×(B+C)を利用して、一番簡単な式にしてから最後に計算をします。

全体は半径10cmの半円、白い部分は半径4cmと半径6cmの半円です。
全体-白より、
10×10×3.14÷2-4×4×3.14÷2-6×6×3.14÷2

3.14÷2の部分が共通なので、分配法則を使って、
(10×10-4×4-6×6)×3.14÷2
=(100-16-36)×3.14÷2
=48×3.14÷2
=24×3.14
=75.36


移動
小学生が面積を求めることができるのは、三角形、四角形と円、そしておうぎ形だけです。
それ以外の形であれば、移動して、三角形、四角形、円、おうぎ形にしないと解けません。

例題3：次の図でかげをつけた部分の面積を求めなさい。













（解答）
このままでは、三角形でもおうぎ形でもないので解けません。
移動して、三角形やおうぎ形にします。

左図のように移動したら三角形とおうぎ形の図形になることに気がつけば、解くことができます。

移動の仕方を見つけるポイントは、三角形とおうぎ形にする、です。




次に、全体-白の技を使って、おうぎ形から三角形をひいたら解けると気づいたら、角度の45°から三角形の高さが4cmであることも見つけることができます。

以上の考察を経て、
半径8cmで中心角45°のおうぎ形の面積から、底辺8cmで高さが4cmの三角形の面積をひけばよいことがわかるので、

8×8×3.14×1/8-8×4÷2
=8×3.14-16
=25.12-16
=9.12




まとめ

(1)かげをつけた部分の面積=全体-白

(2)3.14がいくつか出てきたら分配法則を活用する

(3)移動して、三角形とおうぎ形にしないと解けない問題がある




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math 集合（重なり）の問題とベン図（小学算数）

集合の問題（重なりの問題）の解き方を考えます。

例題１：36人のクラスで算数のテストをおこないました。問題数は2問で、2問とも正解した人は9人、問い1の正解者は20人、問い2の正解者は12人でした。
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。


ベン図

集合の問題を考えるときに使われる便利な図が、イギリスの数学者ベンの考案したベン図です。
左図のように、クラス全体を長方形で表し、問い1と問い2の正解者をそれぞれ2つの円で表します。
どちらにも含まれる人（両方とも正解した人）があるときは一部が重なった2つの円で表します。

問題を解くとき、このベン図に数値を書き込むと簡単に解くことができます。







ベン図に数値を書き込んだものが次の図です。

問い1の正解者20人は、問い1だけを正解した人と問い2も正解した人を含んでいます。
このようなとき、円の内部に書き込まないで、両方を含んでいることがひと目でわかるように、問い1を表す線上に20と書き込むと後で混同しません。

問い2の正解者12人も同じように問い2を表す線の上に書き込みます。

両方の問題の正解者9人は、混同するおそれがないので、線上ではなくて内部に9と書き込みます。


そのあと、問い1だけの正解者を求めて（20-9=11）図の内部に書き込み、問い2だけの正解者を求めて（12-9=3）図の内部に書き込むと、視覚的にはっきりして悩まずに解くことができます。


（解答）
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
20-9=11
11人です。

(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。
36-(11+9+3)=13
13人です。

この例題は、20+12=32は両方とも正解の人数9人を1回だけダブって数えているから、36-(20+12-9)=13と、「頭で」考えても解くことができます。
しかし、ベン図を使い、それぞれの部分だけの人数を線上ではなくて内部に11、9、3と書き込むことで、「目で」確かめながら、「確信をもって」「正確に」解くことができます。


例題２：あるクラスで、ソフトボール部に入っている人は13人、コーラス部に入っている人は20人、水泳部に入っている人は7人です。水泳部だけに入っている人は2人います。ソフトボール部と水泳部の両方に入っている人はいません。また、3つのクラブに入っている人もいません。クラブに入っている人は全部で28人います。
（１）2つのクラブに入っている人は何人ですか。
（２）ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。

3種類の部分集合（重なり：この例題だとソフトボール部、コーラス部、水泳部）があるとき、ベン図は次の図になります。










この図に、まず、問題文に出てきた数値を書き込みます。

左のベン図から、コーラス部と水泳部の両方に入っている人は7-2=5人だとわかります。

さらに、水泳部だけに入っている人が2人であることからソフトボール部かコーラス部に入っている人は28-2=26人とわかります。

すると、ソフトボール部とコーラス部の両方に入っている人は、13+20-26=7人です。

これで、ベン図の中のすべての図の内部の人数がわかります。

（解答）
（１）2つのクラブに入っている人は何人ですか。

左図より、
7+5=12人

（２）ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。

左図より、13-7=6人


このように、ベン図を書いて、その図の内部に、その集合だけに含まれる個数を書いていくと、集合（重なり）の問題は簡単に解くことができます。


例題３：39人のクラスで、それぞれ100点満点の算数と国語のテストをしました。算数だけが70点以上の人は11人、どちらも70点未満の人は6人でした。また、国語だけが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかったそうです。国語だけが70点以上の人は何人ですか。

（解答）
ベン図より、
11+□+□×2-5=39-6
□+□×2-5=39-6-11
□+□×2-5=22
□+□×2=27
□×3=27
□=9

国語だけが70点以上の人は、9×2-5=13人







（まとめ）
１、集合の問題を解くときはベン図を利用する。
２、1つだけの集合を表す数値は図の内部に書き込み、2つ以上の集合にまたがっている数値は線上に書き込む。



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science ふりこ（振り子）の問題を解くときに大切なこと

ふりこについて確認しておくこと

まず最初に、言葉の意味をはっきりさせておきましょう。

ふりこ
糸におもりをつるし、振れるようにしたものです。

実際のふりこは、空気抵抗や支点での摩擦や糸がよじれる力などによって、振れるたびに少しずつ振れ幅が小さくなり、やがて止まります。
しかし、理科では、ふりこはいつまでも同じ振れ幅で振り続けるものとしてあつかいます。

支点
糸がてんじょうにつりさげられている場所が支点です。

おもりの重心
おもりの中心がおもりの重心です。

ふりこの長さ
支点からおもりの重心までの長さがふりこの長さです。

振れ幅
いくつかの考え方がありますが、通常は支点を通る縦の線と最大に振れたときのおもりの重心を通る縦の線との幅を振れ幅とします。

周期
おもりが1往復するのにかかる時間です。


ふりこの等時性

ふりこの長さが一定であれば、おもりの重さを変えても、おもりの振れ幅を変えても、ふりこが1往復する時間（周期）は変わりません。
これをふりこの等時性といいます。


おもりの重さと周期

おもりの重さを変えても、ふりこが1往復する時間（周期）は変わりません。

ふりこが往復運動をするのは、おもりが重力で下に引っ張られているからです。そして、重力で引かれるものは、重いものも軽いものも同じ速さで落下します。
だから、おもりの重さに関係なく、ふりこの周期は一定です。


振れ幅と周期

おもりを離す高さを変えて、おもりの振れ幅を変えても、ふりこが1往復する時間（ふりこの周期）は変わりません。

振れ幅が大きいほどおもりが動く距離は長くなりますが、振れ幅が大きいほどおもりが動く速さは速くなるので、1往復する時間（周期）は変わりません。


ふりこの長さと周期

ふりこの長さが1mのとき、おもりが1往復する時間（周期）は2秒であることを実験で確かめることができます。

また、ふりこの長さを長くすると周期は長くなり、ふりこの長さを短くすると周期は短くなります。

さらに、ふりこの長さと周期の間にあるきまりもわかっています。

ふりこの長さが4倍、9倍、16倍、25倍、・・・になると、周期は2倍、3倍、4倍、5倍、・・・になります。

ふりこの長さが2×2倍、3×3倍、4×4倍、5×5倍、・・・のとき、周期は2倍、3倍、4倍、5倍、・・・という関係が成り立っているのです。












ふりこの長さが2×2倍、3×3倍、4×4倍、5×5倍、・・・のとき、周期は2倍、3倍、4倍、5倍、・・・という関係が成り立っ理由を考えてみます。

左の図のように、ふりこの長さが4倍になったとします。
おもりの動く距離も4倍です。

ところが、おもりの動く時間（周期）が2倍になればおもりの速さも時間に比例して2倍になります。

だから、距離=速さ×時間の式より、距離が4倍だと、時間（周期）が2倍で速さが2倍であるといえます。


おもりの高さと速さ

おもりの位置と速さの関係

往復するおもりは、最も高い位置にきたとき、速さが0になり一瞬止まった状態となります。

その後、高い位置から低い位置に下がっていくにつれてだんだん速くなり、最も低い位置にきたとき、速さは最も速くなります。

最も低い地点を通過し、そこから高い位置に上がっていくとき、速さは徐々に遅くなり、最も高い位置で速さは0になります。

ふりこはこの運動を連続しておこないます。






おもりの速さと振れ始めの位置

ふりこでは、おもりの位置が最も低いとき、おもりの速さは最も速くなりますが、そのときの速さは振れ始めの位置、おもりの最初の高さによって決まります。

振れ始めの位置が高いほど（振れ幅が大きいほど）、支点のま下にきたときの速さは速くなります。

振れ幅が大きいほど、おもりが支点の真下の位置を通過するときの速さは速くなりますが、振れ幅が大きいほどおもりが動く距離は長くなるので、1往復する時間（周期）は変わりません。


途中でふりこの長さが変わるとき

途中にくぎなどを打つことによって、ふりこの糸の長さを変えたとき、変わらないものと変わるものがあります。

おもりが一番高くなるときの高さは、振れ始めの位置と変わりません。

おもりが支点のま下にきたとき、おもりの速さが一番速くなるときの速さは、どちらから振れたときも同じです。

変わるのは、おもりの移動にかかる時間です。

上の図だと、左半分はふりこの糸の長さが長く、右半分はふりこの糸の長さが短くなっています。
そして、「ふりこの長さを長くすると周期は長くなります」。

だから、図の左半分では、ふりこの長さが長いので、おもりが移動する時間は長く、右半分では、ふりこの長さが短いので、おもりが移動する時間は短いということになります。




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math 分数にかけると（分数をわると）整数になる分数

分数に整数をかけて、答えが整数になるとき

例えば、分数1/3にどんな整数をかけたら、答えが整数になるでしょうか？

答えが整数になるのは、分母とかけた整数を約分して、分母が1になるときです。

分母が3であれば、3、６、9、・・・などの3の倍数をかけたら、答えは整数になります。


確認：分数に、分母の倍数をかけたら答えは整数になる。


分数に分数をかけて、答えが整数になるとき

例えば、分数6/7にどんな分数をかけたら、答えが整数になるでしょうか？
答えが整数になるのは、もとの分数とかけた分数を約分して、どちらの分母も1になるときです。

例えば、もとのかけられる分数が6/7であれば、分母の7が約分で1になるように、かける分数の分子は7の倍数でないといけません。
さらに、かける分数の分母も約分で1にならないといけないので、もとの分数の分子がかける分数の分母の倍数であること、言い換えると、かける分数の分母は、もとの分数の分子の約数でないといけません。

つまり、もとの分数が6/7であれば、分子が分母7の倍数であるとき、そして分母が分子6の約数であるとき、答えが整数になります。

確認：分数に、分子がもとの分数の分母の倍数で、分母がもとの分数の分子の約数の分数をかけたら答えは整数になる。







２つの分数に分数をかけて、答えが整数になるとき

例えば、２つの分数6/5、4/7にそれぞれ同じ分数をかけて答えが整数になるようにしたいとき、どんな分数をかけたらよいでしょうか？

「分子がもとの分数の分母の倍数で、分母がもとの分数の分子の約数の分数をかけたら答えは整数になる」より、かける分数は、分子がもとの分数の分母である5と7の倍数（２つの数の共通の倍数だから公倍数）で、分母がもとの分数の分子である6と4の約数（２つの数の共通の約数だから公約数）でないといけません。

5と7の公倍数は35、70、・・・で、6と4の公約数は1と2ですから、答えは35/2、70/2、105/2・・・ということになります（分母が1であれば分数ではなくて整数ですから、分母が1の場合は除外したほうがよいでしょう）。

確認：2つの分数にかけて答えが整数になる分数は、分子がもとの２つの分数の分母の公倍数で、分母がもとの２つの分数の分子の公約数である。

覚え方：答えが整数になる分数は、分子が公倍数、分母が公約数


例題１：5/3、15/7、20/9に、できるだけ小さいある分数をかけて整数にしたい。かける分数を求めなさい。

（解き方）

「分子が公倍数、分母が公約数」を使います。

分子は、かけられる分数の分母である3、7、9の公倍数ですから、63、126、・・・です。

分母は、かけられる分数の分子である5、15、20の公約数ですから1か5です。

ところが、この問題では、「できるだけ小さい分数」という条件が加わっています。
分数は、分子が小さいほど、そして、分母が大きいほど、小さい分数です。
だから、分子の公倍数は最小公倍数、分母の公約数は最大公約数でないといけません。

以上より、答えは63/5です。

確認：「できるだけ小さい分数」は、分子が最小公倍数で分母が最大公約数のときである。


例題２：88/15をかけても、25/144でわっても整数になる分数の中で、最も小さい分数を求めなさい。

（解き方）

かけられる数とかける数が入れ替わっても解き方は同じです。

そして、「25/144でわる」は「144/25をかける」ことになりますから、「わる」を「逆数をかける」と考えると、やはり解き方は今までと同様です。

88/15と、逆数144/25の、「分子が公倍数、分母が公約数」を見つけます。
問題に「最も小さい分数」とあるので、「分子は最小公倍数、分母は最大公約数」です。

分子は、15と25の最小公倍数だから75です。

分母は、88と144の最大公約数だから8です。

よって、答えは75/8です。




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science 浮力（ふりょく）の問題を解くときに大切なこと（小学理科）

（この稿は小学生向けです。中学理科の浮力についてはこちらをご覧ください。）

浮力の意味、浮力が生まれる理由、アルキメデスの原理については、『浮力とは何か』でまとめました。

『浮力とは何か』で理解しておかないといけないポイントは次の２つでした。
１、ものの重さ-水に入れたときのものの重さ＝浮力
２、浮力＝ものの（水中の）体積


この稿では、上の２つのポイントをおさえた上で、いろいろな浮力の問題を解くときに必要になってくる大切なことがらをまとめます。


浮力の意味がわかっているかどうかを問う問題

例題１：あるものの重さをばねはかりではかったら120gでした。そのまま、ものを水に入れると、もの全部が水に入り、ばねはかりの目盛りは80gをさしました。
（１）ものにはたらいている浮力は何gですか。
（２）ものの体積は何立方cmですか。





（解き方）

（１）「ものの重さ-水に入れたときのものの重さ＝浮力」より、ただものの重さをはかったときの重さと、ものを水中に入れて重さをはかったときの重さの差が、そのものにはたらいている浮力の大きさです。

だから、ものにはたらいている浮力は、
120-80=40g
です。

（２）「浮力＝ものの（水中の）体積」より、水中のものにはたらいている浮力が40gであれば、そのものの、水中に入っている部分の体積も40立方cmです。
この問題ではもの全体が水に入っているので、このものの体積は40立方cmです。

注：「浮力＝ものの（水中の）体積」は覚え方であって、もちろん単位は違います。浮力の単位はg、体積の単位は立方cmです。
浮力と体積と、数値の部分だけが等しくなります。


ものが水に浮いているとき

例題２：重さ60g、体積80立方cmの木片を水に入れたところ、木片は水に浮かびました。
（１）木片にはたらいている浮力の大きさは何gですか。
（２）木片の、水中に沈んでいる部分の体積は何立方cmですか。
（３）木片の上に何g以上のおもりをのせると、木片は完全に水に沈みますか。

（解き方）

（１）ものが水に浮いているとき、なぜものが浮くかというと、下向きにものを引っぱる重力（重さ）の大きさと、上向きにものを支えている浮力の大きさが等しいから、ものは浮いているのです。

大切なこと：ものが浮いているときは、重さ=浮力

だから、重さ60gのものが浮いているとき、そのものにはたらいている浮力も60gです。



（２）「浮力＝ものの（水中の）体積」より、浮力が60gだったので、木片の、水に沈んだ部分の体積も60立方cmです。

（３）体積が80立方cmの木片を完全に水中に沈めると、「浮力＝ものの（水中の）体積」より80gの浮力が生まれます。
だから、この80gの浮力にさからって木片を完全に水に沈めるには、80g以上の重さが必要です。

今、木片自体の重さが60gだから、重さを80gにするには、80-60=20g、あと20g以上の重さが必要です。


浮力と全体の重さ

例題３：ビーカーに水を入れて台はかりで重さをはかったところ、台はかりの目盛りは300gを示しました。
（１）水に重さが50gで体積が10立方cmのおもりを沈めたら、台はかりの目盛りは何gをさしますか。









（２）おもりをばねはかりにつるして、ゆっくりばねはかりを上にあげていくと、ばねはかりの目盛りが何gのとき、おもりはビーカーの底を離れますか。

（３）おもりがビーカーの底を離れたとき、ビーカーの下の台はかりの目盛りは何gをさしていますか。









（解き方）
（１）水に重さが50gで体積が10立方cmのおもりを沈めたら、台はかりの目盛りは何gをさしますか。

ビーカーと水を合わせた重さはが300gで、おもりの重さが50gです。

300gと50gを合わせた重さが下の台はかりにかかるので、台はかりの目盛りは300+50=350gをさします。

このとき、おもりには「浮力＝ものの（水中の）体積」より、10gの浮力がはたらいていますが、この浮力は、おもりを持ち上げようとすると浮力の分だけ軽くなるという意味しかありません（台はかりの、のせる台を上に持ち上げる力ではありません）。

だから、浮力がはたらいていても、浮力に関係なく、台はかりには水とビーカーとおもりの重さを合わせた重さがかかります。


（２）おもりをばねはかりにつりして、ゆっくりばねはかりを上にあげていくと、ばねはかりの目盛りが何gのとき、おもりはビーカーの底を離れますか。

（３）おもりがビーカーの底を離れたとき、ビーカーの下の台はかりの目盛りは何gをさしていますか。

（２）おもりの重さは50gです。
そして、「浮力＝ものの（水中の）体積」より、おもりには10gの浮力がはたらいています。

だから、ばねはかりでおもりを持ち上げるとき、50-10=40gの力で持ち上げることができます。

（３）ばねはかりで持ち上げる前は、水とビーカー、そしておもりの重さを合わせた350gの重さが下の台はかりにかかっていました。

ところが、その350gの重さのうち、ばねはかりが上向きに40gの力でおもりを引っ張ってくれることで、台はかりの台を押す力は40ｇだけ減少します。
だから、下の台はかりの目盛りは350-40=310gになります。

つまり、台はかりには、水とビーカーの重さの300gに、浮力の10gを加えた重さがかかっていることになります。

大切なこと：ビーカー・水・おもりの３つの重さが下の台はかりにかかる。

大切なこと：おもりをばねはかりで上に持ち上げるとき、ばねはかりの目盛りの分だけ、台はかりの目盛りは小さくなる。

台はかりにかかる力
=ビーカー＋水＋（おもりの重さ‐ばねはかりで上に引く力）
＝ビーカー＋水＋浮力


氷を水に浮かべたときの台はかりの目盛りと水面の高さ

例題４：重さ30g、体積33立方cmの氷をビーカーに入れた水の中に入れると、氷は一部を水面の上に出して水に浮かびました。このとき、台はかりの目盛りは150gでした。
（１）水面より上に出ている氷の体積はいくらですか。
（２）氷がすべてとけたあとの台はかりの目盛りは何gを示しますか。
（３）氷がすべてとけたあと、氷がとける前に比べて水面の高さはどうなっていますか。


（解き方）

（１）水面より上に出ている氷の体積はいくらですか。

氷が水に浮いているとき、氷の重さ=氷にはたらく浮力であり、氷にはたらく浮力=氷の（水中の）体積です。
氷の重さが30gだから、氷にはたらいている浮力も30g、そして、氷の水中に沈んでいる部分の体積も30立方cmです。

だから、水面より上に出ている氷の体積は33-30=3立方cmです。

（２）氷がすべてとけたあとの台はかりの目盛りは何gを示しますか。

ビーカー・水・氷の重さが下の台はかりにかかっています。
ビーカー＋水＋氷=150g
氷がとけてもこの関係に変化はありませんから、氷がすべてとけたあとの台はかりの目盛りは150gのままです。

重さ30gの氷が水に浮いているとき、氷にはたらいている浮力も30gです。
この浮力は、氷にはたらく上向きの力であり、氷を水にうかべている力ですが、下の台はかりの台を上に持ち上げる力ではありません。
つまり、台はかりの目盛りには関係しません。

（３）氷がすべてとけたあと、氷がとける前に比べて水面の高さはどうなっていますか。

水は1gが1立方cmです。

だから、氷の重さが30gのとき、氷がとけて水になってしまうとその体積は30立方cmになります。

ところが、（１）で、氷の水中に沈んだ部分の体積は30立方cmでした。

つまり、氷のときも、とけて水になったあとも、氷によって増える体積は30立方cmのままで、かわりません。

水面の高さはずっと変化しません。

大切なこと：氷が水に浮かんでいるとき、氷がとけても水面の高さは変化しない。


水以外の液体と浮力

「ものを水に入れると、ものがおしのけた体積の水の重さと同じだけ軽くなる」がアルキメデスの原理です。

水以外の液体にものを入れると、「ものがおしのけた体積の液体の重さと同じだけ軽くなる」ことになります。

例題５：体積40立方cmのおもりの重さをばねはかりではかったら120gでした。おもりを密度0.8g/立方cmの液体に入れました。
（１）おもりにはたらいている浮力は何gですか。
（２）おもりを液体に入れたあと、ばねはかりの目盛りは何gを示しますか。

（解き方）

（１）水中におもりを入れたとき、おしのけた液体の体積は40立方cmであり、おしのけた液体の重さは0.8×40=32gです。

「ものがおしのけた体積の液体の重さと同じだけ軽くなる」ので、おもりにはたらいている浮力は32gです。

（２）120-32=88gだから、ばねはかりの目盛りは88gを示します。


大切なこと：水以外の液体にものを入れたときの浮力は、浮力=密度×（水中の）体積




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science 浮力（ふりょく）とは何か？（小学理科）

（この稿は小学生向けです。中学理科の浮力についてはこちらをご覧ください。）

浮力とは

ばねはかりにものをつるし、目盛りを読むとAgであったとします。
次にものを水中に入れて、ばねはかりの目盛りを読むとBgだったとします。

このとき、A>Bとなります。

ものを水中に入れると、入れる前よりばねはかりの目盛りは小さくなる、つまり、軽くなったようにみえます。

また、空気中だと手を離すと下に落ちる木が、水には浮きます。

なぜでしょうか？

地球上にあるすべてのものには、地球がものを真下（地球の中心）に向かって引く力（これを重力といいます）がはたらいています。
だから、支えないと、ものは地面に向かって落ちるのです。

水中にあるものにも重力は当然はたらいています。

水中にあるものが軽くなったように見えるのは、下向きにはたらく重力に逆らう、上向きの力がはたらいているからです。
水中にあるものにはたらいている、この上向きの力のことを浮力（ふりょく）といいます。

ものをばねはかりにつるしただけのときは、ものには重力しかはたらいていません。
このとき、ばねはかりの目盛り＝重力です。

ものを水中に入れたとき、下向きに重力がはたらき、ばねはかりを下に引きますが、上向きの浮力もはたらき、ばねはかりを下に引く力は、重力−浮力となります。

浮力をひく分だけ、水中にあるものは軽くなったように見えるわけです。


浮力が生まれる理由

自分の体に布団をのせていくことを想像してください。
上にのる布団の枚数が増えるほどぎゅうっと押されるはずです。

水中にあるものは、体の上に布団をのせるのと同じで、上にのった水からぎゅうっと押されます。
この、水が押す力のことを水の圧力（＝水圧）といいます。

深いほど上にのる水の量も増えるので、水圧も大きくなります。
つまり、水圧は深さに比例します。

左の図で、水の圧力は深さに比例するので、水圧C<D<E<Fとなります。

ところが、水圧のうち、DやEは、D1=D2、E1=E2だから、左から押す力と右から押す力がお互いに打ち消しあって、力としては０になります。

結局、上から下にものを押す圧力Cと、下から上にものを押す圧力Fだけが残ります。

この、下に押す圧力Cと、上に押す圧力Fとの差によって生まれるのが浮力です。

水の圧力は深さに比例するので、C<Fとなり、水中にあるものには常に上向きの力である浮力がはたらいていることになります。


アルキメデスの原理

水中にあるものの上にのっている水の重さを考えてみましょう。

体積＝底面積×高さの公式より、深さがacmのとき、ものの上の面より上にある水の体積は、上の面の面積×深さaです。

同じように、ものの下の面より上にある水の体積は、下の面の面積×深さbです。

水の体積の差は、上の面の面積と下の面の面積が等しいときは、
下の面の面積×深さb-上の面の面積×深さa
=面積×(b-a)
=面積×ものの高さ
=ものの体積

そして、水は1立方cm＝1gです。
だから、ものの体積と水の重さの差は一致します。

水の体積の差＝ものの体積＝水の重さの差＝浮力

つまり、ものが全部水の中にあれば、ものの体積と浮力の値は一致します。

この関係はアルキメデスが発見したのでアルキメデスの原理といわれます。
アルキメデスは、「ものを水に入れると、ものがおしのけた体積の水の重さと同じだけ軽くなる」と記述しました。

「ものがおしのけた体積」＝「ものの体積」であり、水の体積1立方cm＝水の重さ1gですから、単位はちがいますが、
（水中の）体積＝浮力
と覚えると、問題を解くときに使いやすくなります。


まとめ

１、ものの重さ-水に入れてはかったものの重さ＝浮力

２、浮力＝（水中の）ものの体積


（例）
あるものの重さをばねはかりではかったら150gで、ものを完全に水に入れてばねはかりで重さをはかったら100gであったとします。
このときはたらいている浮力は、150-100=50gです。

また、浮力=（水中の）体積だから、このものの体積は50立方cmです。

逆に、重さが150g、体積が50立方cmのものを完全に水に入れて重さをはかると、（水中の）体積と等しい浮力がはたらくので、ばねはかりの目盛りは150-50=100gになります。


次の稿で、浮力のいろいろな問題をとりあげます。


（注）中学校では、重さと質量を区別し、質量の単位としてgとkg、重さと力の単位としてN（ニュートン）をもちいます。
小学校範囲では、質量と重さ・力を区別しないし、単位のN（ニュートン)も使わないので、この稿でも質量、重さ、力の区別はあいまいなまま記述しています。



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science てこの問題を解くときに大切なこと

てこの原理

てこの原理はアルキメデスが発見したとされています。

てこの原理

おもり×支点までの距離＝おもり×支点までの距離

左の図だと、
A×a=B×b

このときのA×aをてこを反時計回り（左回り）に回転させようとする力、B×bをてこを時計回り（右回り）に回転させようとする力と考えます。
てこでは、常に、反時計回り（左回り）の力=時計回り（右回り）の力の関係が成り立つわけです。


逆の比になる

A×a=B×bだと、2×3=3×2でわかるように、
A:B=b:aとなります。
つまり、おもりの比と、支点までの距離の比とは、逆の比になります（積が一定なので、反比例と考えることもできます）。


基本的な問題

例題１：図のてこはつりあっています。おもりAは何gですか。ただし、棒の重さは考えないものとします。

（解き方）
てこの原理で解く

おもり×支点までの距離＝おもり×支点までの距離より、30×A=10×60
A=600÷30
=20g

逆の比で解く

A:60の比は30:10(=3:1)の逆になります。

A:60=1:3より、
A=20g


「てこの原理」で解くか「逆の比」で解くか

もちろん、どちらで解いてもよいのですが、やさしい問題は逆の比を使ってあっさりと暗算で解き、複雑な問題はてこの原理を使って慎重に解くのがよいでしょう。


支点が棒の端にある問題

支点が棒の中央でなくて棒の端にあっても、解き方はまったく変わりません。

例題２：図のてこはつりあっています。ばねはかりAは何gを示しますか。ただし、棒の重さは考えないものとします。

（解き方）
おもり×支点までの距離＝おもり×支点までの距離より、A×60=60×40。
A=2400÷60
=40g

または、逆の比より、
A:60=40:60
A=40g


いくつもおもりがある、やや複雑な問題

複雑な問題では、てこを、時計回りにまわそうとする力の合計と、反時計回りにまわそうとする力の合計が等しいことを使います。

例題３：図のてこはつりあっています。おもりAは何gですか。ただし、棒の重さは考えないものとします。

（解き方）
おもり×支点までの距離＝おもり×支点までの距離を使いますが、時計回りにまわそうとする力の合計と、反時計回りにまわそうとする力の合計が等しいことに的をしぼって考えていきます。

左側の2個のおもりの、反時計回りにてこをまわそうとする力の合計は、
10×40+A×20
=400+A×20・・・(1)
です。

右側の2個のおもりの、時計回りにてこをまわそうとする力の合計は、
10×10+20×(10+20)
=100+600
=700・・・(2)
です。

(1)(2)より、
400+A×20=700
等号の左側と右側のちがいは、400と700のちがいの300。
これが、A×20ですから、
A=300÷20
=15g
です。


例題４：図のてこはつりあっています。ばねはかりAは何gを示しますか。ただし、棒の重さは考えないものとします。

（解き方）
支点を基準に、てこを時計回りにまわそうとする力は、
10×20+40×50
=200+2000
=2200
です。

てこを時計回りにまわそうとする力は、
A×40
です。

2つの力が等しいので、
A×40=2200
A=55g
です。





棒に重さがあるとき

ある物体の重さ全体が、1つの点にはたらいていると考えてよい点があります。
その点を重心といいます。
左図だと、重心でものを支えることができます。
ということは、ものの重さは重心という１点にはたらいていると考えてよい、ということです。

てこの問題で棒に重さがあるとき、棒の重さは重心にはたらいていると考えます。
そして、単純に言うと、棒の重心は棒の「真ん中」にあると考えてください。

例題５：長さ60cmの棒の左端に50gのおもりをつるし、棒の左端から10cmのところをひもで支えると、棒は水平になってつりあった。この棒の重さは何gですか。

（解き方）
棒の重さは、重心（棒の中心）にあると考えます。




この問題だと、棒の真ん中の端から30cmのところが重心で、そこに棒の重さがかかっています。
反時計回りにまわそうとする力は、50×10=500です。
時計回りにまわそうとする力は、
棒の重さ×20です。

よって、棒の重さは、
棒の重さ×20=500だから、
500÷20=25gです。





モビールの問題

いくつかのてこが組み合わされたものをモビールといいます。
モビールの問題では、てこを「上に引く力と下に引く力は等しい」ことも使います。

左図で、てこを下に引く力は20+30=50gです。

このとき、てこを上に引く力（ばねはかりの目盛り）は、つなひきと同じで、下に引く力と等しい50gです。









例題５：図のように重さを考えない棒やひもで作ったモビールがつりあっています。おもりAの重さ、おもりBの重さ、ばねはかりCの目盛りはそれぞれ何gですか。

（解き方）
まず、おもりAの重さを求めましょう。
左下のてこで、支点までの距離が20cm:10cm=2:1だから、
おもりの比は逆になります。
100g:Ag=1:2
よって、A=200gです。

次に、左下のてこを下に引く力は100+A=100+200=300g
つまり、アの点にかかっている力は300gです。

今度はおもりBの重さを求めます。
アにかかる力とBの比は、右上のてこの、支点までの距離10:30=1:3の逆の比になります。
300:B=3:1
B=100gです。

最後に、Cのばねはかりの目盛りを求めます。
右上のてこで、てこを下に引く力はアの300gとBの100gの合計の400gです。
だから、右上のてこを上に引く力（ばねはかりの目盛り）も、同じ400gです。


右と左で幅がちがう棒の問題

最後に、ちょっと難しい問題を取り上げます。

例題６：だんだん細くなっている長さ60cmの棒ABをもちいて、図１のように一方の端を地面に置いて他方の端をばねはかりでつるしたところ、A点でつるした場合は300gでしたが、B点でつるした場合は100gでした。
また、図２のように棒のP点を糸でつるしたところ棒は水平になりました。
（１）棒の重さは何gですか。
（２）AP間の距離は何cmですか。



















（解き方）
棒の重心を、左図の赤丸の場所だと仮定します（幅がちがう棒なので、重心は真ん中ではありません）。

図１の左で、時計回りにまわそうとする力は300×60=18000です。
反時計回りにまわそうとうする力は、棒の重さ×aです。
棒の重さ×a=18000・・・(1)

図１の右で、反時計回りにまわそうとする力は100×60=6000です。
時計回りにまわそうとする力は棒の重さ×bです。
棒の重さ×b=6000・・・(2)

(1)(2)より、棒の重さ×a:棒の重さ×b=18000:6000=3:1

ところが、棒の重さは共通だから、
a:b=3:1

棒の長さ60cmをa:bの3:1で分けると、a=45cm、b=15cmとわかります。

もう一度、図１の左にもどって、
300×60=棒の重さ×45

棒の重さは、300×60÷45=400gです。


（２）AP間の距離は何cmですか。

点Pは重心だから、AP=15cmです。



てこの問題を解くときに大切なこと（まとめ）

１、てこの原理「おもり×支点までの距離＝おもり×支点までの距離」の式か、逆比「おもりの比がA:Bなら、支点までの距離はB:A」かのどちらかで解く。

２、複雑な問題は、「時計回りにまわそうとする力の合計=反時計回りにまわそうとする力の合計」を使う。

３、棒に重さがあるときは、重心に棒の重さがかかっていると考える。

４、モビールの問題は、てこを「上に引く力と下に引く力は等しい」を使う。





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science 定滑車・動滑車・組み合せ滑車

滑車のすべての問題は、２つの原理さえ理解できれば簡単に解けるようになります。

原理１：１本の糸にはたらく力の大きさはすべて等しい。


図で、左に引く力が１なら、右に引く力も１です。



糸を滑車にかけても、この原理は変わりません。


図で、左下に引く力が１なら、右下に引く力も１です。








原理２：上に引っ張る力の和と下に引っ張る力の和はつねに等しい。


例えば、滑車を上に２つの力で引くとき、１つの力を１とすると、上に引く力は２つの力を合わせて１＋１＝２となります。
その力とつりあう、下に引く力は２です。









滑車を上に３つの力で引くとき、上に引く力の和は１＋１＋１＝３となり、下に引く力は３の大きさになります。









定滑車と動滑車

定滑車・・・固定されて動かない滑車が定滑車です。
糸を下に引くと、おもりは上に上がります。


「１本の糸にはたらく力は等しい」より、糸を引く力は、おもりの重さ（おもりにはたらく重力）と同じ大きさの力です。

糸を引く力＝おもりの重さ





糸を下に引いた長さと同じ長さだけ、おもりは上に上がります。

糸を引く長さ＝おもりがあがる長さ


動滑車・・・おもりが滑車にぶらさがっていて、おもりと一緒に滑車も動くのが動滑車です。
糸を上に引くと、おもりも動滑車も上に上がります。

「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」より、左の図で、動滑車にかかった糸の左の部分と右の部分の滑車を上に引く力の和（合計）が、おもりが滑車を下に引く力（おもりの重さ）と等しくなります。

また、「１本の糸にはたらく力は等しい」より、糸の左の部分と右の部分とは同じ大きさの力です。

だから、糸が滑車を上に引く２つの力は等しく、ともにおもりの重さの半分（1/2）だということになります。

糸を引く力＝おもりの重さの半分（1/2）


また、下の図を見たらわかるように、糸を上に引く長さは、おもりが上に上がる長さの２倍になります。

糸を引く長さ＝おもりが上にあがる長さの２倍










（糸を引く長さが2倍になることを、さらに詳しく説明すると・・・）

一つの例として、おもりを10cm上に引き上げるときを考えてみましょう。

左の図で、おもりが上に10cm上がるとき、おもりをつりさげている滑車も、10cm上に上がります。

このとき、滑車が10cm上に上がると、糸は、糸の青の点線の部分である、10cm+10cm=20cm引き上げられていることが、左図よりわかります。




では、ここまで学んだことを使って、まず基本的な問題を解いてみましょう。

例題１：図１、図２のように、滑車を使って100gのおもりを持ち上げました。滑車の重さを考えないものとして、次の問いに答えなさい。

（１）図１、図２でおもりを持ち上げるとき、ひもを引く力はそれぞれ何gですか。

（２）図１、図２でおもりを10cm持ち上げるとき、ひもをそれぞれ何cm引けばよいですか。

（３）図１のア点、図２のイ点には、それぞれ何gの力が力がはたらいていますか。

（４）図１で、ひもを引く方向をAの向きにかえておもりを持ち上げるとき、ひもを引く力は何gになりますか。


（考え方と解答）

（１）図１、図２でおもりを持ち上げるとき、ひもを引く力はそれぞれ何gですか。

図１は定滑車です。
ひもを引く力はおもりの重さと同じです。
ゆえに、ひもを引く力は100gです。

図２は動滑車です。
ひもを引く力はおもりの重さの半分（1/2）です。
ゆえに、ひもを引く力は50gです。



（２）図１、図２でおもりを10cm持ち上げるとき、ひもをそれぞれ何cm引けばよいですか。

図１は定滑車なので、ひもを引く長さはおもりが上がる長さと同じです。
ゆえに10cmです。

図２は動滑車なので、ひもを引く長さはおもりが上がる長さの２倍です。
ゆえに20cmです。




（３）図１のア点、図２のイ点には、それぞれ何gの力が力がはたらいていますか。

「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」の原理を使います。

図１で、定滑車を下に引く力は、おもりの100gとひもを引く力100gの合計の200gです。
アにはたらく力は定滑車を上に引く力であり、下に引く力＝上に引く力なので、アにはたらく力は100+100=200gです。

図２で、動滑車を下に引く力は、おもりの100gだけです。
動滑車を上に引く力は、イの力＋ひもを引く力であり、イの力＝ひもを引く力だから、イの力（＝ひもを引く力）は100÷2=50gです。

（４）図１で、ひもを引く方向をAの向きにかえておもりを持ち上げるとき、ひもを引く力は何gになりますか。

ひもを引く向きをかえても、１本のひもを両方から引く力は等しく、かわりません。
ゆえにAの力は100gです。



次に、複雑な「組み合わせ滑車」の問題を解いてみましょう。

原理１、「１本の糸にはたらく力は等しい」と、
原理２、「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」の、
２つさえ上手に使いこなせたら、どんな複雑な滑車の問題もすらすらと解けるようになります。


組み合わせ滑車

例題２：滑車を組み合わせて、おもりを下げてつり合わせました。あとの問いに答えなさい。ただし、滑車の重さは考えないものとします。

（１）図で、つるしたおもりア、ウ、エはそれぞれ何gですか。

（２）図のイの点にはたらく力は何gですか。











































（考え方と解答）

（１）図で、つるしたおもりアは何gですか。

まず、「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」から、動滑車を上に引っ張る２つの力は１と１で、下に引っ張るおもりの重さは２です。

おもりの重さ２が500gだから、1の力は、500÷2=250gです。

次に、「１本の糸にはたらく力は等しい」より、アの力は250gです。





（１）図で、つるしたおもりウは何gですか。

「１本の糸にはたらく力は等しい」から、糸のそれぞれの部分に１を書き込んでおきます。

図を見たらわかるように、おもりのぶら下がった２つの動滑車を４本の糸が上に引いています。
つまり、上に引く力は1+1+1+1=4です。
１にあたる力が80gですから、４にあたる力は80×4=320gです。

「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」より、ウのおもりの重さは320gということになります。



（１）図で、つるしたおもりエは何gですか。

「１本の糸にはたらく力は等しい」ことから、エのおもりをさげている糸の３か所に１を書き込みます。

「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」ことから、1+1で下に引っ張られている右の動滑車を上に引っ張っている糸に２と書き込みます。
さらに、「１本の糸にはたらく力は等しい」ので、２とつながっている糸の部分にも２と書いておきます。

そうすると、左の動滑車を上に引っ張っている力は、1+2+1=4だとわかります。

「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」ので、その動滑車を下に引っ張っているおもりの重さ240gも４の力です。

以上より、１の力は240÷4=60gです。
よって、エのおもりの重さは60gです。



（２）図のイの点にはたらく力は何gですか。

右の定滑車が固定されたイを下に引く力は、1+1=2の力です。

２の力は500gだから、イの力は500gです。











このように、
原理１、「１本の糸にはたらく力は等しい」と、
原理２、「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」の、
２つの要領さえ理解できたら、どんな問題でも解けます。


例題３：図１〜３の組み合わせ滑車はつりあっています。おもりア〜エの重さは何gですか。ただし、滑車の重さは考えないものとします。













































（考え方と解答）

おもりアの重さは何gですか。

「１本の糸にはたらく力は等しい」ので、480gのおもりを下げている糸の３か所に１を書き込みます。

そうすると、「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」から、右の動滑車を上に引っ張る糸の力は２だとわかります。

最後に、左の動滑車を上に引っ張っている力は、1+2+1=4の力です。

１の力が480gだから、４の力は480×4=1920g、アのおもりの重さは1920gです。




おもりイの重さは何gですか。

この問題の糸はつながった１本の糸なので、「１本の糸にはたらく力は等しい」より、４か所に１と書き込んでおきます。

左下の動滑車を上に引っ張っている糸は３本だから、動滑車を上に引く力は1+1+1=3の力です。

「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」から、動滑車を下に引っ張っているおもりの重さも３にあたる量です。

３にあたる量が240gだから、１にあたる量は240÷3=80gだとわかります。

ゆえに、イの力は80gです。


おもりウ、エの重さは何gですか。

まず、「１本の糸にはたらく力は等しい」ので、つながった１本の糸のそれぞれの部分に１を書き込みます。

中央の、２個のくっついた動滑車は４本の糸で上に引っ張られているので、「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」より、下に引っ張っているおもりの重さも1+1+1+1=4です。

４の力が200gだから、１にあたる力は200÷4=50gだとわかります。

ゆえに、エの力は50gです。

最後に、ウを考えましょう。

左下の動滑車を上に引っ張っている糸は２本だから、上に引く力は２です。
だから、下に引く力のウも２の力です。

１にあたる力が50gだったので、ウの力は50×2=100gです。


まとめ

組み合わせ滑車の問題では、２つの原理、
「１本の糸にはたらく力は等しい」と、
「上に引っ張る力と下に引っ張る力は等しい」を、
上手に使えばよい。

上手に使うためには、最初、１本の糸のそれぞれの部分に１と書き込めばよい。




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math 90°30°60°の直角三角形、辺の長さで成り立つこと

３つの角が90°、30°、60°の直角三角形の辺のうち、一番長い辺（斜辺（しゃへん））と一番短い辺とは常に長さが2：1になります。









なぜ、2：1になるのか？

（１）分割して見つける方法
角BACを30°と60°に分ける線をひき、辺BCと交わる点をMとします。
三角形AMCで、角の和は180°ですから、角AMCも60°となり、三角形AMCは正三角形になります。
だから、辺ACの長さを1とすると、辺AMの長さも辺MCの長さも1です。

また、三角形ABMは角ABM=角BAM=30°となり、2つの角の大きさが等しいので二等辺三角形です。
だから、AM=BMとなり、AM=1ですからBM=1です。

以上より、BC：AC=1+1：1=2：1だといえます。

（２）円を使って見つける方法
中心が点Oである円の直径の両端を点B、点C、とし、円周上の一点を点Aとします。
このとき、角BOCは180°であり、どんなときでも角BACはその半分の90°になります。
その性質を利用して、底辺が直径のBCで、角ABC=30°、角ACB=60°の、円に接する直角三角形ABCをかきます。

半径の長さは等しいので、OC=OAです。
三角形AOCでOC=OAだから、二等辺三角形の性質より角OACも60°になります。さらに、三角形AOCの角の和は180°だから、角AOCも60°となり、三角形AOCは正三角形です。
だから、辺ACの長さを1とすると、OAの長さも、OCの長さも1です。

次に、半径の長さは等しいのでOA=BOとなり、BOの長さも1です。

以上より、BC：AC=1+1：1=2：1だといえます。


90°・30°・60°の直角三角形の辺の比が2：1であることを使う問題

例題：かげをつけた部分の面積を求めなさい。











（解き方と解答）
曲線部分があるとき、小学生は、「おうぎ形」の面積を求める以外に面積を求める方法はありません。
そこから出発します。

そうすると、中心角が150°のおうぎ形から三角形の面積をひいたら求められることがわかってきます。






まず、半径が10cmで、中心角が150°のおうぎ形の面積を求めます。
10×10×3.14×150/360
=314×5/12
=785/6・・・（１）

次に、三角形ABOの面積を求めます。
底辺BOの長さは10cmです。
高さは、頂点AからBCに垂直にひいたAHの長さです。

ところが、三角形AOHは、90°、30°、60°の直角三角形ですから、AO：AH=2：1になります。

AO=BO=10cmだから、AH=5cmです。

以上より、三角形ABOの面積は、10×5÷2=25・・・（２）

（１）（２）より、かげをつけた部分の面積は、
785/6-25
=785/6-150/6
=635/6



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