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勉強をしている子どもたちが、悩み、知りたい、理解したいと思いながら、今までは調べる方法がなかった事柄を、必要かつ十分な説明でわかりやすく記述したサイトです

文章題

math 超簡単 反比例(はんぴれい) (小学算数)

6年生で習う反比例は、比例と対照して、比例と一緒に覚えると簡単です(比例についてはこちらをご覧ください。)。


基本をしっかりと理解しよう

反比例では、大事なことを最初にしっかりと理解しておかないといけません。覚えておかないといけないことはたった4つです。


反比例とは


面積が12平方cmの長方形があります。縦が1cmなら横は12cm、縦が2cmなら横は6cm、縦が3cmなら横は4cm、縦が4cmなら横は3cm、…と、縦が大きくなると横は逆に小さくなっていきます。
このときの縦と横の関係が反比例です。
反比例縦と横の間には規則があって、縦が1m,2m,3m,4m,…と2倍,3倍,4倍…になると、横は12cm,6cm,4cm,3cm,…と1/2倍,1/3倍,1/4倍…になっています。



反比例の式

次に、比例や反比例では、いろいろな値をとる片方をx、もう片方をyで表します。この例だと、縦(cm)がx、横(cm反比例2)がyです。
もう一度、表を見てください。
表の上(縦、x)と下(横、y)をかけると、積はいつも12になっています。
このとき、横のyは、面積の12を縦のxでわった数になるので、式はy=12÷xだ、ということになります。

12と数字を入れたところは問題によっていろいろ変わるので、
反比例の式は、y=きまった数÷x
と覚えます。


反比例のグラフ

次に、反比例の関係にある2つの数はグラフに表すことができます。
反比例グラフ
横の軸でxの値を見つけ、縦の軸でyの値を見つけて、
x=1のときy=12、
x=2のときy=6、
x
=3のときy=4、
…というふうに点を打っていって、
最後にすべての点を通るなめらかな曲線を引きます。

定規を使わないで、グラフの端から端まで手だけでなめらかな曲線を引くことになります。






反比例の文章題

最後に、反比例の文章題の解き方を考えます。
「時速4kmだと6時間かかる道のりを時速5kmで進むと何時間で到着しますか。」これが反比例の文章題です。

時速4kmで6時間かかるとき、道のりは4×6=24kmです。
この距離を時速5kmで行くとき、かかる時間は24÷5=4.8kmです。

つまり、まずかけて積を求めたあと、次にわって答えを求めたらよいのです。


反比例で知っておかないといけないこと

以上より、反比例で覚えておかないといけないこと4つは次のようになります。

1、反比例では、片方が2倍,3倍,4倍…になると、もう片方は1/2倍,1/3倍,1/4倍…になる。

2、反比例の式は、いつもy=きまった数÷xで表すことができる(「きまった数」を求めると反比例の式が完成します)。

3、反比例のグラフは、なめらかな曲線になる。

4、反比例の文章題は、かけて積を求めたあと、わって答えを出す。


では、覚えられたかどうか、例題で試してみましょう。

例題:面積が9平方cmの三角形があります。次の表は、底辺xcmと高さycmの関係を表しています。
例題2
(三角形の面積を求める公式は底辺×高さ÷2だから、面積が9平方cmのとき、底辺×高さは18です。)

(1)yはxに反比例しているといえますか。
(2)yをxを使った式で表しなさい。
(3)xが3.6のときyの値を求めなさい。
(4)yが10のときxの値を求めなさい。
(5)xとyの関係を表すグラフをかきなさい。
(6)
底辺が3cmで高さが5cmの平行四辺形があります。この平行四辺形と面積が等しく高さが2cmである平行四辺形の、底辺の長さは何cmですか。


(解答)
(1)yはxに反比例しているといえますか。
片方が2倍,3倍,…になるとき、もう片方が1/2倍,1/3倍,…になれば反比例です。
xが1,2,3,…と2倍、3倍、になると、yが18,9,6,…と1/2倍、1/3倍、…になっているので、反比例しているといえます。

(2)yをxを使った式で表しなさい。
表の上の数字と下の数字の積はいつも18になっています(1×18=18、2×9=18、3×6=18、…になっています)。
反比例の式y=きまった数÷xの「きまった数」が18だから、
y=18÷xです。

(3)xが3.6のときyの値を求めなさい。
xとyの積はいつも18になるから、18÷3.6=5です。
または、y=18÷xの式でx=3.6だから、y=18÷3.6=5です

(4)yが10のときxの値を求めなさい。
xとyの積はいつも18だから、18÷10=1.8です。

(5)xとyの関係を表すグラフをかきなさい。
反比例のグラフは、なめらかな曲線になります。
例題2グラフ



















(6)底辺が3cmで高さが5cmの平行四辺形があります。この平行四辺形と面積が等しく高さが2cmである平行四辺形の、底辺の長さは何cmですか。
比例の文章題は、かけて積を求めたあと、わって答えを出します。
3×5=15
面積が15平方cmで高さが2cmだから、
底辺は15÷2=7.5cmです。




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math 超簡単 比例 (小学算数)

6年生で習う比例は、実は中学校以降の勉強の基礎になる重要な単元です。数学だけではなくて、例えば中学理科の応用問題は、ほとんど比例を使って解きます。


基本をしっかりと理解しよう

他の単元とちがって、比例では大事なことを最初にしっかりと理解しておかないといけません。覚えておかないといけないことはたった4つです。


比例とは


長さ1mで重さが10gの針金があるとします。2mだと20g、3mだと30g、…と、長さが増えたら重さも同じように増えていきます。
これが比例です。
比例1増え方にも規則があって、長さが1m,2m,3m,4m,…と2倍,3倍,4倍…になると、重さも10g,20g,30g,40g,…と2倍,3倍,4倍…になっています。



比例の式

次に、比例や反比例では、いろいろな値をとる片方をx、もう片方をyで表します。この例だと、長さ(m)がx、重さ(g)がyです。

もう一度、表を見てください。
比例1の3表の下(重さ、y)はいつも、上(長さ、x)の10倍になっています。
このとき、式はy=10×xだ、といいます。

10と数字を入れたところは問題によっていろいろ変わるので、
比例の式は、y=きまった数×x
と覚えます。


比例のグラフ

次に、比例の関係にある2つの数はグラフに表すことができます。
比例のグラフ
横の軸でxの値を見つけ、縦の軸でyの値を見つけて、
x=0のときy=0、
x=1のときy=10、
x
=2のときy=20、
…というふうに点を打っていって、
最後にすべての点を通る直線を引きます。

0から始まってグラフの端まで直線を引くことになります。
このことを、比例のグラフは0を通る直線であるといいます。



比例の文章題

最後に、比例の文章題の解き方を考えます。
「長さ2mのとき重さが8gの針金があります。この針金3mの重さは何gですか。」これが比例の文章題です。

長さ2mで重さは8gなので、針金1mの重さは8÷2=4gです。
1mが4gの針金が3mあるので、答えは4×3=12gです。

つまり、まずわって1mにあたる量を求めて、次にかけて答えを求めたらよいのです。


比例で知っておかないといけないこと

以上より、比例で覚えておかないといけないこと4つは次のようになります。

1、比例では、片方が2倍,3倍,4倍…になると、もう片方も2倍,3倍,4倍…になる。

2、比例の式は、いつもy=きまった数×xで表すことができる(「きまった数」を求めると比例の式が完成します)。

3、比例のグラフは、0を通る直線になる。

4、比例の文章題は、わって1にあたる量を求めて、かけて答えを出す。


では、覚えられたかどうか、例題で試してみましょう。

例題:次の表は、リボンの長さxmと代金y円の関係を表しています。
例題の2




(1)yはxに比例しますか。
(2)yをxを使った式で表しなさい。
(3)xが9のときyの値を求めなさい。
(4)yが850のときxの値を求めなさい。
(5)xとyの関係を表すグラフをかきなさい。
(6)長さ3mで代金が120円の別のリボンがありました。このリボンを5m買うと代金はいくらになりますか。



(解答)
(1)yはxに比例しますか。
片方が2倍,3倍,4倍…になると、もう片方も2倍,3倍,4倍…になれば比例です。
xが1,2,3,4,…と2倍、3倍、4倍になると、yも50,100,150,200,…と2倍、3倍、4倍になっているので、比例しています。

(2)yをxを使った式で表しなさい。
表の下はいつも上の数値の50倍になっています(50÷1=50、100÷2=50、150÷3=50、…になっています)。
比例の式y=きまった数×xの「きまった数」が50だから、
y=50×xです。

(3)xが9のときyの値を求めなさい。
yはいつもxの50倍なので、9×50=450です。
または、y=50×xの式でx=9だから、y=50×9=450です

(4)yが850のときxの値を求めなさい。
yはいつもxの50倍なので、850÷50=17です。
または、y=50×xの式でy=850だから、50×x=850より、x=850÷50=17です。

(5)xとyの関係を表すグラフをかきなさい。
比例のグラフは、0を通る直線になります。
例題2のグラフ



















(6)長さ3mで代金が120円の別のリボンがありました。このリボンを5m買うと代金はいくらになりますか。
比例の文章題は、わって1にあたる量を求めて、かけて答えを出します。
120÷3=40
1mの代金が40円だから5mの代金は、
40×5=200円です。




この稿の続き、『反比例』はこちらをご覧ください。

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math 集合の問題・ベン図と方程式(中学数学)

これから増えるであろうと予想されるのが集合の問題です。

集合の問題を考えるときに使われる便利な図が、イギリスの数学者ベンの2つの部分集合とベン図考案したベン図です。
集合の問題はベン図を活用します。









例題1:あるクラスで英語と国語のテストを実施した。英語のテストに合格した生徒はクラスの5/9、国語のテストに合格した生徒はクラスの4/9、両方の教科に合格した生徒はクラスの1/5であった。また、両方の教科に不合格になった生徒は9人であった。このクラスの生徒数は何人か。

(考え方・解き方)
求めないといけないクラスの生徒数をxとして、問題に書いてあることをベン図にかき込みます。
例題1集合の問題をベン図を使って解くとき、もっとも確実に解くためのコツは、それぞれの部分のすべてをxを使って表すことです。

この問題であれば、英語だけの合格者、両方の合格者、国語だけの合格者、両方の不合格者の4つを、xをもちいた式で表します。

英語の合格者は5/9x、両方の合格者は1/5xだから、英語だけの合格者は5/9x-1/5x

同様に、国語だけの合格者は4/9x-1/5x

両方の科目に合格した人は1/5x

両方とも不合格の人は9人。

これで、集合の問題を解くことができます。

クラス全員の人数がxだから、できる式は、
(5/9x-1/5x)+(4/9x-1/5x)+1/5x+9=x
式を整理して、
5/9x-1/5x+4/9x-1/5x+1/5x-x=-9
-1/5x=-9
x=45

クラスの人数は45人です。


(重なりをひいて求める方法)
重なりの式左図で、A+Bだと、重なった部分のCを2回数えたことになるので、
X=A+B-C
の関係が成り立ちます。

それがわかっていれば、この問題を解くときの式としては、
(5/9x+4/9x-1/5x)+9=x
としたほうが簡潔です。


例題2:39人の クラスで、それぞれ100点満点の数学と英語のテストをした。数学だけが70点以上の人は11人、どちらも70点未満の人は6人であった。また、英語だ けが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかった。2科目とも70点以上の人は何人か。

(考え方・解き方)
求めないといけない2科目とも70点以上の人をx人として、問題に書いて例題2あることをベン図にかき込みます。

「英語だ けが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかった」とあるので、英語だけが70点以上の人は(2x-5)人です。

あとは、ベン図を見て方程式を立てるだけです。

11+x+2x-5+6=39
x+2x+12=39
3x=27
x=9

答えは9人です。




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math 1次方程式の利用 カレンダーの問題

中学校1年生の定期テスト、一次方程式の文章題で中学校の先生が好んで出題する問題にカレンダーの問題があります。

小学校の算数の発想ではなくて、中学数学の、求めたいものをxとして方程式をつくって問題を解く訓練をするには最適な問題だからでしょう。


例題1:A君はカレンダーを見ていて、カレンダーの数字を図のように十カレンダー1字で囲むと、5つの数字の和がつねに5の倍数となっていることに気づいた。

(1)カレンダーの数字を十字型のわくで囲むと、その5つの数字の和はつねに5の倍数になることを説明せよ。

(2)カレンダーの数字を十字型のわくでかこむと5つの数字の和が50になった。十字型のわくの中央にある数はいくつか。


(考え方・解き方)
カレンダーは、当然のことですが、横の行にある数字は、6,7,8,9,…と1ずつ増えていきます。
そして、縦の列にある数字は、1,8,15,22,29というように7ずつ増えていきます。

また、例題のカレンダーだと、月曜日の列は7,14,21,28と7の倍数が並び、その右横の火曜日の列は、1,8,15,22,29と7でわると1余る数が並んでいます。
つまり、カレンダーの縦の列には7でわったときの余りが等しいものが並んでいるというわけです。

カレンダーの問題を解くときは上に述べた規則を使います。

(1)カレンダーの数字を十字型のわくで囲むと、その5つの数字の和はつねに5の倍数になることを説明せよ。

カレンダーの問題を考えるとき、例題の例だと、1をx、7をx+6、8をx+7、9をx+8、15をx+14としても解くことはできます。

しかし、数字の並び方の規則を利用し、計算を簡単にしようと思えば、中央の数字をxとし、その上にある数をx-7、左横をx-1、右横をx+1、下をx+7と考えるほうが簡単です(数学では、簡単であるほどよい解き方です)。

(解答)
十字型のわくの中央の数字をxとすると、5つの数字はx-7,x-1,x,x+1,x+7と表すことができる。
この5つの数字の和は、x-7+x-1+x+x+1+x+7=5x
5xと表せるので、5の倍数である。

(2)カレンダーの数字を十字型のわくでかこむと5つの数字の和が50になった。十字型のわくの中央にある数はいくつか。

(解答)
わくの中央にある数をxとする。
5つの数字の和が50だから、
x-7+x-1+x+x+1+x+7=50
5x=50
x=10
十字型のわくの中央にある数字は10である。


例題2:カレンダーの9つの数字を図のように長方形のわくで囲むと、9カレンダー2つの数字の和は90である。

(1)カレンダーの9つの数字を長方形のわくで囲むと、その9つの数字の和はつねに9の倍数になることを説明せよ。

(2)カレンダーの9つの数字を別の長方形のわくでかこむと9つの数字の和が198になった。長方形のわくの中央にある数はいくつか。



(考え方・解き方)
問題の9つの数字を、中央の数をxとすると左図のように表すことができまカレンダー3す。











(解答)
(1)カレンダーの9つの数字を長方形のわくで囲むと、その9つの数字の和はつねに9の倍数になることを説明せよ。

長方形のわくの中央の数字をxとすると、9つの数字はx-8,x-7,x-6,x-1,x,x+1,x+6,x+7,x+8と表すことができる。
この9つの数字の和は、x-8+x-7+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=9x
9xと表せるので、9の倍数である。

(2)カレンダーの9つの数字を別の長方形のわくでかこむと9つの数字の和が198になった。長方形のわくの中央にある数はいくつか。

(解答)
わくの中央にある数をxとする。
9つの数字の和が198だから、
x-8+x-7+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=198
9x=198
x=22
長方形のわくの中央にある数字は22である。




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math 利益と割引の問題を超簡単に解く(中学数学)

意外にできないのが利益や割引の問題です。


理解しておかないといけない3つのこと

当然知っておくべき次の3つの事柄を理解できていないと、利益や割引の問題は解けません。 

1、原価利益定価割引売り値の意味・・・お店の人が仕入れた価格が「原価」、原価に「利益」を上乗せした値札の額が「定価」、売れないときに定価から「割引」して実際に売った価格が「売り値」です。

(言葉の意味がよくわからない人はこちらをご覧ください。)


2、百分率歩合と式・・・1%=0.01、1割=0.1だから、「%」や「」は、小数分数にしないと数学では使えません。

(百分率や歩合に自信がない人はこちらをご覧ください。)


3、利益割引の意味・・・2割は0.2ですが、2割の利益を見込んだ定価は(1+0.2)で原価の1.2倍です。同様に、3割は0.3ですが、3割の割引は(1-0.3)で0.7倍と考えないといけません。

(利益と割引のとき、1にたしたり、1からひかないといけない理由を詳しく知りたい人はこちらをご覧ください。)


割合が数字のときは小数か分数に、割合が文字のときは分数に

数学の大切なきまりです。

12%や3割など、割合数字で表わされているときは、小数の0.12、0.3になおしても、分数の12/100、3/10になおしても、どちらでもかまいません(分数にするときは約分12/100→3/25を忘れずに)。

私は、小数のほうが計算間違いが少ないので、分数にしないで小数を使うようにすすめています。

a%やb割など、割合文字で表わされているときは、分数しか使えないので、a/100、b/10になおさないといけません(0.0a、0.bなどという式はありません。)


以上より、問題を解く前に知っておかないといけないことをまとめてます。

利益と割引の1(1)12%0.12に、3割0.3にする。
a%a/100に、b割b/10にする。









利益と割引の2(2)12%利益を見込んだ定価は(1+0.12)を、3割利益を見込んだ定価は(1+0.3)をかける。
a%利益を見込んだ定価は(1+a/100)を、b割利益を見込んだ定価は(1+b/100)をかける。






利益と割引の312%割引(1-0.12)を、3割割引(1-0.3)を定価にかける。
a%割引(1-a/100)を、b割割引(1-b/10)を定価にかける。








さらに簡単にまとめると、

(1)a%a/100b割b/10

(2)利益1+●割引1-●



これで、どんな問題でも式をたてて解くことができます。


中1の文字式の問題

例題1:次の数量を式で表わせ。
(1)300円のa%
(2)原価x円の商品に3割の利益を見込んで定価をつけ、定価の2割引きで売ったときの売り値


(解き方)

(1)a%はa/100だから、300×a/100=3a円
(2)3割は0.3で3割の利益は1+0.3=1.3だから、そして、2割は0.2で2割の割引は1-0.2=0.8だから、x×1.3×0.8=1.04x円


中1の一次方程式の問題


例題2:原価に300円の利益を見込んで定価をつけた品物がある。この品物を定価の2割引きで売ると売価は960円である。この品物の原価を求めよ。

(解き方)

「原価を求めよ」とあるので原価をx円とします。

定価は(x+300)です。
2割引は1-0.2=0.8です。
だから、式は(x+300)×0.8=960

これを解いて、
(x+300)×0.8=960
0.8x+240=960
両辺に10をかけて、
8x+2400=9600
8x=9600-2400
8x=7200
x=900

原価は900円です。


中3の二次方程式の問題

例題3:原価1600円の品物にx%の利益を見込んで定価をつけた。この品物を定価のx%引きで売ったところ、100円の損失が出た。xの値を求めよ。

(解き方)

まず、x%をx/100にします。

次に、x%の利益は(1+x/100)、x%引きは(1-x/100)です。

以上より、1600(1+x/100)(1-x/100)=1600-100
この二次方程式を解きます。

1600(1+x/100)(1-x/100)=1500
利益と割引の4






















答えは25%です。




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math 速さの問題をもっとも簡単に解く方法(小学算数)

小学生が苦手な「速さ」の問題を楽に解くために、みなさんに提案したい1つの試案です。

速さの問題を、買い物の問題と同じだと考えたら、簡単に解くことができます。


買い物の問題

1個40円のリンゴを2個買ったら代金はいくらか?
誰が考えたって、40×2=80円です。・・・(1)

1個40円のリンゴを何個か買ったら代金が120円だった、何個買ったか?
すぐに120÷40=3個だとわかります。・・・(2)

リンゴを4個買ったら代金は160円だった、リンゴ1個の値段はいくらか?
160÷4=40円、この問題ができない人はいないでしょう。・・・(3)

速さの問題も、まったく同じように解くことができます。


速さの問題

1、距離を求める問題

「時速40kmで進む自動車は2時間で何km進みますか。」という問題を考えてみましょう。

リンゴにも、いろいろな値段のものがあります。
1個40円リンゴとは、そのリンゴ1個40円だという性質をもっているという意味です。

同じように、時速40kmで進む自動車とは、その自動車1時間に40km走るという性質を持っているということです。

だから、1個40円のリンゴを2個買うと代金が40×2=80円になるのと同様に、
リンゴの場合1










時速40kmの自動車が2時間走ると進んだ距離は40×2=80kmとなります。
自動車の場合1








2、時間を求める問題

「時速40kmで進む自動車が、A地から120km離れたB地まで行きます。A地からB地まで何時間かかりますか。」という問題を考えます。

1個40円のリンゴを120円分買ったときにリンゴの個数を求める問題と同じです。
リンゴの場合2
120÷40=3個






自動車の場合2
120÷40=3時間








3、速さを求める問題

最後は、ある自動車が持っている性質=「速さ」を求める問題です。
「160kmの道のりを4時間で走る自動車の速さは時速何kmですか。」

リンゴの場合3
160÷4=40円






自動車の場合3

160÷4=40km








このように、速さ=時速40kmをその車がもっている性質と考えると、やさしい買い物の問題と同じように考えて解くことができるわけです。

時速40km1個40円と同じ
距離代金にあたる
時間個数にあたる


1段階だけ難しい問題を、提案した考え方で解いてみましょう。

例題1:時速96kmで走る列車は15分間に何km走りますか。

(解答)
時速96kmの列車は、列車1個分、つまり1時間で96km進みます。
時速96kmの列車が15分間の分だけあったらいくらになるかと考えます。

「時間」ではなく列車の場合て15「分」なので、15分が、時速96kmの列車の何個分か、つまり何時間分かを調べないといけません。

1時間=60分のうちの15分だから、15分は60分の15/60=1/4、1/4時間です。

よって、96×(1/4)=24kmです。




例題2:時速725kmで飛ぶジェット機は、2320kmを何時間何分かかって飛びますか。


(解答)
2320kmの中に、時速725kmのジェット機が何個分(=何時間分)あるか?と考えます。

飛行機の場合2320÷725=3.2時間です。

3時間と、残りが0.2時間です。
0.2時間は、1時間=60分の0.2倍ですから、60分×0.2=12分。

答えは3時間12分です。


例題3:45分間で21.6km走るオートバイは時速何kmですか。

(解答)
45分で21.6kmだと、1時間(=オートバイ1個分)は何kmになるのかを求めます。

オートバイの場合45分は、1時間(60分)の45/60=3/4です。

3/4倍が21.6だから、
21.6÷(3/4)=21.6×(4/3)=28.8km

時速28.8kmです。





私の意見

ほとんどの人は、「速さ」の問題が何か特別の分野であるような先入観があって、
距離=速さ×時間
速さ=距離÷時間
時間=距離÷速さ

の公式をいきなり覚えたり、さらにはこの3つの公式が覚えにくいということで、キ・ハ・ジとかハ・ジ・キとかで暗記したりしています。

3つの式が不要とまでは言えませんが、距離=速さ×時間、速さ=距離÷時間、時間=距離÷速さの公式をまず覚えないといけない、それだけが速さの問題を解く唯一の方法であるという思い込みは、実は根拠のない固定観念ではないでしょうか。

「速さ」の問題も全然特別なものではなくて、実は買い物の問題などのやさしい問題と同じ発想で解けます。





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math 利益と割引の問題を超簡単に解く(小学算数)

多くの人が苦手な問題に、利益割引の問題があります。
利益と割引の問題を簡単に解く方法を考えてみましょう。


代表的な問題は次のような問題です。

例題1:ある品物を4000円で仕入れ、4割の利益を見込んで定価をつけましたが、この品物を大売り出しの日に定価の1割5分引きで売りました。売り値は何円ですか。

(解き方)
まず、仕入れ値利益定価売り値などの、言葉の意味を知っておかないといけません。
自信がない人は、こちらを参考に、意味をしっかり理解しておいてください。

次に、「4割利益を見込んだ定価」とあるとき、定価を仕入れ値の1.4倍と考えます。

「4割の利益」だけなら、0.4倍です(4割を0.4倍と考える理由についてはこちらを参照してください)。
4割の利益を求める式なら、4000×0.4=1600円です。

しかし、「4割利益を見込んだ定価」のときは、1.4倍と考えないといけません。
利益4000円で仕入れた品物を1600円で売ったのでは大損です。
お店の人は、仕入れ値に利益(もうけ)をたした金額で売ろうとするのです。これが定価です。
もともとの数量が1倍で、それに0.4倍をたした金額が定価ですから、定価を仕入れ値の1.4倍と考えるわけです。

4割利益を見込んだ定価」→(1+0.4)倍→1.4倍と覚えます。

次に、「1割5分引き」も0.15ではありません。
1割5分だと0.15倍ですが、「1割5分引き」だと、もとの1から0.15を引かないといけません。
割引1割5分で売るのではなくて、定価から1割5分引いて売るのだから、売り値の割合は1-0.15=0.85倍です。

1割5分引き」→(1-0.15)倍→0.85倍と覚えます。

以上より、この問題は、4000円で仕入れ、「4割の利益を見込んで定価をつけた」から「×(1+0.4)」、「1割5分引き」だから「×(1-0.15)」となるわけです。

4000×(1+0.4)×(1-0.15)
=4000×1.4×0.85
=4760円
となります。


(ポイント)

利益たす
引きからひく

このことを理解し、覚えて使うことができれば、利益と割引の問題は簡単になります。


例題2:ある品物に、原価の4割の利益を見込んで定価をつけました。しかし、定価から20%引きの1792円で売りました。このときの利益は何円ですか。

(解答)
覚えた
4割の利益」→1+0.4=1.4
20%引き」→1-0.2=0.8
を、使います。

仕入れ値の1.4倍の、0.8倍が、1792円になったわけです。

よって、仕入れ値は、
1792÷0.8÷1.4=1600円

求めないといけないのは「利益」です。
1600円で仕入れた品物を1792円で売ったので、もうけ、利益は
1792-1600=192円です。


次の問題は、しばしば中学入試でも出題されるやや難しい問題です。

例題3:ある品物に仕入れ値の3割の利益を見込んで定価をつけましたが、売れないので、定価の15%引きで売ったところ、1890円の利益がありました。この品物の仕入れ値はいくらですか。

(解答)
やはり
3割の利益」→1+0.3=1.3
15%引き」→1-0.15=0.85
を、使います。

ところが、この問題の場合、わかっているのは利益の1890円です。
利益の1890円が何倍になっているのかを先に見つけます。

仕入れ値の何倍で売ったかというと、
1.3×0.85=1.105

だから、利益の割合は仕入れ値の1をこえた部分、1.105-1=0.105です。

0.105倍が1890円だから、仕入れ値は
1890÷0.105=18000円です。


このように、利益と割引の問題では
利益たす
引きからひく
を覚えておいて、使えばよいのです。




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math 割合、百分率・歩合は、「〜倍」をつけると超簡単

小学生が一番苦手な割合の問題を楽に解くために、みなさんに提案したい1つの試案です。

割合
百分率(%)、歩合(割・分・厘)の問題は「〜倍」をつけると超簡単になります。


整数の場合

100円の2倍はいくらか?
誰が考えたって、100×2=200円です。・・・(1)

あるものの3倍が300個だった、あるものは何個か?
すぐに300÷3=100個だとわかります。・・・(2)

400mは100mのどれだけか?
400÷100=4ができない人はいないでしょう。・・・(3)


小数の割合、分数の割合

割合が小数分数の場合、単位のないもの〜倍をつけたら、整数の問題と同じ簡単な問題になります。

100円の0.2はいくらか?
100円の0.2と考えると、100gの2倍と同じです。
100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの0.3が300個だった、あるものは何個か?
あるものの0.3300個だと考えると、あるものの3倍が300個のときと同じです。
300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mに対する割合はいくらか?
400mは100mの何かと同じです。
400÷500=0.8です。・・・(3)


百分率

まず、百分率(%)の場合、%は、そのままでは計算では使えません。
1%0.01に、10%0.1にかえて、計算します。
2%だと0.02、20%だと0.2、25%だと0.25にしてから計算します。

%小数にかえたあと、その小数に〜をつけて考えます。
%



100円の20%はいくらか?
100円の20%→100円の0.2、だから100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの30%が300個だった、あるものは何個か?
30%0.3が300個だった、だから300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mの何か?
400mは500mの何かと考えて、400÷500=0.880%です。・・・(3)


歩合

歩合も、%とまったく同じです。

まず、歩合(〜割〜分〜厘)の場合も、割・分・厘は、そのままでは計算では使えません。
1割0.1に、1分0.01に、1厘0.001にかえて、計算します。
2割だと0.2、2分だと0.02、2割3分4厘だと0.234にしてから計算します。

小数にかえたあと、その小数に〜をつけて考えます。
割



100円の2割はいくらか?
100円の2→100円の0.2、だから100×0.2=20円です。・・・(1)

あるものの3割が300個だった、あるものは何個か?
30.3が300個だった、だから300÷0.3=1000個です。・・・(2)

400mは500mの何か?
400mは500mの何かと考えて、400÷500=0.88です。・・・(3)



この方法が有効かどうか、実際の問題で試してみましょう。

例題1:容積2500Lの水そうの9割4分に水が入っている。入っている水の量はは何Lですか。

9割4分→0.94倍と読みかえます。
2500Lの0.94倍を求める問題だから、2500×0.94=2350L

例題2:庭の面積の56%が花畑です。花畑の面積は476平方mです。庭全体の面積はいくらですか。

56%→0.56倍と読みかえます。
庭の0.56倍が476だったので、476÷0.56=850平方mです。

例題3:A君の学校の生徒数は840人で、そのうち630人は自転車で通学しています。自転車で通学している生徒数の割合は何%ですか。

自転車で通学している生徒数は何%かを、何倍かと読みかえます。
自転車で通学している生徒数は全生徒数の何倍かという問題だから、630÷840=0.75倍
=75%



覚えるのも大変だし、覚えたって実際には使いにくい、割合の3つの式
(1)比べる量=もとにする量×割合
(2)もとにする量=比べる量÷割合
(3)割合=比べる量÷もとにする量
を覚えるより、~倍をつけるだけのほうがずっと簡単に解けるようになるのではないでしょうか?




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math 原価・仕入れ値、定価、売り値・売価、利益・値引き

算数・数学の問題でありながら、言葉とその意味を知らないと解けない問題に売買・代金の問題があります。


お店の人がものを売るときの仕組み

売買の問題の予備知識として、商品を売るという仕事の仕組みを知っておく必要があります。

店で物を売る仕事を小売業といいます。あなたがおもちゃ屋さんだとします。
あなたはおもちゃのメーカー(生産者)か問屋(とんや)さん(卸売り(おろしうり))からおもちゃを仕入れて(買って)きて、それをお客さん(消費者)に売るわけです。

小売






お店の人は、安い値段で仕入れてきて、それに自分の利益(もうけ)を加えた値段でお客さんに売ります。

仕入れた値段と売った値段の差額が利益であり、お店は利益を出さないとつぶれてしまいます。


原価・仕入れ値・元値

お店の人が、生産者か、卸売り(おろしうり)業者から買うときの値段を原価(げんか、元価とも書きます)=仕入れ値(しいれね)=元値(もとね)といいます。


定価

お店の人は原価(仕入れ値・元値)に利益(もうけ)を加えたものを定価として値をつけて陳列します。

定価





最初に値札としてつけたものが定価です。

定価で売れたら、定価が売り値(売価・代金)と一致します。


売り値・売価・代金

定価で売れなかったとき、お店の人は値段を下げて売ることがあります。

このとき、定価から値引きして、実際に売った値段が売り値=売価(ばいか)=代金です。

売価





値引きして売ったときは、売り値から仕入れ値をひいた金額が最終的な利益になります。

売り値-仕入れ値=(最終の)利益



まとめ

お店の人が仕入れたときの値段…原価=仕入れ値=元値

お店の人が最初につけた値段…定価

実際に売った値段…売り値=売価=代金


仕入れ値・定価・売り値














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math 池のまわりで出会い追いつく問題の考え方(中学数学)

2人が池のまわりをまわって出会ったり追いついたりするとき、時間や速さや場所をたずねる問題があります。


理解しておかないといけないこと

2人が逆の向きに進むとき

頭の中に小さい池を思いうかべてください。その池のまわりにそって池を一周する道があります。

あなたと友だちが、同じ場所から、池のまわりの道をそれぞれ逆の向きに歩いていきます。お互いの姿はよく見えています。

逆の向きに歩いていくと、出会います。

そのとき歩く速さがほぼ同じだと、あなたは池の約半分、友だちも池の半分ほどを歩いているはずです。

そして、2人の歩いた距離を合わせると、ちょうど池一周分になります。

1人の進んだ距離+もう一人の進んだ距離=池1周の長さ

これが、理解し、知っておかないといけないことです。


2人が同じ向きに進むとき

次に、同じ場所から、2人が同じ向きに進んでいきます。

1人はめちゃくちゃ遅い速さで、もう1人は結構早足で進みます。

小さい池だと、速く進んだ人は、すぐに、ゆっくり歩いている人に追いつきます。
遅い人は、まだほとんど進んでいません。

早足で歩いたあなたは、ちょうど池1周分、遅い人より多く歩いたことに気づくはずです。
言い換えると、2人の歩いた距離のちがいが、池1周分だということになります。

速い方の進んだ距離−遅い方の進んだ距離=池1周の長さ

これが、理解し、知っておかないといけないことです。


問題の例(1)・・・中1の一次方程式の文章題

例題1:池の周りに1周480mの遊歩道がある。この道を同じ地点から同時に出発して、Aは毎分65m、Bは毎分55mの速さで歩く。
(1)2人が反対方向に歩き出すと、はじめて出会うのは出発して何分後か。
(2)2人が同じ方向に歩き出すと、AがBをはじめて追いこすのは出発して何分後か。



(式の作り方と解き方)

(1)2人が反対方向に歩き出すと、はじめて出会うのは出発して何分後か。

まず、方程式で解くために、何をxにするかを決めます。
出発して何分後か。」とあるので、x分後として式を作ります。

次に、方程式は等式です。
求める時間をxとおいたので、左辺も右辺も、同じもの、距離で表わして、等号で結びます。

最後に、この問題だと、反対方向に進む問題なので、
1人の進んだ距離+もう一人の進んだ距離=池1周の長さ
が使えます。

距離=速さ×時間ですから、
65x+55x=480

この方程式を解けばよいわけです。

65x+55x=480
120x=480
x=4

答えは4分後です。


(2)2人が同じ方向に歩き出すと、AがBをはじめて追いこすのは出発して何分後か。

追いつく時間をx分後とします。

等式を作ることを意識して、左辺も距離、右辺も距離で、式を作ります。

この問題は、同じ方向に進む問題なので、
速い方の進んだ距離−遅い方の進んだ距離=池1周の長さ
が使えます。

65x-55x=480
10x=480
x=48

答えは48分後です。


問題の例(2)・・・中2の連立方程式の文章題

例題2:1周2100mのジョギングコースがあり、A、Bの2人が同じ地点から同時に出発する。反対方向に走ると、出発してから7分後に出会い、同じ向きに走ると、出発してから35分後にAがBを追いぬく。A、Bの走る速さをそれぞれ求めなさい。


(式の作り方と解き方)

問題文の最後に「A、Bの走る速さをそれぞれ求めなさい。」とあるので、Aの走る速さを分速xm、Bの走る速さを分速ymとします。

速さをx、yとしたので、左辺、右辺ともに距離を表わす式で等式を作ります。

反対方向に走るときは、
1人の進んだ距離+もう一人の進んだ距離=コース1周の長さ
7x+7y=2100

同じ向きに走るときは、
速い方の進んだ距離−遅い方の進んだ距離=コース1周の長さ
35x-35y=2100

7x+7y=2100…(1)
35x-35y=2100…(2)

(1)×5+(2)

35x+35y=10500
+)35x-35y=2100

70x=12600
x=180

(1)に代入して、
1260+7y=2100
7y=840
y=120

Aの速さは分速180m、Bの速さは分速120mです。


まとめ

池の周囲をまわる問題を解くときは、

同じ地点から逆の方向に進むときは
1人の進んだ距離+もう一人の進んだ距離=池1周の長さ

同じ地点から同じ方向に進むときは
速い方の進んだ距離−遅い方の進んだ距離=池1周の長さ

池







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