働きアリ : 方程式

中学１年生で、方程式の最初に『等式の性質』を習います。

等式の性質

(1)等式の両辺に同じ数を加えても等式は成り立つ。
A=BならばA+C=B+C

(2)等式の両辺から同じ数をひいても等式は成り立つ。
A=BならばA-C=B-C

(3)等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。
A=BならばAC=BC

(4)等式の両辺を同じ数でわっても等式は成り立つ。
A=BならばA/C=B/C（C≠0）

≠０の意味

A=BならばA/C=B/C（C≠0）は、A=Bなら、両辺を同じ数Cでわっても等しいままである、という意味ですが、そのあとに書いてある（C≠0）にも注目してほしい。

記号≠は、『等号否定』とよばれる記号で、「等しくない」と読みます。だから、C≠0とは、「Cは0ではない」「Cは0であってはいけない」という意味です。

0の性質

0は、たすことも、ひくことも、かけることもできます。
2+0=2
2-0=2
2×0=0

ところが、数を、0でわることはできません。
2÷0は計算できません。

注：0でわることはできませんが、0をわることはできます。
0÷2=0

なぜ、数を0でわることはできないのでしょうか？

素朴な説明

私は、授業中、中学生には次のような説明をします。

(1)逆算を使った説明

a÷b=cのとき、bc=aです。

2÷0=□だとすると、0×□=2になるはずですが、0×□=0であり、2にはなりません。
だから、数を0でわることはできません。

(2)極限を使った説明

わる数をどんどん0に近づけてみます。

2÷0.1=20
2÷0.01=200
2÷0.001=2000
・
・
2÷0.00・・（0が100個）・・001=200・・（0が100個）・・00
というふうに、わる数をどんどん0に近づけると、答えはどんどん大きな数になっていきます。
わる数を0に近づけると、答えはいくらでも大きな数になっていって、きりがありません。
だから、数を0でわることはできません。

納得できる説明

ところが、私の説明は、厳密には正しい説明ではないようです。
中学生に説明するには上のような説明しか思いつきませんが、理論的にはそう簡単ではないというのが正しい。

私が調べた中で、これはすばらしいと思ったのは、次のような論証です。

(1)わり算とは、逆数をかける計算である。
例：2÷3=2×1/3

(2)逆数とは、積が1になる2つの数をいう。
例：3の逆数は、3×1/3=1である1/3

(3)ところが、0に、積が1になる数は存在しない（0は、何をかけても0になって1になることはないから）。

(4)わり算とは逆数をかける計算であり、逆数とは積が1になる2つの数であるのに、0には逆数が存在しないから、数を0でわることはできない。

この論証については、こちらのサイトで勉強しました。

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タグ：: 方程式

例年、規則性の問題が多い後期大問の３ですが、今年は、規則性ではなくて一次関数と方程式の応用の問題でした。

落ち着いて問題を読み、問題文に書いてあることを丁寧に図に記入して、その図を見ながらあせらずに考えればなんとか解けたはずの問題ですが、例年の問題とは少し傾向が違ったので、あわてた人が多かったかもしれません。

大問３：サチコさんは、長方形の紙を内側に三つに折るときのようすに興味をもち、図１のような模式図をかいて考えてみた。

図１において、線分ABの長さは300mmである。Pは、線分AB上にあってA、Bと異なる点である。線分APの長さは、100mm以下とする。Qは、線分PBの中点である。
図１に示したように、線分ABについて、まず、線分APをPを中心として時計回りに180°回転させ、このときAが移った点をA’とする。次に、線分QBをQを中心として反時計回りに180°回転させ、このときBが移った点をB'とする。B’はPと一致する。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。

（１）まず、サチコさんは、図１において、線分APの長さはxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして、xとyとの関係を表とグラフをかいて考えてみた。

[1]次の表は、サチコさんがかいた表の一部である。表中の（ア）、（イ）にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。

[2]20≦x≦80のときのxとyとの関係を表わすグラフを解答欄の図中にかきなさい。

（２）次に、サチコさんは、図１において、線分A'Qの長さをxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして考えてみた。このとき、0<x<150として、yをxの式で表わしなさい。

（３）AB：PB=√2：１となるときの線分A'Qの長さを求めなさい。

（解くときのコツ）
・落ち着いて問題を読み、問題文に書いてあることを丁寧に図に記入する

大阪府公立高校の入試問題を解くときに最も大切なことは、問題文に出てきた数値をしっかりと図に記入して、そのかき込みを見ながら考えていくことです。

（１）の解き方

（１）まず、サチコさんは、図１において、線分APの長さはxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして、xとyとの関係を表とグラフをかいて考えてみた。

[1]次の表は、サチコさんがかいた表の一部である。表中の（ア）、（イ）にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。

[2]20≦x≦80のときのxとyとの関係を表わすグラフを解答欄の図中にかきなさい。

最初に問題に書いてあったことと、「（１）まず、サチコさんは、図１において、線分APの長さはxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして、xとyとの関係を表とグラフをかいて考えてみた。」の部分を図に記入すると次のようになります。

この図を見て、あせらないで考えることです。
PB=300-xであり、PQ=QBなのでy=(300-x)÷2であることがわかれば、問題を楽に解くことができます。

（解答）

[1]次の表は、サチコさんがかいた表の一部である。表中の（ア）、（イ）にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。

解法１：
(300-30)÷2=130…（ア）

300-122×2=56…（イ）

解法２：
y=(300-x)×1/2
=150-1/2x
と、先に式を見つけておきます。

x=40をこの式に代入して、y=150-40×1/2=150-20=130…（ア）

y=122を代入して、122=150-1/2x
1/2x=150-122
1/2x=28
x=56…（イ）

[2]20≦x≦80のときのxとyとの関係を表わすグラフを解答欄の図中にかきなさい。

解法１：
x=20のとき、(300-20)÷2=140
x=80のとき、(300-80)÷2=110

以上より、点(20,140)、点(80,110)を見つけて、グラフに記入し、２点を結びます。

解法２：
x=20のときy=140、x=80のときy=110を求めないといけないので解法１とほぼ同じことになりますが、式y=-1/2x+150のグラフを、20≦x≦80の範囲にかきます。

（２）の解き方

（２）次に、サチコさんは、図１において、線分A'Qの長さをxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして考えてみた。このとき、0<x<150として、yをxの式で表わしなさい。

問題に合わせて図１の２番目の図に数値を記入しておきます。

この図を見て、xとyの間に成り立つ関係を式にしていきます。

（解答）

PQ=QBより、AP=300-2y

そして、PQ=PA'+A'Qが成り立ち、PQ=y、A'P=AP=300-2yだから、
y=300-2y+x
3y=x+300
y=1/3x+100

（３）の解き方

（３）AB：PB=√2：１となるときの線分A'Qの長さを求めなさい。

また、問いに合わせて、図１の一番下の図に数値を記入してから考えます。

（解答）

AB：PB=√2：1より、300：PB=√2：1
√２×PB=300
PB=300/√2
PB=150√2

よって、AP=300-150√2
だから、PA'=AP=300-150√2

また、PQ=PB×1/2=150√2×1/2=75√2

以上より、A'Q=PQ-PA'だから、
A'Q=75√2-(300-150√2)
A'Q=75√2-300+150√2)
A'Q=225√2-300

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