球の体積と表面積を以前は中学校で習っていたのですが、高校１年生に移行して、また今年から中１に戻ってきました。
球の半径をｒとすると、球の体積を求める公式は３分の４πｒ３乗、球の表面積を求める公式は４πｒ２乗です。
球の体積、表面積を求める式がどういう理屈から生まれたのかの説明は、錐体の体積が柱体の体積の３分の１になることの説明以上に難しそうですが、中１の塾生に聞かれたときのためにまとめてみました。
球の体積を求める公式
カヴァリエリの原理
底辺がａ、高さがｈの平行四辺形の面積と、横がａ、縦がｈの長方形の面積は等しい。
その理由を示す１つの方法として、次のように説明することができます。
平行四辺形と長方形を、底辺に平行な直線でいくつかに切り分けて、横に細長い短冊形にします。
平行四辺形はその横に細長い長方形を斜めに積み上げたもの、長方形は細長い長方形をまっすぐ積み上げたものと考えることができます。
当然、２つの面積は等しいはずです。
平行線ではさまれた２つの三角形の面積がつねに等しくなること（中２で習う等積変形）も同じように説明できます。
下から、横の長さが同じで厚さも同じ薄い長方形を積み上げた図形だと考えられるので、全体の三角形の面積は等しいといえます。
この考え方を立体、空間図形にも応用したものがカヴァリエリの原理と呼ばれる原理です。
カヴァリエリの原理「１つの平面に平行な平面による切り口の面積がつねに等しいとき、２つの立体の体積は等しい」
同じ面積の図形を同じ高さ積み重ねたことになるから、２つの立体の体積は等しいというわけです。
カヴァリエリの原理を使って、半径がｒである半球の体積と、底面の半径がｒで高さがｒの円柱から底面の半径がｒで高さがｒの円錐をくりぬいた立体の体積とが等しいことをいうことができます。
まず、平面（１）で横に切ったときの切り口は半球も円柱もｒ×ｒ×πで等しい。
平面（３）で横に切ったときはともに面積は０になって等しい。
底面からの高さがｘである平面（２）で、横に切ったとき、
半球の切り口は円になりますが、その円の半径は三平方の定理より
です。
したがって、半球の切り口の面積は、
平面（２）で横に切ったとき、円柱から円錐をくりぬいた立体の切り口は半径ｒの円から半径ｘの円をひいたものになりますから、
以上より、「１つの平面に平行な平面による切り口の面積がつねに等しい」が成り立っています。
同じ面積の図形を同じ高さ積み重ねたことになりますから、半径ｒの半球の体積は、底面の半径がｒで高さがｒの円柱から底面の半径がｒで高さがｒの円錐をくりぬいた立体の体積と等しいといってよいわけです。
円柱から円錐をくりぬいた立体の体積は、円柱の体積の公式：底面積×高さ、円錐の体積の公式：底面積×高さ×１／３から求めることができます。
円柱−円錐
したがって、半球の体積も
球の体積は半球の体積の２倍だから、
こうして、球の体積を求める公式を見つけることができます。
球の表面積を求める公式
球の表面積を求める公式は、球の体積の公式から導くことができます。
球の表面に、球の表面積をｎ等分した面積Ｓをとります（球の表面積はＳ×ｎということになります）。
その面積Ｓを底面積とし、球の中心が頂点になる錐体を考えます。
この錐体の高さは球の半径の長さｒと一致します。
底面積がＳで、高さがｒの錐体の体積は、公式：底面積×高さ×１／３より、Ｓ×ｒ×１／３です。
この錐体がｎ個集まったものが球ですから、Ｓ×ｒ×１／３×ｎと球の体積とが等しくなります。
このことを等式にすると、
球の表面積をｎでわったものがＳでした。だから、球の表面積はＳ×ｎです。
したがって、球の表面積は、
ということになります。
球の半径をｒとすると、球の体積を求める公式は３分の４πｒ３乗、球の表面積を求める公式は４πｒ２乗です。
球の体積、表面積を求める式がどういう理屈から生まれたのかの説明は、錐体の体積が柱体の体積の３分の１になることの説明以上に難しそうですが、中１の塾生に聞かれたときのためにまとめてみました。
球の体積を求める公式
カヴァリエリの原理
底辺がａ、高さがｈの平行四辺形の面積と、横がａ、縦がｈの長方形の面積は等しい。その理由を示す１つの方法として、次のように説明することができます。
平行四辺形と長方形を、底辺に平行な直線でいくつかに切り分けて、横に細長い短冊形にします。平行四辺形はその横に細長い長方形を斜めに積み上げたもの、長方形は細長い長方形をまっすぐ積み上げたものと考えることができます。
当然、２つの面積は等しいはずです。
平行線ではさまれた２つの三角形の面積がつねに等しくなること（中２で習う等積変形）も同じように説明できます。
下から、横の長さが同じで厚さも同じ薄い長方形を積み上げた図形だと考えられるので、全体の三角形の面積は等しいといえます。この考え方を立体、空間図形にも応用したものがカヴァリエリの原理と呼ばれる原理です。
カヴァリエリの原理「１つの平面に平行な平面による切り口の面積がつねに等しいとき、２つの立体の体積は等しい」
同じ面積の図形を同じ高さ積み重ねたことになるから、２つの立体の体積は等しいというわけです。
カヴァリエリの原理を使って、半径がｒである半球の体積と、底面の半径がｒで高さがｒの円柱から底面の半径がｒで高さがｒの円錐をくりぬいた立体の体積とが等しいことをいうことができます。まず、平面（１）で横に切ったときの切り口は半球も円柱もｒ×ｒ×πで等しい。
平面（３）で横に切ったときはともに面積は０になって等しい。
底面からの高さがｘである平面（２）で、横に切ったとき、
半球の切り口は円になりますが、その円の半径は三平方の定理より
です。したがって、半球の切り口の面積は、
平面（２）で横に切ったとき、円柱から円錐をくりぬいた立体の切り口は半径ｒの円から半径ｘの円をひいたものになりますから、
以上より、「１つの平面に平行な平面による切り口の面積がつねに等しい」が成り立っています。
同じ面積の図形を同じ高さ積み重ねたことになりますから、半径ｒの半球の体積は、底面の半径がｒで高さがｒの円柱から底面の半径がｒで高さがｒの円錐をくりぬいた立体の体積と等しいといってよいわけです。
円柱から円錐をくりぬいた立体の体積は、円柱の体積の公式：底面積×高さ、円錐の体積の公式：底面積×高さ×１／３から求めることができます。
円柱−円錐
したがって、半球の体積も
球の体積は半球の体積の２倍だから、
こうして、球の体積を求める公式を見つけることができます。
球の表面積を求める公式
球の表面積を求める公式は、球の体積の公式から導くことができます。
球の表面に、球の表面積をｎ等分した面積Ｓをとります（球の表面積はＳ×ｎということになります）。その面積Ｓを底面積とし、球の中心が頂点になる錐体を考えます。
この錐体の高さは球の半径の長さｒと一致します。
底面積がＳで、高さがｒの錐体の体積は、公式：底面積×高さ×１／３より、Ｓ×ｒ×１／３です。
この錐体がｎ個集まったものが球ですから、Ｓ×ｒ×１／３×ｎと球の体積とが等しくなります。
このことを等式にすると、
球の表面積をｎでわったものがＳでした。だから、球の表面積はＳ×ｎです。
したがって、球の表面積は、
ということになります。
