確率、積の法則と和の法則（ご質問へのお答え）

問題：コインを一回トスします。表が出る確率は0.6です。5回トスした場合に少なくとも4回が表になる確率を式に表せ。

答：5ｘ(0.6)4乗ｘ(0.4)＋(0.6)5乗


（お答え）

「少なくとも４回が表になる」の言葉をわかりやすく書き直すと、「５回全部が表になる」か、または「４回が表で１回が裏」の２通りです。


まず、「５回全部が表になる」場合から。

１回目、表が出る確率は０.６です。２回目に表が出る確率も０.６です。
このとき、１回目に０.６の割合で表が出た後、さらにその０.６倍の割合で２回目に表が出るわけですから、１回目も２回目も表が出る確率は、０.６×０.６ということになります。（これを確率の『積の法則』といいます）。

３回目以降も同様に考えて、５回とも表が出る確率は０.６×０.６×０.６×０.６×０.６で求められます。


次に、「４回が表で１回が裏」になる確率を考えてみましょう。

どの回が裏になるかで、１回目、２回目、…５回目と、５通りあります。

１回目が裏になる割合は０.４、２回目に表になる割合はその０.６、さらに３回目でその０.６ということになるので、１回目だけが裏になる確率は、０.４×０.６×０.６×０.６×０.６です。

２回目だけが裏になる確率は、同じように考えて、０.６×０.４×０.６×０.６×０.６です。

見たらわかるように、１回目と２回目が裏になるときの式は、０.４のある場所が違うだけで実は同じ式です。

３回目、４回目、５回目だけが裏になる確率を求める式も、０.４のある場所だけが違う、同じ式です。

以上より、「４回が表で１回が裏」になる確率は０.４×０.６×０.６×０.６×０.６の５個分で、（０.４×０.６×０.６×０.６×０.６）×５です。


最後に、「５回全部が表になる」確率と「４回が表で１回が裏」の確率とを合わせた確率を求めなければならないので、２つの確率をたして、（０.４×０.６×０.６×０.６×０.６）×５＋０.６×０.６×０.６×０.６×０.６ということになります（このことを、確率の『和の法則』といいます）。


普通、以上のような解き方で解くはずで、解答もそういう意味を述べているのだと思われます。

ですから、多分、「他の解き方」や「応用で解く」やり方は必要ないはずです。

mathematics 大阪府公立高校入試の確率（後期Ｂ選択の問題）

公立高校入試の確率の問題を解くときの手順

１、まず、すべての場合の数を求める。

さいころの問題のように簡単な計算で求められる場合もあるが、すべての場合の数を書き出したほうがよいときが多い。

平成２０年後期の問題のように、Ａ、Ｂそれぞれの場合の数を求めて、その積ですべての場合の数を求めることもある（前期理数科の問題に多い）。

２、問題文の条件にあてはまる場合の数を慎重に数え上げる。

自分の設定した規則・順番にそって、やまをはらないで、きちんと書き出したほうがよい。

３、最後に確率を分数で表わす。


平成１６年Ｂ選択
１（４）
数の書いてある５枚のカード１、２、３、４、５が箱に入っている。この箱から２枚のカードを同時に取り出すとき、取り出した２枚のカードに書いてある数の和が４の倍数である確率はいくらですか。どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

（解き方）

まず、５枚のカードから２枚を同時に取り出すときの場合の数を求めます。この数が、確率の分母になります。

公立の入試問題の場合、普通は問題の条件にあてはまるすべての場合をもれなく書き出します。
５枚から２枚を選ぶ、「選び方」ですから、すべての場合を書き並べると１つずつ個数が減っていきます。それがわかるように書いておきます。
（１・２）（１・３）（１・４）（１・５）
（２・３）（２・４）（２・５）
（３・４）（３・５）
（４・５）
の計１０通りです。

次に、書き並べた１０この場合の数のうち、問題文の「２枚のカードに書いてある数の和が４の倍数である」場合に印をつけていきます。
和が４になる場合が（１・３）
和が８になる場合が（３・５）
この２通りしかありません。
これが確率の分子です。

よって、求める確率は２／１０＝１／５、５分の１です。


平成１７年Ｂ選択
１（４）
二つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が１けたの数である確率はいくらですか。１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとして答えなさい。

（解き方）

２つのさいころを投げるときのすべての目の出方は６×６＝３６通りです。
これが、確率の分母になります。

次に、「出る目の数の積が１けたの数である」場合をもれなく書き出します。
１−１、１−２、１−３、１−４、１−５、１−６
２−１、２−２、２−３、２−４
３−１、３−２、３−３
４−１、４−２
５−１
６−１
以上の計１７通りです。
これが確率の分子になります。

よって、求める確率は１７／３６、３６分の１７です。


平成１８年Ｂ選択
１（４）
二つの箱Ａ、Ｂがある。箱Ａには奇数の書いてある３枚のカード１、３、５が入っており、箱Ｂには奇数の書いてある３枚のカード５、７、９が入っている。
Ａ、Ｂそれぞれの箱から同時に１枚のカードを取り出し、箱Ａから取り出したカードを箱Ｂに入れ、箱Ｂから取り出したカードを箱Ａに入れるとき、箱Ａに入っている３枚のカードに書いてある数の和と箱Ｂに入っている３枚のカードに書いてある数の和とが等しくなる確率はいくらですか。どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

（解き方）

例年の確率の問題に比べ、やや時間がかかりそうな印象があります。

やはり、この問題の場合も、まず、もれがないように自分で方針を立てて、すべての場合の数をもれなく書き出します。
箱Ａから１を箱Ｂに移したとき、箱ＢからＡに移るのは５か７か９です。
そのときの箱Ａと箱Ｂは、
Ａ（３・５・５）のときＢ（１・７・９）
Ａ（３・５・７）のときＢ（１・５・９）
Ａ（３・５・９）のときＢ（１・５・７）
同様に箱Ａから３を箱Ｂに移したときは、
Ａ（１・５・５）のときＢ（３・７・９）
Ａ（１・５・７）のときＢ（３・５・９）
Ａ（１・５・９）のときＢ（３・５・７）
箱Ａから５を箱Ｂに移したときも同様で、
Ａ（１・３・５）のときＢ（５・７・９）
Ａ（１・３・７）のときＢ（５・５・９）
Ａ（１・３・９）のときＢ（５・５・７）
以上９通りがすべての場合の数です。
これが確率の分母になります。

次に、問題の条件「箱Ａに入っている３枚のカードに書いてある数の和と箱Ｂに入っている３枚のカードに書いてある数の和とが等しくなる」場合は、
Ａ（３・５・７）のときＢ（１・５・９）
Ａ（１・５・９）のときＢ（３・５・７）
の２通りしかありません。
これが確率の分子です。

よって、求める確率は２／９、９分の２です。


平成１９年Ｂ選択
１（５）
二つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和が素数である確率はいくらですか。１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとして答えなさい。

（解き方）

２つのさいころを同時に投げるときの場合の数は、６×６＝３６通り、これが確率の分母になります。

次に、「出る目の数の和が素数である」場合を、落ちやもれがないように慎重に書き出していきます。
さいころの最大の目は６であり、６＋６＝１２ですから、１２までにある素数、２・３・５・７・１１を先に見つけておいて、２つのさいころの目の和が、この５つの素数になるときを書き出します。
和が２になるのは、
（１・１）
和が３になるのは、
（１・２）（２・１）
和が５になるのは、
（１・４）（２・３）（３・２）（４・１）
和が７になるのは、
（１・６）（２・５）（３・４）（４・３）（５・２）（６・１）
和が１１になるのは、
（５・６）（６・５）
以上、計１５通り、確率の分子は１５です。

２個のさいころの出方３６通りは、例えば（１・２）（２・１）のように前後が逆になる場合をすべてふくんだ数字ですから、場合の数を書き出すときも前後が逆のものをもれなく書き出さないといけません。

以上より、求める確率は１５／３６＝５／１２、１２分の５です。


平成２０年Ｂ選択
１（５）
二つの箱Ａ、Ｂがある。箱Ａには偶数の書いてある４枚のカード２、４、６、８が入っており、箱Ｂには奇数の書いてある４枚のカード１、３、５、７が入っている。箱Ａから１枚のカードを箱Ｂから２枚のカードを同時に取り出すとき、取り出した３枚のカードに書いてある数のうちで箱Ａから取り出したカードに書いてある数が最も大きい数である確率はいくらですか。Ａ、Ｂそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

（解き方）

まず、すべての場合の数を求めないといけないことはこれまでの問題と同じです。
箱Ａからは１枚のカードを抜き出すだけなので、このときの場合の数は２か４か６か８の４通りです。
箱Ｂからは４枚のうち２枚を取り出すので、
（１・３）（１・５）（１・７）
（３・５）（３・７）
（５・７）
の６通りになります。
Ａの４通りのそれぞれについて、Ｂが６通りあるわけなので、すべての場合の数は４×６＝２４通りということになります。
これが確率の分母です。

次に、「取り出した３枚のカードに書いてある数のうちで箱Ａから取り出したカードに書いてある数が最も大きい数である」場合を、こんどはすべて書き出します。
箱Ａから２を取り出したとき、Ｂが何であろうと２が最大になることはありません。
箱Ａから４を取り出したとき、Ｂから取り出した２枚が（１・３）であれば問題の条件に合致します。
箱Ａから６を取り出したとき、Ｂからの２枚が（１・３）（１・５）（３・５）であれば６が最大になります。
箱Ａから８を取り出したとき、Ｂから２枚取り出すすべての場合、６通りにつき、６が最大です。
１＋３＋６＝１０通りのとき、問題の条件に合うことになります。
これが確率の分子です。

以上より、求める確率は１０／２４＝５／１２、１２分の５です。

mathematics 確率のそっくり問題（２）（大阪府公立・２２年前期理数科）

大阪府公立高校入試、１９年前期と２１年前期理数科の確率とそっくりの問題は２２年の前期理数科でも出題されました。

まったく同じ手順で解くことができます。


１（５）：Ｔさんは、数の書いてある３枚のカード１、２、３を持っている。２つの箱Ａ、Ｂがあり、箱Ａには数の書いてある５枚のカード１、２、３、４、５が入っており、箱Ｂには数の書いてある３枚のカード４、６、８が入っている。箱Ａからカードを２枚、箱Ｂからカードを１枚同時に取り出し、すでに持っている３枚のカードと合わせた６枚のカードについて、次のきまりにしたがった結果、残ったカードの枚数を得点とする。このとき、Ｔさんの得点が２である確率はいくらですか。Ａ、Ｂそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。
きまり：
・同じ数の書いてあるカードが１組のときはその１枚のカード２枚とも捨てる。
・同じ数の書いてあるカードが２組のときはその２組のカードを４枚とも捨てる。
・同じ数の書いてあるカードが１組もないときはカードを捨てない。


（解法）

まず、

要点１：「場 合の数」は３種類に分類できます。（１）並べ方（順列）・・・２・４と４・２を別々のものとして考えないといけない場合。（２）選び方（組合せ）・・・ ２・４と４・２は同じものだから別だと考えてはいけない場合。（３）その他・・・コインやさいころの問題のように、並べ方でも選び方でもないもの。

要点２：選び方（組合せ）は、１つ１つを書き出すと、２・４、２・６、２・８・・・３個、４・６、４・８・・・２個、６・８・・・１個というように、１個ずつ個数が減っていく場合です。

より、箱Ａからの取り出し方を列挙します。

（１・２）（１・３）（１・４）（１・５）
（２・３）（２・４）（２・５）
（３・４）（３・５）
（４・５）
の１０通りです。

次に、箱Ｂからの取り出し方を書き並べます。
４・６・８の３通りです。


そして、

要点３：Ａから選ぶときの選び方がｍ通り、Ｂから選ぶときの選び方がｎ通りあるとき、すべての場合の数はｍ×ｎ通りです。

より、箱Ａ、箱Ｂからの取り出し方は１０×３＝３０通りとなり、この３０が確率の分母となります。


次に、

要点４：問題文にあてはまる場合を、慎重に数えあげます。

Ａ（１・２）のとき、Ｂが４・６・８のすべての場合で手元にカードが２枚残ります（３通り）。
Ａ（１・３）のときも同様です（３通り）。
Ａ（１・４）のとき、Ｂが４のときだけカードが２枚残ります（１通り）。
Ａ（１・５）のとき、残るカードが２枚になることはありません。
Ａ（２・３）のとき、Ｂは４・６・８でカードが２枚残ります（３通り）。
Ａ（２・４）のとき、Ｂが４のときだけ２枚残ります（１通り）。
Ａ（２・５）だと、カードが２枚残る場合はありません。
Ａ（３・４）のとき、Ｂが４のときにカードは２枚残ります（１通り）。
Ａ（３・５）のとき、Ｂが何であれ残りのカードが２枚になることはありません。
Ａ（４・５）のとき、やはりＢが何でも２枚残ることはありえません。

以上より、得点が２になる場合は３＋３＋１＋３＋１＋１＝１２通り。

したがって、求める確率は１２／３０＝２／５、５分の２です。

mathematics 確率のそっくり問題（大阪府公立・１９年前期・２１年前期理数科）

大阪府の公立高校入試では、しばしばよく似た問題が出題されます。
この稿では確率の問題をとりあげます。

まず、平成１９年度前期入試の問題から。

１（４）：二つの箱Ａ、Ｂがある。箱Ａには偶数の書いてある４枚のカード２、４、６、８が入っており、箱Ｂには奇数の書いてある３枚のカード３、５、７が入っている。箱Ａから２枚のカードを箱Ｂから１枚のカードを同時に取り出すとき、箱Ａから取り出した２枚のカードに書いてある数の和が箱Ｂから取り出したカードに書いてある数の２倍よりも大きくなる確率はいくらですか。Ａ、Ｂそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

（解き方）

箱Ａからカードを２枚取り出すときの場合の数は、
２・４、２・６、２・８
４・６、４・８
６・８
の６通りです。

要点１：「場合の数」は３種類に分類できます。（１）並べ方（順列）・・・２・４と４・２を別々のものとして考えないといけない場合。（２）選び方（組合せ）・・・２・４と４・２は同じものだから別だと考えてはいけない場合。（３）その他・・・コインやさいころの問題のように、並べ方でも選び方でもないもの。

要点２：選び方（組合せ）は、１つ１つを書き出すと、２・４、２・６、２・８・・・３個、４・６、４・８・・・２個、６・８・・・１個というように、１個ずつ個数が減っていく場合です。

次に、箱Ｂから１枚のカードを取り出すときの場合の数は、３か５か７の３通りです。

箱Ａから取り出すときの取り出し方それぞれについて、Ｂからの取り出し方が３通りずつあります。
だから、箱Ａから２枚取り出すときの取り出し方が６通りあって、箱Ｂから１枚取り出すときの取り出し方が３通りあるので、カードの取り出し方は全部で６×３＝１８通りです（これが確率の分母になります）。

要点３：Ａから選ぶときの選び方がｍ通り、Ｂから選ぶときの選び方がｎ通りあるとき、すべての場合の数はｍ×ｎ通りです。

次に、Ａの取り出し方６通りのそれぞれについて、問題文の「箱Ａから取り出した２枚のカードに書いてある数の和が箱Ｂから取り出したカードに書いてある数の２倍よりも大きくなる」場合であるかどうかを調べていきます。

Ａから取り出した２枚のカードの数の和を列挙しておきます。

２・４のとき、２＋４＝６
２・６のとき、２＋６＝８
２・８のとき、２＋８＝１０
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
４・６のとき、４＋６＝１０
４・８のとき、４＋８＝１２
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
６・８のとき、６＋８＝１４

Ｂから取り出した１枚のカードの２倍も列挙しておきます。

３のとき、３×２＝６
５のとき、５×２＝１０
７のとき、７×２＝１４

３×２＝６のとき、Ａの（２・６）、（２・８）、（４・６）、（４・８）、（６・８）の５つが問題文の条件にあてはまります。
５×２＝１０のとき、Ａの（４・８）、（６・８）の２つが問題の条件に合致します。
７×２＝１４のとき、「箱Ａから取り出した２枚のカードに書いてある数の和が箱Ｂから取り出したカードに書いてある数の２倍よりも大きくなる」場合はありません。

よって、問題の条件にあてはまる場合の数は、すべての場合の数１８通りのうち、５＋２の７通りですから、求める確率は７／１８、１８分の７です。

要点４：問題文にあてはまる場合を、慎重に数えあげます。



平成２１年度前期理数科の問題が、ほぼそっくりの問題でした。

１（４）：二つの箱Ａ、Ｂがある。箱Ａには数の書いてある４枚のカード１、２、３、４が入っており、箱Ｂには数の書いてある４枚のカード２、３、４、５が入っている。Ａ、Ｂそれぞれの箱から同時にカードを２枚取り出すとき、箱Ａから取り出した２枚のカードに書いてある数の和と箱Ｂから取り出した２枚のカードに書いてある数の和とが等しい確率はいくらですか。Ａ、Ｂそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

（解き方）

まず、
要点１：「場 合の数」は３種類に分類できます。（１）並べ方（順列）・・・２・４と４・２を別々のものとして考えないといけない場合。（２）選び方（組合せ）・・・ ２・４と４・２は同じものだから別だと考えてはいけない場合。（３）その他・・・コインやさいころの問題のように、並べ方でも選び方でもないもの。
要点２：選び方（組合せ）は、１つ１つを書き出すと、２・４、２・６、２・８・・・３個、４・６、４・８・・・２個、６・８・・・１個というように、１個ずつ個数が減っていく場合です。

から、Ａの箱から２枚取り出すときの選び方、Ｂの箱から２枚取り出すときの選び方を書き出します。

Ａ：
１・２、１・３、１・４
２・３、２・４
３・４
以上の６通り。

Ｂ：
２・３、２・４、２・５
３・４、３・５
４・５
以上の６通り。

要点３：Ａから選ぶときの選び方がｍ通り、Ｂから選ぶときの選び方がｎ通りあるとき、すべての場合の数はｍ×ｎ通りです。

より、すべての場合の数は６×６＝３６通り（確率の分母です）。

そして、

要点４：問題文にあてはまる場合を、慎重に数えあげます。

「箱Ａから取り出した２枚のカードに書いてある数の和と箱Ｂから取り出した２枚のカードに書いてある数の和とが等しい」場合は、

Ａの１・４とＢの２・３
Ａの２・３とＢの２・３
Ａの２・４とＢに２・４
Ａの３・４とＢの２・５
Ａの３・４とＢの３・４

以上、５通りです。

よって、問題の条件にあてはまる場合の数は、すべての場合の数３６通りのうち５通りですから、求める確率は５／３６、３６分の５です。

mathematics 確率（３） 積で求める場合の数

場合の数の３種類の問題のうち、（１）ならべ方（順列）、（２）選び方（組合せ）を除いた場合の数、（３）順列でも組合せでもない場合の数の問題です。

この稿で扱うのは、２個のさいころの問題のように、１個目が１だと２個目は１から６までの６通り、１個目が２でも２個目は６通り、・・・というように、それぞれの場合につき、同数の場合の数が伴う事例です。

道・経路の問題。じゃんけんの問題、硬貨の問題、さいころの問題が典型例です。


例題１：ＡからＢを通ってＣへ行く。ＡからＢまでの道は３本、ＢからＣまでの道は４本ある。ＡからＣへ行く道筋は何通りあるか。

（考え方と式）
ＡからＢへ行く道で１を選んだとして、ＢからＣへ行く道はaからｄまでの４通り、２でも３でも同様。

ＡからＢへ行く道３つについて、それぞれＢからＣへ行く道は４通りあるから、求める場合の数は３×４＝１２通り。

この問題のように、最初にあることがらがｎ通りあり、２番目に別のことがらがｍ通りあり、・・・それぞれのことがらが独立しているとき、干渉しあわないとき、求める場合の数はｎ×ｍ×・・・の式で求めることができます。


例題２：Ａ、Ｂ、Ｃの３人でじゃんけんをする。ぐう、ちょき、ぱあの出し方は何通りあるか。

（考え方と式）
Ａのじゃんけんの出し方は３通り、その１つ１つについてＢの出し方が３通り、さらにそのそれぞれについてＣの出し方も３通りですから、３×３×３＝２７通り。


例題３：３枚の硬貨を投げるとき、表と裏の出方は何通りあるか。

（考え方と式）
１枚目の硬貨の出方は表か裏の２通り、その１つについて２枚目の硬貨の出方が２通り、さらに３枚目の硬貨の出方も表か裏の２通りなので、２×２×２＝８通り。


例題４：大小２つのさいころを同時に投げるとき、目の出方は何通りあるか。

（考え方と式）
大のさいころの目が１つ決まったとして、小の目の出方は１から６までの６通り。大のさいころの目の出方は６通りあり、そのそれぞれについて小のさいころの目の出方が６通りだから、６×６＝３６通り。

mathematics 確率（２） 選び方（組合せ）を求める式

３種類ある場合の数の問題、（１）ならべ方（順列）、（２）選び方（組合せ）、（３）順列でも組合せでもない場合の数、のうち、この稿で取り扱うのは２番目の選び方（組合せ）です。

選び方（組合せ）とは、Ａ、Ｂ、Ｃの３人から２人を選ぶときのように、ＡとＢ、ＢとＡは同じものなので、別々に数えてはいけないもののことです。


例題１：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人から３人の委員を選ぶとき、選び方は何通りあるか。

（考え方と式）
５人から３人を選ぶ問題です（５人から２人を選ぶのと同じ答えになるのですが、ここではそのことにはふれません）。

５つから３つを取り出して「ならべる」問題だと、『ならべ方を求める式』で学んだように、枠が３つで、５と５−１と５−２のかけ算になり、５×４×３＝６０通りです。
この場合、例えばＡとＢとＣをならべたＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡはすべて別々として数え上げています。

ところが「選び方」だと、ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡを別に数えるわけにいきません。ＡとＢとＣの３人を選んだ場合として、選び方としてはただの１個です。

だから、５×４×３＝６０で求めた６０のならべ方の中には、ダブっていて、数えてはいけないものが含まれているので、６０のならべ方のうちからその分を除いておかないといけません。
では、ダブって数えたのはどれだけか？

選んだ３人の「ならべ方」の個数です。
ＡとＢとＣを選んだとしたら、そのならべ方、３個から３個取り出してならべた順列の数だけ、ダブって数えていることになります。
３個から３個選んでならべる個数なので、枠が３個で、３と３−１と３−２のかけ算、３×２×１＝６で、全体のならべ方５×４×３＝６０をわらないといけません。

以上より、５人から３人を選ぶ「選び方（組合せ）」を求める式は、（５×４×３）÷（３×２×１）であり、答えは１０通りだということになります。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

この問題を解き方を参考にして、ｎ個からｒ個を選ぶときの選び方を求める式をつくってみましょう。

５個から３個「選ぶ」とき、（５つのならべ方）÷（３つのならべ方）でした。
つまり、（枠が３つで、５×４×３）÷（枠が３つで３×２×１）です。

一般化して、ｎ個からｒ個選ぶとき、選び方の個数を求める式は、
（枠がｒ個で、ｎ×（ｎ−１）×・・・×（ｎ−ｒ＋１））÷（枠がｒ個で、ｒ×（ｒ−１）×・・・×１）
ということになります。

簡単にいうと、ｎ個からｒ個を選ぶ場合の数を求めるときは、分数の分子にｒ個の枠をかいて、ｎ、ｎ−１、ｎ−２、・・・と数を書き込む、分数の分母に同じｒ個の枠をかき、ｒ、ｒ−１、ｒ−２、・・・、２、１と書き込む、約分をすませて答えを求めたらよい、ということです。


では、式を使う練習を。

例題２：１週間のうち、２日掃除をすることにしたい。曜日の選び方は何通りあるか。

（考え方と式）
１週間７日から２日を選ぶ場合の数を求める問題です。

分数の分子に２つ枠をかいてその中に入れる数字は７×６、分母にも２つ枠をかいてそれに入れる数字は２×１。

７×６／２×１
＝７×３・・・（約分を先に）
＝２１通り

mathematics 確率（１） ならべ方（順列）を求める式

場合の数には３種類あることを最初に確認しておきましょう。
（１）ならべ方（順列）、（２）選び方（組合せ）、（３）順列でも組合せでもない場合の数、の３種類です。

この稿では（１）のならべ方（順列）を取り上げます。
ならべ方（順列）とは、１と２で２桁の数をつくるときのように、１２と２１で順序が違うと別のものなので、別々に数えないといけないもののことです。


例題１：１、２、３、４の４枚のカードがある。このカードのうち２枚をならべてできる２桁の数は全部で何通りできるか。

（考え方と式）
２桁の数の、まず１０の位にくるカードを決めます。
１か２か３か４かの４通りです。

１０の位を１と決めると、１の位には２か３か４の３種類を選ぶことができます。

そして１０の位におくことができるカードは１、２、３、４の４種類であり、そのそれぞれについて、１の位を３種類ずつ選ぶことができます。

このことを式にすると、
４×３＝１２
答えは１２通りです。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

この問題のやり方を参考にして、ｎ個からｒ個取り出してならべるときの公式をつくってみましょう。

この問題のように、４個から２個取り出してならべるとき、かけ算の式になりますが、かけ算をする数字は２個であり、かけ算の前が４、かけ算のうしろが４から１をひいた３です。

このことを一般化すると、ｎ個からｒ個取り出してならべるとき、ならべ方が何通りあるかを求める式は、
ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×・・・であり、
かけ算を構成する数字はｒ個であるということができます。

例えば、５個の数字をならべて３桁の数をつくる問題であれば、最初が５で始まり、１ずつ減らした数字を３個ならべたかけ算をしたらよいので、
５×４×３＝６０通り
で求めることができるということです。

さらにわかりやすく言い換えると、５個から３個選んでならべる問題であれば、四角を３つかいておいて、その四角の中に５、４、３と記入して、かけ算をすればよいということです。












ｎ個からｒ個取り出してならべる問題であれば、さっさと四角をｒ個かいて、左端からｎ、ｎ−１、ｎ−２、・・・とかき込んで、かけ算をすればよいということです。











式をかいて解く方法がわかったら、練習してみましょう。

例題２：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人がリレーで１人ずつ走るとき、走る順番は何通りあるか。

（考え方と式）
５人全部がならぶので、５人から５人をとってならべる順列です。
かけ算を構成する枠の数は５つ、前から５×４×３×２×１と５つの枠に入れてかけ算をしたらよいことになります。

５×４×３×２×１＝１２０

１２０通りです。


１段階だけむずかしくすると、次のような問題になります。

例題３：０、１、２、３の４枚のカードがある。このうち３枚のカードをならべてできる３桁の数は全部で何通りあるか。

（考え方と式）
３枚のカードをならべるので、かけ算を構成する枠の数は３です。

考えないといけないのは、最初の枠に入る数字です。
０が、最初にくる３桁の数はありえません。

この場合、最初にならべてよい数は、４枚のカードのうち０を除いた３枚です。
最初の数が決まると、２枚目（１０の位）は０が入ってもよいので最初にならべた数以外の３通り、３枚目（１の位）は０を入れた４枚のうち最初と２枚目を除いた２通り。

以上より、枠の３つのかけ算、通常であれば４×３×２を、最初が０以外の３通りしか選べないので（４−１）×３×２に修正しないといけないということになります。

３×３×２＝１８通り

mathematics 確率（０） 公式も知っておいたほうがよい

中学２年生で学ぶ『確率』の単元は、『場合の数（並び方・選び方・その他の場合の数）』と、『確率』から構成されています。

どの分野も、中学生の場合、樹形図や表をかいて求めるのが基本です。式は知らないでもよいという前提で教科書は記述されています。

ところが、（１）高校入試では、式を知っていて計算で解いたほうが速く簡単に解ける問題が出ることがあります（特に私立高校入試）。
また、（２）高校数学だと式を使うほうが多いので、先に知っておいたほうが後々役に立ちます。

樹形図のかき方は学校や塾で練習するでしょうから、ここでは式を知った上で、計算で解く方法をまとめることにしました。