math 回転体の体積・表面積とパップス・ギュルダンの定理

今から2300年も前にエジプトのパップスが発見し、16世紀にギュルダンが再発見した、『パップス・ギュルダンの定理』といわれるものがあります。

回転体と、回転する図形の重心との間に成り立つ定理です。

回転体・・・平面図形を、同一平面上の一つの直線のまわりに1回転させたときにできる立体のこと。円柱、円錐、球などが代表的な回転体です。

重心・・・ある物体を1点で支えられるとき、その点を重心といいます。素朴に言うと、ある図形の真ん中が重心です。
点対称の図形では対称の中心が重心になります。
三角形の重心については、こちらを参照。


パップス・ギュルダンの定理とは

回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離

一例として、一辺を軸として長方形を回転させる場合をとりあげます。












円柱ができます。
この円柱の体積は、体積を求める公式
底面積×高さ
で、求めることができます。
2×2×π×5=20π
です。

パップス・ギュルダンの定理
回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離
を使うと、
回転する図形の面積は、長方形の面積である5×2=10であり、
重心の移動距離は、半径1cmの円周になりますから1×2×π=2πですから、
回転する図形の面積×重心の移動距離=10×2π=20π
ということになります。


パップス・ギュルダンの定理を使うと簡単に体積が求められる問題

例題１：図のような底辺2cm、高さ3cmの平行四辺形を、1つの頂点を通る直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。












左図の、円錐台から円錐をくりぬいた形ができます。

大きい円錐の体積を求めて、上の小さい円錐の体積と、くりぬいた円錐の体積をひいても求められますが、計算がやや煩雑です。
4×4×π×6×1/3-2×2×π×3×1/3-2×2×π×3×1/3
=32π-4π-4π
=24π




パップス・ギュルダンの定理をもちいると、簡単に答えが出ます。

平行四辺形の対角線の交点が重心です。

回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×3)×(2×2×π)
=24π




パップス・ギュルダンの定理を使わないと中学生には体積が求めらない問題

例題２：図のような半径2cmの円を、円周から2cmの距離にある直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。











左図のような、ドーナツ形（トーラスといいます）ができます。
小学生、中学生範囲では、体積を求めることはできません。

パップス・ギュルダンの定理を使うと求められます。

円の中心が重心です。

回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×2×π)×(4×2×π)
=4π×8π
=32π^2
（32π2乗）


パップス・ギュルダンの定理と表面積

パップス・ギュルダンの定理は、表面積にも応用することができます。

円柱の側面積を、パップス・ギュルダンの定理を使って求めてみましょう。

長さ4cmの線分を、2cm離れた直線を軸にして回転します。

線分には「長さ」しかありませんが、線分が回転したときの回転体の面積を、うすっぺらい図形が回転したときの「体積」だとみなします。





軸に平行な線分を回転させると、円柱の側面になります。

回転体の面積を、円柱の側面積だと考えると、
4×(2×2×π)
=16π
です。



パップス・ギュルダンの定理を応用すると、
回転する図形の面積は4cmの線分の長さの4、重心の移動距離は半径2cmの円周だということになります。

回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積ですが）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π
です。

このように、パップス・ギュルダンの定理は、表面積を求めるときにも使えることがわかります。


軸に斜めの線分が回転する場合を考えてみましょう。








底面の半径が4cmの円錐の側面積になります。
重心の、軸との距離は2cmです。

回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積です）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π


円錐の側面積は、母線×半径×πで求められますが（こちらを参照）、パップス・ギュルダンの定理を使って、同じ式を導くことができるわけです。




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math 円すいの側面積が1秒で求められる公式（小学生）

（この記事は小学生対象です。中学生の方は『円錐の側面積が1秒で求められる公式（中学生）』をご覧ください。）


円すいの側面積を、1秒もかけずに求められる公式があります。
それは・・・、
側面積=母線×半径×3.14

母線をL、底面の半径をRとすると、
側面積=L×R×3.14







例題：底面の半径が1cm、母線の長さが4cmの円すいの表面積を求めなさい。

（解答）
表面積=底面積+側面積です。

底面積は円だから半径×半径×3.14より、
底面積=1×1×3.14=3.14

側面積は母線×半径×3.14で求められるから、
側面積=4×1×3.14=12.56

よって、表面積は
3.14+12.56=15.7

どうですか？
公式を知っていたら、とても楽に求められます。


公式、側面積=母線×半径×3.14が成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか？』をきちんと理解しておきましょう。

表面積の問題なので、展開図をかいて考えます。

側面（おうぎ形）は、半径がL（母線）の円の一部です。・・・（１）

円全体のどれだけにあたるかを考えます。
側面を含む円全体に対する、側面（おうぎ形）の割合は、側面を含む円の円周に対する、おうぎ形（側面）の弧の長さの割合と一致します。・・・（２）

また、側面（おうぎ形）の弧の長さは、底面である円の円周と一致します。・・・（３）

円周全体=L×2×3.14
おうぎ形の弧の長さ=底面の円周=R×2×3.14

側面（おうぎ形）は半径L（母線）の円（L×L×3.14）の一部であり、円全体に対する割合がL×2×3.14分のR×2×3.14、R×2×3.14/L×2×3.14だから・・・

側面の面積は、
L×L×3.14×(R×2×3.14/L×2×3.14)=L×L×3.14×(R×2×3.14/L×2×3.14)=L×R×3.14





つまり、側面積=母線×半径×3.14です。




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math 円錐の側面積が1秒で求められる公式（中学生）

（この記事は中学生対象です。小学生の方は『円すいの側面積が1秒で求められる公式（小学生）』をご覧ください。）


円錐の側面積を、1秒もかけずに求められる公式があります。
それは・・・、
側面積=母線×半径×π

母線をL、底面の半径をRとすると、
側面積=LRπ







例題：底面の半径が1cm、母線の長さが4cmの円錐の表面積を求めよ。

（解答）
表面積=底面積+側面積です。

底面積は円だから半径×半径×πより、
底面積=1×1×π=π

側面積は母線×半径×πで求められるから、
側面積=4×1×π=4π

よって、表面積は
π+4π=5π

どうですか？
公式を知っていたら、とても楽に求められます。


公式、側面積=母線×半径×πが成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか？』をきちんと理解しておきましょう。

表面積の問題なので、展開図をかいて考えます。

側面（おうぎ形）は、半径がL（母線）の円の一部です。・・・（１）

円全体のどれだけにあたるかを考えます。
側面を含む円全体に対する、側面（おうぎ形）の割合は、側面を含む円の円周に対する、おうぎ形（側面）の弧の長さの割合と一致します。・・・（２）

また、側面（おうぎ形）の弧の長さは、底面である円の円周と一致します。・・・（３）

円周全体=L×2×π
おうぎ形の弧の長さ=底面の円周=R×2×π

側面（おうぎ形）は半径L（母線）の円（L×L×π）の一部であり、円全体に対する割合がL×2×π分のR×2×π、R×2×π/L×2×πだから・・・

側面の面積は、
L×L×π×(R×2×π/L×2×π)=L×L×π×(R×2×π/L×2×π)=L×R×π





つまり、側面積=母線×半径×πです。




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math 円すいの展開図の中心角と母線・半径（小学生）

（この記事は小学生対象です。中学生の方は『円すいの展開図の中心角と母線・半径（中学生）』をご覧ください。）


円すいの母線の長さと底面の半径の長さと、円すいの展開図の側面の中心角との間に成り立つ関係について、知っていると問題がめちゃくちゃ楽に解けてしまう公式を覚えてください。

その公式とは、
360°：中心角=母線：半径
です。


例題：図は、底面の半径が1cm、側面の母線の長さが3cmである円すいの見取り図と展開図です。展開図の、側面の中心角は何度ですか。

公式、360°：中心角=母線：半径を知っていたら、
母線：半径が3：1だから、つまり、半径が母線の3分の1だから、中心角も360°の3分の1、
よって360×1/3=120°と、瞬時に答えが出てきます。


左の図の場合であれば、母線：半径=4：1だから、中心角は360°の4分の1、つまり90°です。








逆に、中心角がわかっているとき、半径や母線の長さを求める問題も瞬時に解くことができます。
例えば、左の図で底面の半径を求めたいとき、中心角が120°で360°の3分の1だから、底面の半径も母線の3分の1になり1cmだと、すぐに求められます。








公式、360°：中心角=母線：半径が成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか？』をきちんと理解しておきましょう。

展開図の側面はおうぎ形です。
このおうぎ形が含まれる円全体を考えるのがポイントです。

左の図を見たらわかるように、360°に対する中心角の割合と、円周全体に対するおうぎ形の弧の長さの割合は同じです。

まず、
360°：中心角=円周の長さ：弧の長さ…(1)
の関係が成り立っています。

次に、
円周を求める式は、直径×3.14の式より、
3×2×3.14

弧の長さは、底面の円の円周と一致するから、1×2×3.14

2×3.14の部分は共通なので、
3×2×3.14：1×2×3.14=3：1

このように、
円周の長さ：弧の長さ=母線：半径…(2)
の式が成り立ちます。





(1)と(2)より、
360°：中心角=円周の長さ：弧の長さ=母線：半径
つまり、
360°：中心角=母線：半径
です。

まとめます。
円すいの母線の長さをL、底面の半径をRとするとき、

360°：中心角=L：R

また、

中心角=360°×R/L

知っていると超お得な公式です。



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math 円錐の展開図の中心角と母線・半径（中学生）

（この記事は中学生対象です。小学生の方は『円すいの展開図の中心角と母線・半径（小学生）』をご覧ください。）


円錐の母線の長さと底面の半径の長さと、円錐の展開図の側面の中心角との間に成り立つ関係について、知っていると問題がめちゃくちゃ楽に解けてしまう公式を覚えてください。

その公式とは、
360°：中心角=母線：半径
です。


例題：図は、底面の半径が1cm、側面の母線の長さが3cmである円錐の見取り図と展開図である。展開図の、側面の中心角は何度か。

公式、360°：中心角=母線：半径を知っていたら、
母線：半径が3：1だから、つまり、半径が母線の3分の1だから、中心角も360°の3分の1、
よって360×1/3=120°と、瞬時に答えが出てきます。


左の図の場合であれば、母線：半径=4：1だから、中心角は360°の4分の1、つまり90°です。








逆に、中心角がわかっているとき、半径や母線の長さを求める問題も瞬時に解くことができます。
例えば、左の図で底面の半径を求めたいとき、中心角が120°で360°の3分の1だから、底面の半径も母線の3分の1になり1cmだと、すぐに求められます。








公式、360°：中心角=母線：半径が成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか？』をきちんと理解しておきましょう。

展開図の側面はおうぎ形です。
このおうぎ形が含まれる円全体を考えるのがポイントです。

左の図を見たらわかるように、360°に対する中心角の割合と、円周全体に対するおうぎ形の弧の長さの割合は同じです。

まず、
360°：中心角=円周の長さ：弧の長さ…(1)
の関係が成り立っています。

次に、
円周を求める式は、直径×πの式より、
3×2×π

弧の長さは、底面の円の円周と一致するから、1×2×π

2×πの部分は共通なので、
3×2×π：1×2×π=3：1

このように、
円周の長さ：弧の長さ=母線：半径…(2)
の式が成り立ちます。





(1)と(2)より、
360°：中心角=円周の長さ：弧の長さ=母線：半径
つまり、
360°：中心角=母線：半径
です。

まとめます。
円錐の母線の長さをL、底面の半径をRとするとき、

360°：中心角=L：R

また、

中心角=360°×R/L

知っていると超お得な公式です。




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math 横にした円すいが転がる問題（小学生）

（この記事は小学生対象です。中学生の方は『横にした円すいが転がる問題（中学生）』をご覧ください。）


例題：底面の直径が9cmの円すいを、平面上をすべらないように転がしたところ、円すいが4回転したところでもとの位置にもどってきました。これについて、次の問いに答えなさい。
(1)点線の円の周の長さを求めなさい。
(2)転がした円すいの表面積を求めなさい。


（ポイント）

算数を楽に解くコツは、「等しいものを見つける」です。

この問題のように横に倒した円すいが転がったとき、左の図の赤線の部分、つまり、円すいの底面の円周が4回転したものと、青色の点線の部分が等しいわけです。

(1)点線の円の周の長さを求めなさい。

「点線の円の周の長さ」＝「円すいの底面の円周×4」ですから、
円周=直径×3.14より、
点線の円の周の長さ＝9×3.14×4
=113.04

答えは113.04cmです。


次に、(1)で求めた点線の円周の長さから、点線の円の直径、そして半径を求めて、次の問題を解きます。

(2)転がした円すいの表面積を求めなさい。

点線の円の円周が113.04だったので、円周=直径×3.14より、
113.04＝直径×3.14
だから、直径=113.04÷3.14=36

点線の円の直径は36cmです。
ということは、点線の円の半径は36÷2=18cm。

この18cmが、横に倒した円すいの母線の長さと一致します。

この、「点線の円の半径=円すいの母線の長さ」が、次のポイントになります。












表面積を求める問題なので、展開図をかいて考えます。

表面積＝底面積＋側面積です。

底面積=半径×半径×3.14であり、半径は9÷2だから4.5cmです。
底面積=4.5×4.5×3.14
=63.585

次に側面積ですが、公式、円すいの側面積=母線×半径×3.14を使えば簡単です（円すいの側面積を求める公式、側面積=母線×半径×3.14については、こちらを参照）。

側面積=18×4.5×3.14
=254.34

以上より、
表面積=底面積+側面積
=63.585+254.34
=317.925

答えは317.925です。



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math 横にした円錐が転がる問題（中学生）

（この記事は中学生対象です。小学生の方は『横にした円すいが転がる問題（小学生）』をご覧ください。）

例題：底面の直径が9cmの円錐を、平面上をすべらないように転がしたところ、円錐が4回転したところでもとの位置にもどってきた。これについて、次の問いに答えよ。
(1)点線の円の周の長さを求めよ。
(2)転がした円錐の表面積を求めよ。



（ポイント）

数学ですから、「等しいものを見つけて、等式をつくって、その方程式を解く」が王道です。
この問題だと、方程式を立てる必要まではありませんが、「等しいものを見つける」が出発点であることにかわりはありません。

この問題のように横に倒した円錐が転がったとき、左の図の赤線の部分、つまり、円錐の底面の円周が4回転したものと、青色の点線の部分（円周）が等しいわけです。

(1)点線の円の周の長さを求めよ。

「点線の円の周の長さ」＝「円錐の底面の円周×4」ですから、
円周=直径×πより、
点線の円の周の長さ＝9×π×4
=36π

答えは36πcmです。


次に、(1)で求めた点線の円周の長さから、点線の円の直径、そして半径を求めて、次の問題を解きます。

(2)転がした円錐の表面積を求めよ。

点線の円の円周が36πだったので、円周=直径×πより、
36π＝直径×π

ゆえに、点線の円の直径は36cmです。
ということは、点線の円の半径は36÷2=18cm。

この18cmが、横に倒した円錐の母線の長さと一致します。

この、「点線の円の半径=円錐の母線の長さ」が、次のポイントになります。











表面積を求める問題なので、展開図をかいて考えます。

表面積＝底面積＋側面積です。

底面積=半径×半径×πであり、半径は9÷2だから9/2cm(4.5cm)です。
底面積=9/2×9/2×π
=81/4×π

次に側面積ですが、公式、円錐の側面積=母線×半径×πを使えば簡単です（円錐の側面積を求める公式、側面積=母線×半径×πについては、こちらを参照）。

側面積=18×9/2×π
=162/2×π

以上より、
表面積=底面積+側面積
=81/4×π+162/2×π
=81/4×π+324/4×π
=405/4×π

答えは(405/4)πです。



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math 円柱、内接する球、円錐の体積と表面積

円柱の側面積と、円柱に内接する球の表面積

円柱の側面積と、円柱に内接する球の表面積との間にはおもしろい関係が成り立っています。

底面の半径がｒcm、高さが２ｒcmの円柱に、半径ｒcmの球が内接しています。

球の表面積は、4πr^2です。

円柱の側面積はどうなるでしょうか。

円柱の側面の面積は、縦が２ｒcm、横が底面の円の周と等しいのでｒ×２×πの長方形の面積と等しくなります。
よって、円柱の側面積は2r×2πr=4πr^2です。

つまり、円柱の側面積と、その円柱の底面と側面に内接する球の表面積とは等しいということがわかります。



円柱と、円柱に内接する円錐と、円柱に内接する球の体積の関係

円柱と、円柱の底面と側面に内接する球と、円柱の上下の底面に内接する円錐の体積の間にもおもしろい関係が成り立っています。

円錐の体積は、底面積×高さ×１/３の公式より、r×r×π×2r×1/3=2/3πr^3です。

球の体積は、4/3πr^3です。

円柱の体積は、底面積×高さの公式より、r×r×π×2r=2πr^3です。

よって、円錐の体積：球の体積：円柱の体積の比は、
2/3πr^3：4/3πr^3：2πr^3
=2/3：4/3：2
=2：4：6
=1：2：3

円錐の体積：球の体積：円柱の体積＝１：２：３となっていることがわかります。




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math 正多面体（正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体）

平面だけで囲まれた立体を多面体といいます。
三角柱・三角錐・四角柱・四角錐・・・・などが多面体であり、円柱や円錐は平面と曲面で囲まれているので多面体ではありません。

多面体のうち、（１）どの面も合同な正多角形で、（２）どの頂点にも同じ数の面が集まり、（３）へこみのないものを正多面体といいます。

正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５つです。









正四面体
底面も側面も正三角形の正三角錐のことです。
1つの頂点に３個の正三角形が集まっています。





正六面体
底面も側面も正方形の正四角柱、立方体のことです。
１つの頂点に３個の正四角形（正方形）が集まっています。




正八面体
側面が正三角形の正四角錘を上下にくっつけた形です。
１つの頂点に４個の正三角形が集まっています。
図の赤線の部分は正方形です。




正十二面体
１つの頂点に３個の正五角形が集まっています。
サッカーボールに似た正多面体です。





正二十面体
１つの頂点に５個の正三角形が集まった正多面体です。
図の赤線の部分は正五角形です。






正多面体は５つしかない

正多面体は５つしかありません。
なぜでしょうか？

正多面体を構成している正多角形（正三角形・正方形・正五角形）の１つの内角の大きさと、１つの頂点に集まっている面の数を考えてみればわかります。

まず、正六角形でできた正多面体はありません。
正六角形の１つの内角の大きさは120°です。
１つの頂点には最低３つの面が集まらないと立体にはなりません。
正六角形を３つ集めると120×3＝360°
ちょうど１つの平面になってしまって、立体にはなりません。
だから、正六角形でできた正多面体はないとわかります。

正七角形以上のものの１つの内角は120°を超えてしまい、３つ集めると360°を超えてしまうので、へこんでしまいます。

以上より、正六角形以上の面で正多角形をつくることはできないことがわかります。


次に、正三角形で何種類の正多面体ができるかを考えてみましょう。
正三角形の１つの内角の大きさは60°です。

面が３つ集まっても180°、これが正四面体です。

面が４つ集まっても240°、これが正八面体です。

面が５つ集まっても300°、これが正二十面体です。

面が６つ集まったら360°になってしまい、立体にならないので、正三角形が６つ以上１つの頂点に集まる正多面体はありません。


次に正方形でできている正多面体を考えます。
正方形の１つの内角は90°です。
面が３つ集まっても270°、これが正六面体です。
面を４つ集めると360°になり、立体にならないので、正方形でできる正六面体以外の正多面体はありません。

最後に正五角形でできている正多面体です。
正五角形の１つの内角は108°です。
面が３つ集まっても324°、これが正十二面体です。
面を４つ集めると360°を超えてしまうので、正五角形でできる正十二面体以外の正多面体はありません。

以上より、正多面体は５つ、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体だけしかないことがわかります。


面の数、辺の数、頂点の数

それぞれの正多面体は、いくつの面、何本の辺、何個の頂点からできているのでしょうか？

正四面体
面の数は、正「四」面体ですから当然４面です。
辺の数は底面に３本、その上に３本で計６本です。
頂点は底面に３個、それに頂点を加えて４個です。




正六面体
面の数は、さいころ形だから６面です。
辺の数は上の底面に４本、間に４本、下の底面に４本で計１２本です。
頂点は上と下の底面に４個ずつで８個です。



正八面体
面の数は８面。
辺の数は、上に４本、中の四角形に４本、下に４本で１２本。
頂点は上に１個、下に１個、中に４個で６個。




正十二面体
面の数は１２面です。

辺の数ですが、そろそろ数えるのがむずかしくなってきます。
計算で求める方法を考えてみましょう。

正十二面体の一つの面は正五角形です。だから辺の数は５本。
面が十二面あるから、5×12＝60本という式ができます。
ところが、１つの辺は２つの面の境目であり、１つの辺を２つの面で２回だぶって数えたことになります。だから、２でわって、60÷2＝30本。
これが、正十二面体の辺の本数です。

頂点も同じように、式で求めてみましょう。
正五角形だから、頂点の数は５個。面が１２あるから5×12＝60個。
ところが、１つの頂点に面が３つ集まっています。つまり、１つの頂点を３つの面で共有しています。３回だぶって数えたことになるから60÷3＝20個。
頂点の個数は２０個です。


正二十面体
面の数は２０面です。

辺の数を計算で求めます。
正三角形×２０面÷だぶって数えた２で、3×20÷2＝30本。

頂点の数も計算で求めます。
正三角形×２０面÷１つの頂点に５つの面が集まっているから５。
3×20÷5＝12個です。


オイラーの定理

１８世紀の数学者オイラーが発見した定理に、オイラーの多面体定理とよばれる定理があります。

すべての多面体（正多面体だけではありません）の面と辺と頂点の個数の間に、
面の数＋頂点の数－辺の数＝２
の式が成り立つ、これがオイラーの多面体定理です。



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math 平面と垂直な辺

どんなときに、平面と直線は垂直だといえるのでしょうか？













左の図のように、一つの方向から見たら平面Pと直線Lが垂直であるように見えたとしても、別の方向から見たら垂直ではないとき、「平面と直線は垂直である」とは言えません。

そこで、数学では、『平面Pと直線Lとの交点をOとするとき、点Oを通る平面上の２本の直線ｍ、ｎとLが垂直であれば、平面Pと直線Lは垂直である』とします。

左の図で、直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面Pなのです。

これは、空間図形ではとても重要な定理です。

やさしい問題では「直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面P」　をことさら意識しないで問題を解いても大丈夫ですが、レベルの高い問題だと、知識として知っておかないと解けないことがあります。


例題：図の直方体ABCD-EFGHについて、面ABCDと垂直な辺をすべていえ。

（解答）
長方形の辺だからAB⊥BF、BC⊥BF。
だから、面ABCD⊥BF。

同様に考えて、面ABCDと垂直な辺はCG、DH、AE。

答えは、辺BF、辺CG、辺DH、辺AEです。


ところで、この例題は小学校でも出てくる簡単な問題なのですが、「面ABCDと垂直であるのは辺AB、BC、CD、DAである」とまちがえる人がよくいます。

もう一度、図で面ABCDと垂直になっている辺を見てください。

これって、何かの形に似ていませんか？

私には、テーブルに見えます。

だから、面に垂直な辺をなかなか見つけられない人には、「テーブルの脚が、面に垂直な辺なんだよ」、「面をテーブルとしたとき、テーブルの脚にあたる辺が、面に垂直な辺なんだ」と、見つけ方を指示しています。


（補足）

重要事項の１：

空間の２直線の位置関係は、「平行」・「交わる」・「ねじれの位置」の３つです。
そして、「平行」と「交わる」のとき、２本の直線は同一平面上にあります。
「ねじれの位置」は、２つの直線が同一平面上にないとき、です。

「垂直」は、「交わる」の一種であり、特に直角に交わるときを「垂直」といいます。


重要事項の２：

「交わる」かどうか、「垂直」であるかどうかは、図で実際に交わっているかどうかだけで判断してはいけません。


左の図で、辺BEと面P、辺CFと平面Pは、見た目では交わっていませんが、数学では「垂直」です。

つまり、「交わる」、「垂直」のうちには、延長すると「交わる」もの、延長すると「垂直」に交わるものもふくみます。

問題を解くときによく見落とすので、注意が必要です。







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