math 見取り図と展開図の関係 （小学算数）

塾生にはいつも偉そうに教えていますが、私にも苦手な問題がいくつかあります。展開図の問題もその一つです。


例題１：左の立方体の見取り図の３つの面に書かれたA、B、Cのアルファベットを、下の展開図の正しい場所に、向きも考えて正しく書き入れなさい。










（解き方と解答）
見取り図の頂点に自分で記号をつけておくと、確信をもって正解にたどりつくことができます。

見取図に記号を書き込んだら、見取図を参考に、展開図のAが書かれた面に記号を記入していきます。
文字Aの上側がアエ、左がアイ、下がイウ、右がエウです。

次に、見取図のBの書かれている面の上の辺がイウであることを参考に、展開図のBの書かれているであろう面に記号を記入していきます。
このとき、文字Aの下がイウで、そのイウが文字Bの上であることと、見取図の文字Bの左がイカ、右がウキであることが参考になります。











最後に、見取図で記号イウが文字Bの上であることを確認して、展開図に文字Bを記入します。













同じように、見取図でCの書かれている面の上の部分がウエであることを手がかりに展開図上でCの面を見つけて、その面に記号ウキクエを書き込み、その記号を参考にCを記入します。










（２）も同じように、見取図に書き込んだ記号を参考に、展開図に記号を記入していくと、正解に到達できます。











例題２：図は立方体の見取図とその展開図です。辺ABの真ん中の点をM、辺BCの真ん中の点をNとし、3点M、N、Fを結ぶとき、この線を展開図に書き入れなさい。


展開図

















（解き方と解答）
やはり見取図を参考に、先に展開図にA〜Hの記号を記入してから考えます。
このとき使える技は、同じ面の向かい合う辺に注目することです。
まず、BCの向かい合う辺であるFGを記入します。

そうすると、CGと向かい合うDHを記入できます。

さらにそのDHの向かい合う辺であるAE、GHと向かい合う辺であるFE、そして最後にFEと向かい合う辺BAというふうに、見取図を見て同じ面の向かい合う辺に着目すると、すべての頂点に正確に記号を記入することができます。






















展開図にA〜Hの記号が記入できたら、問題に合わせて、ABの真ん中にM（２か所）、BCの真ん中にNを記入して準備完了です。


















見取図を参考に、MとN、MとF、NとFを結びます。






















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math 回転体の体積・表面積とパップス・ギュルダンの定理

今から2300年も前にエジプトのパップスが発見し、16世紀にギュルダンが再発見した、『パップス・ギュルダンの定理』といわれるものがあります。

回転体と、回転する図形の重心との間に成り立つ定理です。

回転体・・・平面図形を、同一平面上の一つの直線のまわりに1回転させたときにできる立体のこと。円柱、円錐、球などが代表的な回転体です。

重心・・・ある物体を1点で支えられるとき、その点を重心といいます。素朴に言うと、ある図形の真ん中が重心です。
点対称の図形では対称の中心が重心になります。
三角形の重心については、こちらを参照。


パップス・ギュルダンの定理とは

回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離

一例として、一辺を軸として長方形を回転させる場合をとりあげます。












円柱ができます。
この円柱の体積は、体積を求める公式
底面積×高さ
で、求めることができます。
2×2×π×5=20π
です。

パップス・ギュルダンの定理
回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離
を使うと、
回転する図形の面積は、長方形の面積である5×2=10であり、
重心の移動距離は、半径1cmの円周になりますから1×2×π=2πですから、
回転する図形の面積×重心の移動距離=10×2π=20π
ということになります。


パップス・ギュルダンの定理を使うと簡単に体積が求められる問題

例題１：図のような底辺2cm、高さ3cmの平行四辺形を、1つの頂点を通る直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。












左図の、円錐台から円錐をくりぬいた形ができます。

大きい円錐の体積を求めて、上の小さい円錐の体積と、くりぬいた円錐の体積をひいても求められますが、計算がやや煩雑です。
4×4×π×6×1/3-2×2×π×3×1/3-2×2×π×3×1/3
=32π-4π-4π
=24π




パップス・ギュルダンの定理をもちいると、簡単に答えが出ます。

平行四辺形の対角線の交点が重心です。

回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×3)×(2×2×π)
=24π




パップス・ギュルダンの定理を使わないと中学生には体積が求めらない問題

例題２：図のような半径2cmの円を、円周から2cmの距離にある直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。











左図のような、ドーナツ形（トーラスといいます）ができます。
小学生、中学生範囲では、体積を求めることはできません。

パップス・ギュルダンの定理を使うと求められます。

円の中心が重心です。

回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×2×π)×(4×2×π)
=4π×8π
=32π^2
（32π2乗）


パップス・ギュルダンの定理と表面積

パップス・ギュルダンの定理は、表面積にも応用することができます。

円柱の側面積を、パップス・ギュルダンの定理を使って求めてみましょう。

長さ4cmの線分を、2cm離れた直線を軸にして回転します。

線分には「長さ」しかありませんが、線分が回転したときの回転体の面積を、うすっぺらい図形が回転したときの「体積」だとみなします。





軸に平行な線分を回転させると、円柱の側面になります。

回転体の面積を、円柱の側面積だと考えると、
4×(2×2×π)
=16π
です。



パップス・ギュルダンの定理を応用すると、
回転する図形の面積は4cmの線分の長さの4、重心の移動距離は半径2cmの円周だということになります。

回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積ですが）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π
です。

このように、パップス・ギュルダンの定理は、表面積を求めるときにも使えることがわかります。


軸に斜めの線分が回転する場合を考えてみましょう。








底面の半径が4cmの円錐の側面積になります。
重心の、軸との距離は2cmです。

回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積です）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π


円錐の側面積は、母線×半径×πで求められますが（こちらを参照）、パップス・ギュルダンの定理を使って、同じ式を導くことができるわけです。




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math 円柱、内接する球、円錐の体積と表面積

円柱の側面積と、円柱に内接する球の表面積

円柱の側面積と、円柱に内接する球の表面積との間にはおもしろい関係が成り立っています。

底面の半径がｒcm、高さが２ｒcmの円柱に、半径ｒcmの球が内接しています。

球の表面積は、4πr^2です。

円柱の側面積はどうなるでしょうか。

円柱の側面の面積は、縦が２ｒcm、横が底面の円の周と等しいのでｒ×２×πの長方形の面積と等しくなります。
よって、円柱の側面積は2r×2πr=4πr^2です。

つまり、円柱の側面積と、その円柱の底面と側面に内接する球の表面積とは等しいということがわかります。



円柱と、円柱に内接する円錐と、円柱に内接する球の体積の関係

円柱と、円柱の底面と側面に内接する球と、円柱の上下の底面に内接する円錐の体積の間にもおもしろい関係が成り立っています。

円錐の体積は、底面積×高さ×１/３の公式より、r×r×π×2r×1/3=2/3πr^3です。

球の体積は、4/3πr^3です。

円柱の体積は、底面積×高さの公式より、r×r×π×2r=2πr^3です。

よって、円錐の体積：球の体積：円柱の体積の比は、
2/3πr^3：4/3πr^3：2πr^3
=2/3：4/3：2
=2：4：6
=1：2：3

円錐の体積：球の体積：円柱の体積＝１：２：３となっていることがわかります。




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math 正多面体（正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体）

平面だけで囲まれた立体を多面体といいます。
三角柱・三角錐・四角柱・四角錐・・・・などが多面体であり、円柱や円錐は平面と曲面で囲まれているので多面体ではありません。

多面体のうち、（１）どの面も合同な正多角形で、（２）どの頂点にも同じ数の面が集まり、（３）へこみのないものを正多面体といいます。

正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５つです。









正四面体
底面も側面も正三角形の正三角錐のことです。
1つの頂点に３個の正三角形が集まっています。





正六面体
底面も側面も正方形の正四角柱、立方体のことです。
１つの頂点に３個の正四角形（正方形）が集まっています。




正八面体
側面が正三角形の正四角錘を上下にくっつけた形です。
１つの頂点に４個の正三角形が集まっています。
図の赤線の部分は正方形です。




正十二面体
１つの頂点に３個の正五角形が集まっています。
サッカーボールに似た正多面体です。





正二十面体
１つの頂点に５個の正三角形が集まった正多面体です。
図の赤線の部分は正五角形です。






正多面体は５つしかない

正多面体は５つしかありません。
なぜでしょうか？

正多面体を構成している正多角形（正三角形・正方形・正五角形）の１つの内角の大きさと、１つの頂点に集まっている面の数を考えてみればわかります。

まず、正六角形でできた正多面体はありません。
正六角形の１つの内角の大きさは120°です。
１つの頂点には最低３つの面が集まらないと立体にはなりません。
正六角形を３つ集めると120×3＝360°
ちょうど１つの平面になってしまって、立体にはなりません。
だから、正六角形でできた正多面体はないとわかります。

正七角形以上のものの１つの内角は120°を超えてしまい、３つ集めると360°を超えてしまうので、へこんでしまいます。

以上より、正六角形以上の面で正多角形をつくることはできないことがわかります。


次に、正三角形で何種類の正多面体ができるかを考えてみましょう。
正三角形の１つの内角の大きさは60°です。

面が３つ集まっても180°、これが正四面体です。

面が４つ集まっても240°、これが正八面体です。

面が５つ集まっても300°、これが正二十面体です。

面が６つ集まったら360°になってしまい、立体にならないので、正三角形が６つ以上１つの頂点に集まる正多面体はありません。


次に正方形でできている正多面体を考えます。
正方形の１つの内角は90°です。
面が３つ集まっても270°、これが正六面体です。
面を４つ集めると360°になり、立体にならないので、正方形でできる正六面体以外の正多面体はありません。

最後に正五角形でできている正多面体です。
正五角形の１つの内角は108°です。
面が３つ集まっても324°、これが正十二面体です。
面を４つ集めると360°を超えてしまうので、正五角形でできる正十二面体以外の正多面体はありません。

以上より、正多面体は５つ、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体だけしかないことがわかります。


面の数、辺の数、頂点の数

それぞれの正多面体は、いくつの面、何本の辺、何個の頂点からできているのでしょうか？

正四面体
面の数は、正「四」面体ですから当然４面です。
辺の数は底面に３本、その上に３本で計６本です。
頂点は底面に３個、それに頂点を加えて４個です。




正六面体
面の数は、さいころ形だから６面です。
辺の数は上の底面に４本、間に４本、下の底面に４本で計１２本です。
頂点は上と下の底面に４個ずつで８個です。



正八面体
面の数は８面。
辺の数は、上に４本、中の四角形に４本、下に４本で１２本。
頂点は上に１個、下に１個、中に４個で６個。




正十二面体
面の数は１２面です。

辺の数ですが、そろそろ数えるのがむずかしくなってきます。
計算で求める方法を考えてみましょう。

正十二面体の一つの面は正五角形です。だから辺の数は５本。
面が十二面あるから、5×12＝60本という式ができます。
ところが、１つの辺は２つの面の境目であり、１つの辺を２つの面で２回だぶって数えたことになります。だから、２でわって、60÷2＝30本。
これが、正十二面体の辺の本数です。

頂点も同じように、式で求めてみましょう。
正五角形だから、頂点の数は５個。面が１２あるから5×12＝60個。
ところが、１つの頂点に面が３つ集まっています。つまり、１つの頂点を３つの面で共有しています。３回だぶって数えたことになるから60÷3＝20個。
頂点の個数は２０個です。


正二十面体
面の数は２０面です。

辺の数を計算で求めます。
正三角形×２０面÷だぶって数えた２で、3×20÷2＝30本。

頂点の数も計算で求めます。
正三角形×２０面÷１つの頂点に５つの面が集まっているから５。
3×20÷5＝12個です。


オイラーの定理

１８世紀の数学者オイラーが発見した定理に、オイラーの多面体定理とよばれる定理があります。

すべての多面体（正多面体だけではありません）の面と辺と頂点の個数の間に、
面の数＋頂点の数－辺の数＝２
の式が成り立つ、これがオイラーの多面体定理です。



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math 平面と垂直な辺

どんなときに、平面と直線は垂直だといえるのでしょうか？













左の図のように、一つの方向から見たら平面Pと直線Lが垂直であるように見えたとしても、別の方向から見たら垂直ではないとき、「平面と直線は垂直である」とは言えません。

そこで、数学では、『平面Pと直線Lとの交点をOとするとき、点Oを通る平面上の２本の直線ｍ、ｎとLが垂直であれば、平面Pと直線Lは垂直である』とします。

左の図で、直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面Pなのです。

これは、空間図形ではとても重要な定理です。

やさしい問題では「直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面P」　をことさら意識しないで問題を解いても大丈夫ですが、レベルの高い問題だと、知識として知っておかないと解けないことがあります。


例題：図の直方体ABCD-EFGHについて、面ABCDと垂直な辺をすべていえ。

（解答）
長方形の辺だからAB⊥BF、BC⊥BF。
だから、面ABCD⊥BF。

同様に考えて、面ABCDと垂直な辺はCG、DH、AE。

答えは、辺BF、辺CG、辺DH、辺AEです。


ところで、この例題は小学校でも出てくる簡単な問題なのですが、「面ABCDと垂直であるのは辺AB、BC、CD、DAである」とまちがえる人がよくいます。

もう一度、図で面ABCDと垂直になっている辺を見てください。

これって、何かの形に似ていませんか？

私には、テーブルに見えます。

だから、面に垂直な辺をなかなか見つけられない人には、「テーブルの脚が、面に垂直な辺なんだよ」、「面をテーブルとしたとき、テーブルの脚にあたる辺が、面に垂直な辺なんだ」と、見つけ方を指示しています。


（補足）

重要事項の１：

空間の２直線の位置関係は、「平行」・「交わる」・「ねじれの位置」の３つです。
そして、「平行」と「交わる」のとき、２本の直線は同一平面上にあります。
「ねじれの位置」は、２つの直線が同一平面上にないとき、です。

「垂直」は、「交わる」の一種であり、特に直角に交わるときを「垂直」といいます。


重要事項の２：

「交わる」かどうか、「垂直」であるかどうかは、図で実際に交わっているかどうかだけで判断してはいけません。


左の図で、辺BEと面P、辺CFと平面Pは、見た目では交わっていませんが、数学では「垂直」です。

つまり、「交わる」、「垂直」のうちには、延長すると「交わる」もの、延長すると「垂直」に交わるものもふくみます。

問題を解くときによく見落とすので、注意が必要です。







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math 積み重ねた立方体の表面積

数え間違いをしやすい問題の一つに、積み重ねた立方体の表面積を求める問題があります。

例題：
図は、１辺が２ｃｍの立方体を積み重ねたものである。
表面積を求めなさい。














（正確に求めるコツ）

立体（空間図形）の問題を考えるとき、役にたつ発想の一つが、『６つの方向から眺める』です。

最も基本的な立体は立方体です。

そして、さいころが６面でできているように、立方体は６つの面でできています。

だから、左の図のように、上と、下と、側面の４方向の、計６つの向きから眺めると、立体のすべての面を眺めることができます。

この考え方を用いて、例題１の積み重ねた立方体の、外に見えている正方形の面を、６つの方向から眺めて数えると、数え落としや重複をしないで、表に表れている面の個数を正確に見つけることができます。

では、例題１の積み重ねた図形の、表面に出ている面の数を数えていきましょう。

まず、上から眺めます。

上から見たとき、正方形の面が９個見えていることがわかります。

次に、ちょっと考えると、下から眺めたときも、同じ数の正方形の面があることがわかります。

上から見て９個、下から見て９個、この段階で正方形の面が１８個、見えています。・・・（１）








次に、左と右から、見えている正方形の面を数えてみましょう。

右から見たら、正方形の面が８個、見えていることがわかります。

さらに、上下と同様に、左から見たときの面の数も、右から見たときと同数の８個であることが、図からわかります。

以上より、左右から見える正方形の面の数は８×２＝１６個です。・・・（２）

最後に、手前からと向こう側からと、残った２方向から眺めて、正方形の面の個数を数えてみましょう。

手前から眺めて、見えている正方形の面の数は１０個です。

そして、これまでと同様に、向こう側からも見たときも同数の１０個、正方形を見ることができます。

この２つの方向から数えることができる正方形の面の数は、１０×２＝２０個です。・・・（３）







以上、（１）（２）（３）より、表に表れている正方形の面の数は、１８＋１６＋２０＝５４個。

これで、この図形の表面積を正確に求めることができます。

まず、１辺が２ｃｍの立方体を積み重ねたものであるから、１つの正方形の面の面積は２×２＝４平方ｃｍ。

その正方形の面が５４面、表に出ているわけだから、表面積は、４平方ｃｍ×５４面＝２１６平方ｃｍ。



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mathematics 立体の切断（高校入試に出る難しい問題）

立体の切断の問題はレベルの高い高校の入試問題としてよく出題されます。
解き方に慣れておく必要があります。


垂直な辺から底面と高さを見つけて解く問題

例題１：左の図は、ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍ、ＡＤ＝６ｃｍ、∠ＡＢＣ＝９０度の三角柱である。この立体を、３点Ｂ、Ｄ、Ｆを通る平面で切る。頂点Ａをふくむ立体の体積を求めよ。














（考え方）
切り取ったほうと残ったほうの両方をながめて、解きやすいほうを選ぶのが鉄則です。
この問題の場合、どう見ても三角錐Ｂ-ＤＥＦのほうが単純な立体なので、そちらの体積を最初に求め、全体からその体積をひくと求める立体の体積を求められます。

このとき、見かけに騙されて底面が△ＢＤＦの三角錐と思わないことです。

角錐の体積の公式は、底面積×高さ×１／３ですが、その裏の意味は、底面積と高さがわかる立体しか体積は求められないということです。
この問題の場合、まず△ＤＥＦを底面積と見ると底面積を一番求めやすくなります。
また、△ＤＥＦを底面積と見たら、ＢＥがこの三角錐の高さだということも出てきます。
ある辺と面が垂直であるといえるには、面上の２本の直線とその辺とが垂直だといえることが必要です。
この問題だと、側面が長方形なので、ＢＥ⊥ＤＥ、ＢＥ⊥ＥＦより、辺ＢＦは面ＤＥＦに対して垂直です。

以上の考察より、三角錐Ｂ-ＤＥＦの体積は、
底面積×高さ×１／３
＝△ＤＥＦの面積×高さＢＥ×１／３
＝４×４×１／２×６×１／３
＝１６

よって、求める頂点Ａをふくむ立体の体積は、
三角柱−三角錐
＝４×４×１／２×６−１６
＝４８−１６
＝３２


知っ得：角錐の体積の公式は、底面積×高さ×１／３だが、その裏の意味は、底面積と高さがわかる立体しか体積は求められない、ということ



角柱と角錐にして体積を求める問題

例題２：左の図は、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝８ｃｍ、ＡＤ＝４ｃｍ、∠ＡＢＣ＝９０度の三角柱で、点Ｍ、Ｎは辺ＡＣ、ＢCの中点である。この三角柱を、３点ＭＤＥを通る平面で切るとき、頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。










（考え方）
頂点Ａをふくむ立体の体積をこのままで直接求めることはできません。
そこで思い浮かべてほしいのが、「習ったものしか入試には出ない」という鉄則です。
（球を除くと、）中学生が習った体積の公式は、円柱と角柱と円錐と角錐だけです。
この問題では円柱、円錐は考慮しなくてよいので、結局、自分たちが体積を求めることができるのは角柱と角錐だけです。
だから、角柱と角錐に分けてみようと考えます。

そうすると、左の図のように区切ったら、体積を求めたい立体が三角柱と四角錐に分けられることに気づくことができます。
三角柱ＭＧＨ-ＮＢＥと四角錐Ｍ-ＡＤＨＧです。
区切るときの目安は、例題１と同様、高さにあたる辺を見つけられる切り方を考えることです。Ｍが頂点である四角錐と考えたら、ＭＧ⊥面ＡＤＨＧになってくれます。

三角柱ＭＧＨ-ＮＢＥの体積は底面積×高さ
＝△ＮＢＥ×高さＧＢ
＝４×４×１／２×３
＝２４

四角錐Ｍ-ＡＤＨＧの体積は底面積×高さ×１／３
＝底面ＡＤＨＧ×高さＭＧ×１／３
＝３×４×４×１／３
＝１６

よって、２４＋１６＝４０


知っ得：（球を除くと）角柱と角錐、円柱と円錐の体積しか求められない。



同じ種類の問題で、さらにやや複雑な問題をもう１問。

例題３：左の図は、底面の１辺が１２ｃｍ、高さが１０ｃｍの正四角錐である。点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈはそれぞれ辺ＯＡ、ＯＢ、ＢＣ、ＡＤの中点で、ＥＦ＝６ｃｍである。この四角錐を、４点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈを通る平面で切るとき、頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。









（考え方）例題２とまったく同様です。
（１）角柱と角錐しか体積は求められないから、角柱と角錐に分ける。
（２）高さが求められるかどうかを基準に立体を見つけていく。


（１）（２）を念頭において切断する方法を考えます。

角錐の頂点（その点に各辺が集まる）を真っ先に見つけるのがコツです。

この問題だと、点Ｅと点Ｆから底面に垂直に切り分けて、左の四角錐と真ん中の三角柱と右の四角錐に切り分けます（左の四角錐と右の四角錐は合同な立体です）。

左の四角錐の体積は、
底面積×高さ×１／３
＝底面ＨＡＩＬ×高さは四角錐０-ＡＢＣＤの半分×１／３
＝３×６×５×１／３
＝３０

真ん中の三角柱の体積は、
底面積△ＦＪＫ×高さの辺ＥＦ
＝６×５×１／２×６
＝９０

右の四角錐は左の四角錐と同じ体積で３０

以上より、求める立体の体積は３０＋９０＋３０＝１５０



延長して角錐の一部であることを見つて解く問題（相似の利用）

例題４：左の図は、１辺が６ｃｍの立方体で、点Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＡＢ、ＡＤの中点である。この立方体を４点Ｍ、Ｆ、Ｈ、Ｎを通る平面で切る。頂点Ａをふくむほうの立体の体積を求めよ。












（考え方）
この問題で、求めたい部分を直接切断するのは難しそうです。

視点をかえて、辺ＡＥ、ＭＦ、ＮＨを上に伸ばしたら、三角錐ができるのではないかと考えます。
三角錐Ｉ-ＥＦＨから、三角錐Ｉ-ＡＭＮをひいたらＡをふくむ立体の体積が求められます。

三角錐Ｉ-ＥＦＨの体積は、
底面積×高さ×１／３
＝底面△ＥＦＨ×高さＩＥ×１／３
＝６×６×１／２×１２×１／３
＝７２

三角錐Ｉ-ＡＭＮの体積は、
底面△ＡＭＮ×高さＩＡ×１／３
＝３×３×１／２×６×１／３
＝９

求める体積は７２−９＝６３