今から2300年も前にエジプトのパップスが発見し、16世紀にギュルダンが再発見した、『パップス・ギュルダンの定理』といわれるものがあります。
回転体と、回転する図形の重心との間に成り立つ定理です。
回転体・・・平面図形を、同一平面上の一つの直線のまわりに1回転させたときにできる立体のこと。円柱、円錐、球などが代表的な回転体です。
重心・・・ある物体を1点で支えられるとき、その点を重心といいます。素朴に言うと、ある図形の真ん中が重心です。
点対称の図形では対称の中心が重心になります。
三角形の重心については、こちらを参照。
パップス・ギュルダンの定理とは
回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離
一例として、一辺を軸として長方形を回転させる場合をとりあげます。
円柱ができます。
この円柱の体積は、体積を求める公式
底面積×高さ
で、求めることができます。
2×2×π×5=20π
です。
パップス・ギュルダンの定理
回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離
を使うと、
回転する図形の面積は、長方形の面積である5×2=10であり、
重心の移動距離は、半径1cmの円周になりますから1×2×π=2πですから、
回転する図形の面積×重心の移動距離=10×2π=20π
ということになります。
パップス・ギュルダンの定理を使うと簡単に体積が求められる問題
例題１：図のような底辺2cm、高さ3cmの平行四辺形を、1つの頂点を通る直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。
左図の、円錐台から円錐をくりぬいた形ができます。
大きい円錐の体積を求めて、上の小さい円錐の体積と、くりぬいた円錐の体積をひいても求められますが、計算がやや煩雑です。
4×4×π×6×1/3-2×2×π×3×1/3-2×2×π×3×1/3
=32π-4π-4π
=24π
パップス・ギュルダンの定理をもちいると、簡単に答えが出ます。
平行四辺形の対角線の交点が重心です。
回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×3)×(2×2×π)
=24π
パップス・ギュルダンの定理を使わないと中学生には体積が求めらない問題
例題２：図のような半径2cmの円を、円周から2cmの距離にある直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。
左図のような、ドーナツ形（トーラスといいます）ができます。
小学生、中学生範囲では、体積を求めることはできません。
パップス・ギュルダンの定理を使うと求められます。
円の中心が重心です。
回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×2×π)×(4×2×π)
=4π×8π
=32π^2
（32π2乗）
パップス・ギュルダンの定理と表面積
パップス・ギュルダンの定理は、表面積にも応用することができます。
円柱の側面積を、パップス・ギュルダンの定理を使って求めてみましょう。
長さ4cmの線分を、2cm離れた直線を軸にして回転します。
線分には「長さ」しかありませんが、線分が回転したときの回転体の面積を、うすっぺらい図形が回転したときの「体積」だとみなします。
軸に平行な線分を回転させると、円柱の側面になります。
回転体の面積を、円柱の側面積だと考えると、
4×(2×2×π)
=16π
です。
パップス・ギュルダンの定理を応用すると、
回転する図形の面積は4cmの線分の長さの4、重心の移動距離は半径2cmの円周だということになります。
回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積ですが）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π
です。
このように、パップス・ギュルダンの定理は、表面積を求めるときにも使えることがわかります。
軸に斜めの線分が回転する場合を考えてみましょう。
底面の半径が4cmの円錐の側面積になります。
重心の、軸との距離は2cmです。
回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積です）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π
円錐の側面積は、母線×半径×πで求められますが（こちらを参照）、パップス・ギュルダンの定理を使って、同じ式を導くことができるわけです。
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回転体と、回転する図形の重心との間に成り立つ定理です。
回転体・・・平面図形を、同一平面上の一つの直線のまわりに1回転させたときにできる立体のこと。円柱、円錐、球などが代表的な回転体です。
重心・・・ある物体を1点で支えられるとき、その点を重心といいます。素朴に言うと、ある図形の真ん中が重心です。
点対称の図形では対称の中心が重心になります。
三角形の重心については、こちらを参照。
パップス・ギュルダンの定理とは
回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離
一例として、一辺を軸として長方形を回転させる場合をとりあげます。
円柱ができます。
この円柱の体積は、体積を求める公式底面積×高さ
で、求めることができます。
2×2×π×5=20π
です。
パップス・ギュルダンの定理
回転体の体積=回転する図形の面積×重心の移動距離
を使うと、
回転する図形の面積は、長方形の面積である5×2=10であり、
重心の移動距離は、半径1cmの円周になりますから1×2×π=2πですから、
回転する図形の面積×重心の移動距離=10×2π=20π
ということになります。
パップス・ギュルダンの定理を使うと簡単に体積が求められる問題
例題１：図のような底辺2cm、高さ3cmの平行四辺形を、1つの頂点を通る直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。
左図の、円錐台から円錐をくりぬいた形ができます。大きい円錐の体積を求めて、上の小さい円錐の体積と、くりぬいた円錐の体積をひいても求められますが、計算がやや煩雑です。
4×4×π×6×1/3-2×2×π×3×1/3-2×2×π×3×1/3
=32π-4π-4π
=24π
パップス・ギュルダンの定理をもちいると、簡単に答えが出ます。平行四辺形の対角線の交点が重心です。
回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×3)×(2×2×π)
=24π
パップス・ギュルダンの定理を使わないと中学生には体積が求めらない問題
例題２：図のような半径2cmの円を、円周から2cmの距離にある直線のまわりに回転させたとき、できる図形の体積を求めよ。
左図のような、ドーナツ形（トーラスといいます）ができます。
小学生、中学生範囲では、体積を求めることはできません。パップス・ギュルダンの定理を使うと求められます。
円の中心が重心です。
回転体の体積
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=(2×2×π)×(4×2×π)
=4π×8π
=32π^2
（32π2乗）
パップス・ギュルダンの定理と表面積
パップス・ギュルダンの定理は、表面積にも応用することができます。
円柱の側面積を、パップス・ギュルダンの定理を使って求めてみましょう。
長さ4cmの線分を、2cm離れた直線を軸にして回転します。線分には「長さ」しかありませんが、線分が回転したときの回転体の面積を、うすっぺらい図形が回転したときの「体積」だとみなします。
軸に平行な線分を回転させると、円柱の側面になります。回転体の面積を、円柱の側面積だと考えると、
4×(2×2×π)
=16π
です。
パップス・ギュルダンの定理を応用すると、
回転する図形の面積は4cmの線分の長さの4、重心の移動距離は半径2cmの円周だということになります。
回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積ですが）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π
です。
このように、パップス・ギュルダンの定理は、表面積を求めるときにも使えることがわかります。
軸に斜めの線分が回転する場合を考えてみましょう。
底面の半径が4cmの円錐の側面積になります。重心の、軸との距離は2cmです。
回転体の体積（この場合は、線分が回転したときの面積です）
=回転する図形の面積×重心の移動距離
=4×(2×2×π)
=16π
円錐の側面積は、母線×半径×πで求められますが（こちらを参照）、パップス・ギュルダンの定理を使って、同じ式を導くことができるわけです。
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