働きアリ

勉強をしている子どもたちが、悩み、知りたい、理解したいと思いながら、今までは調べる方法がなかった事柄を、必要かつ十分な説明でわかりやすく記述したサイトです

規則性

mathematics 気づきにくい規則性(大阪府公立・20年前期理数科)

大阪府公立高校入試、難しい理数科の入試問題のうち、ここで取り上げるのは平成20年度1番の(7)です。

1番は計算問題をふくむ小問8問で構成されています。
受験生からすると1番はさっさと全問片づけて2番以降の大問にとりかかりたいところですが、最難関の理数科、そうはさせてくれません。


1(7):nを自然数とするとき、√aの値がnより大きくn+2より小さくなるような自然数aは何個ありますか。nを用いて表しなさい。


一見、平方根の大きさを比べる問題かと思ってしまいます。

しかし、大小を比較するのに2乗して調べようと思ってもうまくいきません。
それに、「nを用いて表しなさい」とあることからも2乗するだけでは解けそうもない。

「nを用いて表しなさい」がヒントですね。
どうやら、nが1のとき、nが2のとき、・・・と規則を見つけるのではないかと見当をつけます。

はやく解きたいとはやる気持ちを抑えて、n=1のときから試しに書き出してみます。

n=1のとき
1<√a<3
両辺を2乗して1<a<9
aは8−1=7個

n=2のとき
2<√a<4
2乗すると
4<a<16
aは15−4=11個

n=3のとき
3<√a<5
2乗して
9<a<25
24−9=15個

ここで、「やった!規則を見つけたぞ!」とわかります。
どうやらnが1増えるごとに個数が4ずつ増える数列らしい。

規則が見つかったら、もう1つだけ試してみて確認します。

n=4のとき
4<√a<6
2乗して
16<a<36
35−16=19個

ビンゴ!でした。

ここまでのコツをまとめておきましょう。

(1)番目、番目、番目までで規則を見つける

(2)番目で規則が成り立っていることを確認する。


次に、「nを用いて表しなさい。」とあるので、落ち着いて式を見つけます。

最初が7で、4ずつ増える数列です。

そして、2番目が7+4×1、3番目が7+4×2、・・・のきまりを見つけて、いわゆる植木算の考え方、4の増える回数はn番目だとnより1少ないことを確認して式にします。

n番目は7+4×(n−1)です。

答えは、7+4×(n−1)=7+4n−4となり、4n+3です。


公立の入試によく出るので最後に暗記。

同じ数ずつ増える数列を求める式=最初の数増える数×(n−1)



余談:差が2である2つの整数を使ってこんな問題をつくってしまう大阪府の入試問題作成委員の先生って、偉いですね。



(U先生の別解)

条件(仮定)より,n<√a<n+2
各辺いずれも正の数なので,nの2乗<a<(n+2)の2乗
つまり,aはnの2乗と(n+2)の2乗との間にある自然数なので,
その個数は,(n+2)の2乗−nの2乗−1=4n+3

※馬鹿正直に解く方法です。この解法だと,式の最後の“−1”に気づけるかどうかがポイントだと思います。


この解き方のほうが正統ですね。

mathematics 数列や規則性の問題(2) 私立高校の入試問題

数列や規則性の問題を解くときの基本を踏まえて、次に私立高校の入試問題を解いてみましょう。


例題1:3の2010乗を5でわった余りを求めなさい。


(規則を見つける)
規則が見つかるまで、愚直に書き出してみます。
3の1乗=3(1の位は3)
3の2乗=9(1の位は9)
3の3乗=27(1の位は7)
3の4乗=81(1の位は1)
3の5乗=243(1の位は3)
3の6乗=729(1の位は9)

このあたりで、1の位が3、9、7、1、3、9、7、1・・・の規則で、4こずつのグループとして出現することがわかります。

(解く)
4こずつのグループが2010までに何個あるかを求めます。
2010÷4=502あまり2

3、9、7、1が502組あったあとの2番目なので、1の位の数字は3、9、7、1の2番目である9です。
1の位が9である数を5でわったあまりだから9÷5=1あまり4

答えは4です。


例題2:2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べてできる数列

1、5、7、11、13、17、19、・・・

について、次の問いに答えよ。


(1)103は何番目に現れるか、求めよ。
(2)数列の2010番目の数を求めよ。



(規則を見つける)
問題文中の、「2の倍数でも3の倍数でもない」の文言に必ず意味があるはずです。
そして、1、5は4増えて、次の5、7は2増えて、次の7、11は4増え、11、13は2増えと、2つずつ規則性をもって増えていることがわかります。

以上の2つの観点から考察して、2と3の公倍数の6でわったときのあまりが、1のものと5のものが交互に並んでいると見つけます。

(問い(1)を解く)
103を6でわると、103÷6=17あまり1。

103は6でわると1余る数が17個あった後の次の数です。

2つずつの組が17個あった後の次の数だから、2×17+1=35。

答えは35番目です。

(問い(2)を解く)
2010÷2=1005だから、2010番目の数は、2つずつの組の1005番目のうしろのほうの数です。

n番目の組のうしろの数字は、最初が5で、6ずつ(n−1)回増えた数字だから、
5+6(1005−1)
=6029

mathematics 数列や規則性の問題(1) 基礎・基本

私立高校入試がせまってきたこの時期、毎日、中3生が自分ではうまく解けなかった問題を質問にきます。
数学の質問で多いのが、中学校の単元としては習わない、整数や規則性の問題です。

入試問題を解く前に、まず知っておくべき数列や規則性の問題の基礎・基本をまとめておきましょう。


n番目の数を求める問題

例題1:1、4、7、10、13、・・・と、あるきまりをもって並んだ数の100番目の数は何ですか。

3ずつ増えているという「きまり」は簡単に見つかります(高校数学では等差数列といいます)。
そこから出発します。

(解き方1)
植木算(間(あいだ)が1少ない)の考え方で求める方法

数と数の間が3ずつ増えていきます。
そして100番目の数までに、数と数の間の個数は100より1つ少ない99個あるはずです。
最初の数が1で、それから3ずつ100−1=99個増えているので、1+3×99=298で求められます。

公式化すると、最初の数+増加量×(n−1)


(解き方2)
1次関数の考え方を利用して式を見つける方法

決まった割合で増加しているところが1次関数と同じです。
3ずつ増加しているので(変化の割合が3と考えて)、x番目の数をyとすると、y=3x+bの1次関数と考えてもよいということです。

bの見つけ方ですが、簡便な方法はx=1番目のときの値がy=1なので、1=3×1−2から、b=2と見つけます。

または、1次関数ではx=0のときのyの値がbだから、x=1のときのy=1から3ずつ増えている数列なので、x=0のときは逆に3をひいて−2と求めることもできます。

規則性1



要するに、3ずつ増えている数列はのn番目は3n+〜の形になると知っておいて、〜に当たる数が何かを見つければよいのです。
(整数の問題はxのかわりにnを用いて、n番目の数を表す式は3n−2であるとするのが一般的です。)

結局100番目の数は、3n−2の式でn=100のとき、3×100−2=298です。


例題1に関係する問題として、次の問題があります。

数列の和を求める問題

例題2:1+3+5+・・・+15+17+19を計算しなさい。


(解き方)
最初の1と最後の19の和は20、2番目の3と最後から2番目の17の和も20、5と15の和も20・・・となっていることに着目して求めます。

和が20になる組が何組あるかを次に見つけなければなりません。

ここで、例題1で理解した、n番目の数を表す式を活用するべきです。

この数列は、最初が1で、2ずつ増えていく数列です。
公式、最初の数+増加量×(n−1)より、n番目の数は1+2(n−1)
それが19になっているので方程式にして、
1+2(n−1)=19
1+2n−2=19
2n=20
n=10

19が10番目の数だということがわかります。

ということは、2つずつでセットの、和が20の組が10÷2=5セットあるはずなので、1+・・・+19の計算の答えは20×5=100だとわかります。


1段階だけむずかしくすると、次の問題になります。

例題3:1+3+5+・・・+49+51+53を計算しなさい。

(解き方)
1+53=54、3+51=54、5+49=54だから、2つの和が54になる組が何組あるかを見つけます。

先に、n番目の数を表す式を求めておきます。
最初が1で、2ずつ増加する数列だから、公式「最初の数+増加量×(n−1)より、n番目の数は、1+2(n−1)。
1+2(n−1)=53だから、この方程式を解いて、n=27
53は27番目の数です。

27番目で、2で割り切れません。
27÷2=13あまり1。
和が54になる組が13組あって、ちょうど真ん中の数だけ、相棒がなくて組になれない単独の数が残るということです。

27÷2=13あまり1なので、この単独の数は13番目の次、つまり14番目の数です。
もう一度、1+2(n−1)の式を活用して、14番目の数字は1+2(14−1)=1+26=27。

以上より、1+・・・+53の和は、54×13組+27=729です。


繰り返しの周期を求める問題

例題4:分数の5/7を小数で表すとき、小数第40位の数字を求めなさい。

(解き方)
必ず何かの規則が見つかるはずなので、実際に5÷7の筆算をしてみます。
5÷7=0.71428571・・
小数第7位から、その前の桁までの714285の繰り返しが始まることがわかります。

714285の桁数は6、つまり6桁ごとに繰り返されることがわかります。

小数第40位をたずねる問題なので、6桁ごとの繰り返しが何回あるかを計算すると、40÷6=6あまり4
小数第40位の数は、714285が6回繰り返されたあとの、714285の4番目です。
以上より、答えは2。


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