mathematics 気づきにくい規則性（大阪府公立・２０年前期理数科）

大阪府公立高校入試、難しい理数科の入試問題のうち、ここで取り上げるのは平成２０年度１番の（７）です。

１番は計算問題をふくむ小問８問で構成されています。
受験生からすると１番はさっさと全問片づけて２番以降の大問にとりかかりたいところですが、最難関の理数科、そうはさせてくれません。


１（７）：ｎを自然数とするとき、√ａの値がｎより大きくｎ＋２より小さくなるような自然数ａは何個ありますか。ｎを用いて表しなさい。


一見、平方根の大きさを比べる問題かと思ってしまいます。

しかし、大小を比較するのに２乗して調べようと思ってもうまくいきません。
それに、「ｎを用いて表しなさい」とあることからも２乗するだけでは解けそうもない。

「ｎを用いて表しなさい」がヒントですね。
どうやら、ｎが１のとき、ｎが２のとき、・・・と規則を見つけるのではないかと見当をつけます。

はやく解きたいとはやる気持ちを抑えて、ｎ＝１のときから試しに書き出してみます。

ｎ＝１のとき
１<√ａ<３
両辺を２乗して１<ａ<９
ａは８−１＝７個

ｎ＝２のとき
２<√ａ<４
２乗すると
４<ａ<１６
ａは１５−４＝１１個

ｎ＝３のとき
３<√ａ<５
２乗して
９<ａ<２５
２４−９＝１５個

ここで、「やった！規則を見つけたぞ！」とわかります。
どうやらｎが１増えるごとに個数が４ずつ増える数列らしい。

規則が見つかったら、もう１つだけ試してみて確認します。

ｎ＝４のとき
４<√ａ<６
２乗して
１６<ａ<３６
３５−１６＝１９個

ビンゴ！でした。

ここまでのコツをまとめておきましょう。

（１）１番目、２番目、３番目までで規則を見つける。

（２）４番目で規則が成り立っていることを確認する。


次に、「ｎを用いて表しなさい。」とあるので、落ち着いて式を見つけます。

最初が７で、４ずつ増える数列です。

そして、２番目が７＋４×１、３番目が７＋４×２、・・・のきまりを見つけて、いわゆる植木算の考え方、４の増える回数はｎ番目だとｎより１少ないことを確認して式にします。

ｎ番目は７＋４×（ｎ−１）です。

答えは、７＋４×（ｎ−１）＝７＋４ｎ−４となり、４ｎ＋３です。


公立の入試によく出るので最後に暗記。

同じ数ずつ増える数列を求める式＝最初の数＋増える数×（ｎ−１）



余談：差が２である２つの整数を使ってこんな問題をつくってしまう大阪府の入試問題作成委員の先生って、偉いですね。



（Ｕ先生の別解）

条件(仮定)より，n＜√a＜n＋2
各辺いずれも正の数なので，nの2乗＜a＜(n＋2)の2乗
つまり，aはnの2乗と(n＋2)の2乗との間にある自然数なので，
その個数は，(n＋2)の2乗−nの2乗−1＝4n＋3

※馬鹿正直に解く方法です。この解法だと，式の最後の“−1”に気づけるかどうかがポイントだと思います。

この解き方のほうが正統ですね。

mathematics 数列や規則性の問題（２） 私立高校の入試問題

数列や規則性の問題を解くときの基本を踏まえて、次に私立高校の入試問題を解いてみましょう。


例題１：３の２０１０乗を５でわった余りを求めなさい。


（規則を見つける）
規則が見つかるまで、愚直に書き出してみます。
３の１乗＝３（１の位は３）
３の２乗＝９（１の位は９）
３の３乗＝２７（１の位は７）
３の４乗＝８１（１の位は１）
３の５乗＝２４３（１の位は３）
３の６乗＝７２９（１の位は９）

このあたりで、１の位が３、９、７、１、３、９、７、１・・・の規則で、４こずつのグループとして出現することがわかります。

（解く）
４こずつのグループが２０１０までに何個あるかを求めます。
２０１０÷４＝５０２あまり２

３、９、７、１が５０２組あったあとの２番目なので、１の位の数字は３、９、７、１の２番目である９です。
１の位が９である数を５でわったあまりだから９÷５＝１あまり４

答えは４です。


例題２：２の倍数でも３の倍数でもない自然数を小さい順に並べてできる数列

１、５、７、１１、１３、１７、１９、・・・

について、次の問いに答えよ。

（１）１０３は何番目に現れるか、求めよ。
（２）数列の２０１０番目の数を求めよ。


（規則を見つける）
問題文中の、「２の倍数でも３の倍数でもない」の文言に必ず意味があるはずです。
そして、１、５は４増えて、次の５、７は２増えて、次の７、１１は４増え、１１、１３は２増えと、２つずつ規則性をもって増えていることがわかります。

以上の２つの観点から考察して、２と３の公倍数の６でわったときのあまりが、１のものと５のものが交互に並んでいると見つけます。

（問い（１）を解く）
１０３を６でわると、１０３÷６＝１７あまり１。

１０３は６でわると１余る数が１７個あった後の次の数です。

２つずつの組が１７個あった後の次の数だから、２×１７＋１＝３５。

答えは３５番目です。

（問い（２）を解く）
２０１０÷２＝１００５だから、２０１０番目の数は、２つずつの組の１００５番目のうしろのほうの数です。

ｎ番目の組のうしろの数字は、最初が５で、６ずつ（ｎ−１）回増えた数字だから、
５＋６（１００５−１）
＝６０２９

mathematics 数列や規則性の問題（１） 基礎・基本

私立高校入試がせまってきたこの時期、毎日、中３生が自分ではうまく解けなかった問題を質問にきます。
数学の質問で多いのが、中学校の単元としては習わない、整数や規則性の問題です。

入試問題を解く前に、まず知っておくべき数列や規則性の問題の基礎・基本をまとめておきましょう。


ｎ番目の数を求める問題

例題１：１、４、７、１０、１３、・・・と、あるきまりをもって並んだ数の１００番目の数は何ですか。

３ずつ増えているという「きまり」は簡単に見つかります（高校数学では等差数列といいます）。
そこから出発します。

（解き方１）
植木算（間（あいだ）が１少ない）の考え方で求める方法

数と数の間が３ずつ増えていきます。
そして１００番目の数までに、数と数の間の個数は１００より１つ少ない９９個あるはずです。
最初の数が１で、それから３ずつ１００−１＝９９個増えているので、１＋３×９９＝２９８で求められます。

公式化すると、最初の数＋増加量×（ｎ−１）


（解き方２）
１次関数の考え方を利用して式を見つける方法

決まった割合で増加しているところが１次関数と同じです。
３ずつ増加しているので（変化の割合が３と考えて）、ｘ番目の数をｙとすると、ｙ＝３ｘ＋ｂの１次関数と考えてもよいということです。

ｂの見つけ方ですが、簡便な方法はｘ＝１番目のときの値がｙ＝１なので、１＝３×１−２から、ｂ＝２と見つけます。

または、１次関数ではｘ＝０のときのｙの値がｂだから、ｘ＝１のときのｙ＝１から３ずつ増えている数列なので、ｘ＝０のときは逆に３をひいて−２と求めることもできます。





要するに、３ずつ増えている数列はのｎ番目は３ｎ＋〜の形になると知っておいて、〜に当たる数が何かを見つければよいのです。
（整数の問題はｘのかわりにｎを用いて、ｎ番目の数を表す式は３ｎ−２であるとするのが一般的です。）

結局１００番目の数は、３ｎ−２の式でｎ＝１００のとき、３×１００−２＝２９８です。


例題１に関係する問題として、次の問題があります。

数列の和を求める問題

例題２：１＋３＋５＋・・・＋１５＋１７＋１９を計算しなさい。


（解き方）
最初の１と最後の１９の和は２０、２番目の３と最後から２番目の１７の和も２０、５と１５の和も２０・・・となっていることに着目して求めます。

和が２０になる組が何組あるかを次に見つけなければなりません。

ここで、例題１で理解した、ｎ番目の数を表す式を活用するべきです。

この数列は、最初が１で、２ずつ増えていく数列です。
公式、最初の数＋増加量×（ｎ−１）より、ｎ番目の数は１＋２（ｎ−１）
それが１９になっているので方程式にして、
１＋２（ｎ−１）＝１９
１＋２ｎ−２＝１９
２ｎ＝２０
ｎ＝１０

１９が１０番目の数だということがわかります。

ということは、２つずつでセットの、和が２０の組が１０÷２＝５セットあるはずなので、１＋・・・＋１９の計算の答えは２０×５＝１００だとわかります。


１段階だけむずかしくすると、次の問題になります。

例題３：１＋３＋５＋・・・＋４９＋５１＋５３を計算しなさい。

（解き方）
１＋５３＝５４、３＋５１＝５４、５＋４９＝５４だから、２つの和が５４になる組が何組あるかを見つけます。

先に、ｎ番目の数を表す式を求めておきます。
最初が１で、２ずつ増加する数列だから、公式「最初の数＋増加量×（ｎ−１）より、ｎ番目の数は、１＋２（ｎ−１）。
１＋２（ｎ−１）＝５３だから、この方程式を解いて、ｎ＝２７
５３は２７番目の数です。

２７番目で、２で割り切れません。
２７÷２＝１３あまり１。
和が５４になる組が１３組あって、ちょうど真ん中の数だけ、相棒がなくて組になれない単独の数が残るということです。

２７÷２＝１３あまり１なので、この単独の数は１３番目の次、つまり14番目の数です。
もう一度、１＋２（ｎ−１）の式を活用して、１４番目の数字は１＋２（１４−１）＝１＋２６＝２７。

以上より、１＋・・・＋５３の和は、５４×１３組＋２７＝７２９です。


繰り返しの周期を求める問題

例題４：分数の５／７を小数で表すとき、小数第４０位の数字を求めなさい。

（解き方）
必ず何かの規則が見つかるはずなので、実際に５÷７の筆算をしてみます。
５÷７＝０.７１４２８５７１・・
小数第７位から、その前の桁までの７１４２８５の繰り返しが始まることがわかります。

７１４２８５の桁数は６、つまり６桁ごとに繰り返されることがわかります。

小数第４０位をたずねる問題なので、６桁ごとの繰り返しが何回あるかを計算すると、４０÷６＝６あまり４
小数第４０位の数は、７１４２８５が６回繰り返されたあとの、７１４２８５の４番目です。
以上より、答えは２。