math わる数は分数の下（分母）に（「なぜ、そうなるのか」の大切さ）

中1の一次方程式、次の計算の、どこがまちがいかすぐに指摘できますか？










方程式の計算ミスで最も多いのがこのまちがいです。

2÷3は？と聞くと、2/3と答えます。
ところが方程式だと、同じ人が3/2とやってしまう。


まちがえる人の思考回路


5x+2=2x+4・・・xは左辺に、数字は右辺に
5x-2x=4-2・・・両辺をそれぞれ計算して
3x=2・・・最後はわり算
x=3/2・・・わりきれないときは分数


「文字の項は左辺に、数字だけの項は右辺に」、「それぞれの辺を計算して」、「最後はわる」、「わりきれないときは分数に」の、『しなければならないこと』、『このときはこうするという指示』だけは身についているわけです。

不足しているのは、『なぜ、そうなるのか』です。

3x=2だと、最後は2÷3だから2/3になる、その「2÷3だから」が、意識できていないのです。


指導の仕方で悩む

方程式の計算問題だけではありません。

勉強はしているのにテストの点数が伸びない人の共通点は、『このときはこうするという指示』は覚えているのに、『なぜ、そうなるのか』を意識できていない、に尽きます。

この、『なぜ、そうなるのか』を常に意識できる段階にまで成長してもらうのが一番むずかしい。

『なぜ、そうなるのか』にこだわる授業は、面白くないし、すぐに効果が出てくるようなものではありません。

「2÷3だから2/3」と教えるより、「最後、分数になるときは左の数字が右に移って分数の下！」と指示するほうが、子どもたちは聞く耳を持ちますし、まずは「有効」なのです。


「成長する」、「大人になる」ということ

中１の一次方程式の解き方は1つです。
中2の連立方程式になると加減法・代入法と解き方が2種類になって、どちらを選ぶかを選択する必要がでてきます。
中3の二次方程式だと、因数分解・平方完成・解の公式とさらに解き方が複雑に増えて、解く人は問題に応じて最適な解き方を選ばないといけません。

成長する、大人になるということは、複雑な現実を分析できて、その複雑な現実から最適な解を選べるようになるということです。

『このときはこうするという指示』を覚えるのが勉強だと思っている人、『なぜそうなるのか』を考えることをウザイと感じてしまう人は、成長できません。

そこを子どもたちにわかってもらうのがむずかしい。



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math マイナス（−）は大きくはっきりと（計算まちがいをなくすコツ）

中学生の計算まちがいのほとんどは符号のミスです。

そして、符号まちがいをする人のほぼ共通する特徴は、−（マイナス）を薄く、小さく書くことです。


まず、ミスをする原因を知る

自分の欠点を知った人、ミスをする理由がわかった人だけが、欠点をなおすことができます。

まず、−（マイナス）を薄く小さく書く人は、自分がよくミスをする原因が何かをわかっていません。
だから、同じような符号まちがいを何度もしてしまいます。

教える者は、ミスの多い人の失敗の原因が符号まちがいであることを指摘してあげることが必要です。


次に、ミスをなおす具体策を徹底する

ミスをするな、符号まちがいをしないように注意しなさい、というだけではミスはなくなりません。
誰も、ミスをしたくてしているわけではないのです。

符号まちがいをなくそうと思えば、マイナスを大きく、濃く書く癖をつけることです。

−（マイナス）を薄く小さく書く人は、薄く小さく書くから、符号を意識できません（いわゆる、「考えないで計算をしている」状態です）。

マイナスを濃く大きく書く癖さえつけば、マイナスを濃く大きく書くたびに符号を（符号が正しいかどうかを）意識できますから、必然的に計算まちがいは激減します。


実際には、すぐに符号を濃く、大きく書けるようにはなりません。
一度ついた悪い癖はなかなか治りません。

教える者は、正しい癖がつくまで、あきらめないで辛抱強く指摘してあげることが必要です。

私の経験では、−（マイナス）を濃く大きく書くようになった人は、1人の例外なく符号まちがいをしないようになります。




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math 超簡単 ２次方程式を平方完成で解く

２次方程式の解き方は２種類に分類できます。

１つは、平方根を見つけて解く方法。

もう１つは、かけて０になる２つの数のどちらかは０であることを利用する方法（因数分解を利用する解き方はこちらに入ります）。

ここでとりあげるのは、前者の、平方根を見つけて解く解き方のほうです。


２次方程式が解けるわけ

ある数の２乗がａであれば、その数自身はａの平方根の＋√ａか−√ａです。





この考え方を使って、すべての２次方程式を解くことができます。

例題１：
次の方程式を解け。
ｘ＾2−２０＝０


…ある数の２乗＝ａの形をつくりたいので２０を右辺に移項する

…ある数の２乗が２０だから、ある数は２０の平方根の±√２０

…√２０を２√５にして、解は±２√５


例題２：
次の方程式を解け。
（ｘ−１０）＾2−２０＝０


…（ある数）の２乗＝ａの形をつくりたいので２０を右辺に移項する

…（ある数）の２乗が２０だから、（ある数）は２０の平方根の±√２０
…√２０ を２√５にする
…１０を右辺に移項して、解は１０±２√５



この問題のように、左辺に（ある数）の２乗があれば、（ある数）の平方根を求めることで２次方程式を解くことができます。

上の２問は、あらかじめ（ある数）の２乗が左辺にあるので、わりと簡単に解くことができました。

さらに、自分で２乗を左辺につくることができたら、すべての２次方程式を平方根を求めることで解くことができます。

この解き方のことを、左辺に２乗（＝平方）をつくって（＝完成させて）解くので、『平方完成』といいます。

平方完成の仕方は、ちょっとだけコツがいるので苦手な人が多いようです。


平方完成のやり方


平方完成の目標は、左辺に２乗（平方）をつくる（完成）ことです。

そして、２乗をつくるための公式は、






だから、左辺にｘ＾2＋２ａｘ＋ａ＾2をつくることができたら、（ａ＋ａ）＾2の形にすることができるということになります。

そして、目をつける場所は、ｘ＾2＋２ａｘ＋ａ＾2の２番目の項である、２ａｘのところです。
２ａの半分の、ａを見つけ、そのａの２乗をうしろにつける、これで（ｘ＋ａ）＾2の形にすることができます。



例題３：
次の方程式を解け。
ｘ＾2＋６ｘ＝−８

左辺の２番目の項は６ｘです。
これが、２ａｘにあたります。

「２ａ の半分の、ａを見つけ、そのａの２乗をうしろにつける」

２ａが６ですから、半分のａは３。
その２乗は９ですから、左辺に９をたしたら２乗をつくることができます。

くりかえすと、２番目の項、２ａｘに目をつけて、２ａの半分のａを見つける、次にそのａの２乗をたす、という順番です。





















このやり方で、すべての２次方程式を、平方完成の方法で解くことができます。

例題４：
次の方程式を解け。
ｘ＾2−６ｘ−５５＝０

例題３との違いは、数字の項である−５５が左辺にあることです。

左辺に２乗をつくるときに考慮するものは２番目の項の−６ｘです。
定数項の−５５は、２乗をつくることには直接関係しません。
だから、考えるじゃまにならないように、最初に右辺に移しておきます。

この点だけが、例題３の解き方に加わります。

























教科書には、２番目の項２ａｘの２ａが偶数であるものしかのっていませんが、奇数であっても、やり方はまったく同じです。

例題５：
次の方程式を解け。
ｘ＾2−５ｘ−２＝０





































最後に、２乗の項に１以外の係数があるときでも、平方完成の方法で解くことができます。

例題６：
次の方程式を解け。
３ｘ＾2＋２ｘ−６＝０

ｘの２乗の項に係数３があるので、これがじゃまです。
等式は、両辺を同じ数でわることができるので、最初に両辺を３でわって、じゃまな３を消しておくと、あとは、これまでと同じ方法で解くことができます。










































ここまで理解できたら、すべての２次方程式を平方完成の方法で解けるだけでなく、解の公式を自分で導くこともできます（こちらでチャレンジ）。


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math １次式の計算 分数式の計算の指導法を考える

中１の文字式の単元で、１次式の計算はそんなに難しくありません。

子どもたちが少しだけ苦労するのは、分数の式の加法・減法です。

例題１：

を計算せよ。


この計算問題の解き方として、通常、テキストには次の２つの方法が載っています。

（解き方１）

分数の加法だから、通分しないといけないということから出発します。

分母の３と４の最小公倍数は１２ですから、分母を１２にします。

手元の教科書では、そのあとの途中式の書き方は次のように記載されています。


全然問題はないし、私も以前はこの方法で解くように指導していました。

しかし、どうも子どもたちの「覚えがわるい」。

やり方を思い出せなくて、じいっと手が止まってしまう子が続出でした。

このやり方の長所は、カッコを使うので符号間違いが減ることです。

逆に欠点は、文字式でないとき、つまり数字だけの分数の加法のときには、こんなやり方をしないということです。











上に書いたような解き方は、誰もしません。

だから、（解き方１）が、すっと自然には子どもたちの頭には浮かんできません。
言い換えれば、１次式である分数の加法に限った、特殊なやり方を覚えないといけないのが欠点だということです。


（解き方２）

２つ目の解き方は、式を変形して分配法則を使う解き方です。


この解き方も理屈には合っていますが、おそらくほとんどの子はこの解き方を採用しません。

分母の３を分数の１／３にして前に出したあと、分子をカッコに入れるなどということは、（解き方１）以上に技巧的です。
自然に頭に浮かぶようなものではない。
この問題のためだけに特別に覚えないといけないという意味では、（解き方１）と同じ欠点があります。

さらに、もう１つの欠点として、最後まで分数を分数として計算しないといけないから、途中の計算が煩雑になることがあげられます。
（解き方１）だと、式全体は分数の形ですが、実際にしている分子の計算は整数の計算だけです。
計算がわずらわしいという点では、（解き方１）にも劣ります。


（解き方３）

私は、次のようにして解くように指導しています。


（解き方１）と同じと言えないこともありませんが、子どもたちの過去の知識を活用する方法です。

「分数の加法だから通分したらよい」から出発して、分母を最小公倍数の１２にします。

次に、前の分数は、分母を４倍したから分子も４倍し、後ろの分数は分母を３倍したから分子も３倍します。

最後に計算をして、終わりです。

子どもたちは、小学生のときに、分数の加法を、








と、解いているわけです。

この解き方と、そっくり同じ解き方で解かせたらよい。

（解き方３）が、子どもたちの頭に一番無理なくすっと浮かんでくる解き方です。
１次式の分数の加法の解き方として、何も特別なことを教える必要がありません。

さらに、途中式は簡単ですむし、計算も楽です。

（解き方１）と（解き方２）の、両方の欠点からのがれることができます。


子どもたちから教えられる

私が（解き方３）がすぐれているとわかったのは、（解き方１）で教えていて、苦労したからです。
いくら教えても、実際の子どもたちは（解き方３）で解こうとする。

初めは矯正しようと試みたのですが、ある時点で「待てよ、これは子どもたちの方が正しいのかもしれない。」と思うようになりました。

その一番の理由は、（解き方３）で解こうとする子が多いということは、この解き方が実際の子どもたちの頭の使い方に一番合致していることを証明していると思ったからです。

さらに、（解き方３）で解いても、何の不都合もない。
かえって、（解き方１）や（解き方２）よりも簡便だし、計算間違いも少ない。

子どもたちから教わりました。


符号間違いに注意する

（解き方１）と（解き方２）は、結局、カッコを使って、そのカッコをあけて解いていくので、カッコの存在が符号に注意するきっかけにはなります。

（解き方３）はカッコを使わないので、符号間違いをしないようにするには別の原理を持ち出さないといけません。

例題２：

を計算せよ。


（解き方３）で解いていきます。


通分をして、すぐに計算して、終わりです。

注意しないといけないのは、後ろの分数の分子の符号です。






分数は、カッコで囲まれたものと同じで、１つのまとまり、かたまりです。

そのまとまりの前に−がついているので、カッコと同様、−は３ａと−１のそれぞれにかかっていきます。
だから、後ろの分数の分子の−１は、計算をするときは−（−１）＝＋１です。

「分数は、カッコと同じで１つのかたまりと考えないといけないから、前がマイナスだと符号が変わる。」と注意しておけば、符号間違いはなくなります。



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math 「簡単にする」のが算数・数学

書かれていない大原則

あまりにも重要すぎて、かえって誰も教えてくれないということが、この世の中には結構あります。

（１）分数は、なぜ約分して答えないといけないのでしょうか？
（２）比は、なぜ整数で答えないといけないのでしょうか？
（３）「式の値」の問題では、なぜ先に式を整理してから代入しないといけないのでしょうか？
・・・・・

すべて、答えは１つ、算数・数学の目的が、「ものごとをできるだけ簡単にする」ことにあるから、です。

だから、答えはもちろん一番簡単な形で書かないといけませんし、途中の式であってもできるだけ簡単にしてから計算しないといけません。

これは算数・数学で守らなければならない大原則です。


「簡単にする」のが算数・数学

数学とは、世の中にある混沌とした現実からある秩序を発見し、それを簡単な式にしてわれわれに示してくれる学問です。
数学者の夢は「世界を１つの式で表す」こと。
Simple is best.です。

数学の目的が複雑な現実を簡単に秩序立てることにあるのですから、「簡単にすること」が常に要求されるのです。


答えは簡単に

５年生では、例えば、５／６＋７／６だと、答えは１２／６で終わりです。

今の教科書の配列だと、約分を習うのはやっと小学６年生生になってからなので、７／６−５／６＝２／６で終わるのはしょうがないとしても、１２／６は２として答えるべきです。
なぜなら、そのほうが「簡単な」数字だから、です。
算数・数学の目的に合致するからです。

ところが解答を見たら１２／６で、かっこして（２）と書いてある。
かっこを使って２と書くくらいなら、２を模範解答とするべきです。
私はしつこく２に書き直させます。

小学生のときに習わないものだから、中学生になっても１２／６ｘなどと書く人が続出します。中学生になったら、これはさすがにペケです。
「なぜですか？」と聞く子まで出てきます。
「簡単にするのが算数・数学だから」、私はこの説明で押し通します。


途中の式も簡単に

式の値の問題、例えば、「ｘ＝２のとき、２（ｘ−１）−３（ｘ＋２）の式の値を求めよ。」という問題が出たときに、式はそのままで、すぐにｘに２を代入する人が続出します。

これも間違いです。

先に式を整頓して２（ｘ−１）−３（ｘ＋２）＝２ｘ−２−３ｘ−６＝−ｘ−８にしてから代入しないといけません。

私は、式を整頓しないでいきなり代入しているのを見つけたら、必ず書き直させます。

答えは同じなのにうるさいことを言うなァと思われているのは重々承知していますが、算数・数学の大原則を枉（ま）げるわけにはいきません。

そうしないといけない理由の一つは、先に式を整頓してから代入したほうが計算間違いが減るから、ですが（テキストの解説にもそう書いてあります）、もっと本質的な理由は、「簡単にする」のが算数・数学の大原則だからです。

順序が逆です。
「簡単」で「美しい」から、その副次的効果として、計算間違いも減るのです。

小さな「得」をえさに強制すると、本当の大きな「得」を見失わせることになります。


連立方程式と平方根で「簡単にする」を考える

例題１：
十の位の数字が８である３けたの自然数がある。各位の数の和は、百の位の数の６倍で、また百の位の数字と一の位の数字を入れかえた数は、もとの数より３９６大きいという。もとの自然数を求めよ。

もとの数を１００ｘ＋８０＋ｙとすると、「各位の数の和は、百の位の数の６倍」から、ｘ＋８＋ｙ＝６ｘ
この式を整頓して、−５ｘ＋ｙ＝−８・・・（１）

「百の位の数字と一の位の数字を入れかえた数は、もとの数より３９６大きい」から、１００ｙ＋８０＋ｘ＝１００ｘ＋８０＋ｙ＋３９６
この式を整頓して、−９９ｘ＋９９ｙ＝３９６・・・（２）

普通、このあと（１）を９９倍してから（２）の式をひき、加減法で解きます。
しかし、それはだめ。

いつも、なんとか簡単にできないかと目を光らせておかないといけない。

（２）の式で、９９が２つも現れていることから気がつかないといけません。
（２）の式は、両辺を９９でわって、−ｘ＋ｙ＝４と変形できます。

−５ｘ＋ｙ＝−８・・・（１）と、−ｘ＋ｙ＝４・・・（２）で解くべきです。

例題２：
√３×√１８÷√６を計算せよ。

３×１８＝５４、５４÷６＝９だから、√９＝３とやってはいけません。

√１８を先に「簡単に」して、３√２。
√３×３√２÷√６．
√３×√２÷√６＝√１＝１だから、答えは３が正しい。

平方根の計算でも、できるだけ先に簡単にしておくべきだから、ａ√ｂの形になおせるものは先になおしておくのが原則です。

ところが、「ａ√ｂの形になおせるものは先になおす」が平方根の計算の最優先事項なのに、その例外に見える問題が出てきます。

例題３：
√７２÷√６を計算せよ。

「ａ√ｂの形になおせるものは先になおす」の原則に従うと、√７２＝６√２。
６√２÷√６＝６√２／√６、約分して６／√３、これを有理化して６√３／３、さらに約分して２√３。

間違いではないが、ちょっと遠回りです。

√７２÷√６＝√１２＝２√３としたほうが速い。

では、原則の例外か？

いいえ、この場合も「簡単にする」という数学の大原則からすると、√７２÷√６＝√１２で正しいのです。

「ａ√ｂの形になおせるものは先になおす」のは、普通はそのほうが「簡単な数」になるからです。
ところが、わり算もその答えは「簡単な数」になる。

どちらか、その問題にふさわしい方法を選べばよい。

問題を眺めて、先にわったほうが簡単になると思ったらわったらよい、ということになります。


「何事もできるだけ簡単にする」のが数学の裏に隠れている大原則です。

計算であろうが、関数の応用問題であろうが、図形の問題であろうが、よい解き方は一番簡単な解き方です。
例えば、自分の解き方と模範解答を比べてみて解き方が違っているとき、なぜ模範解答がそうなっているかというと、そのほうがシンプル、簡単な解き方だからです。

算数・数学では「簡単であるほどよい解き方」であるということを知っておくと、各単元でばらばらに見える解き方に実は統一性があることがわかってきます。


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math 算数のコツ（１７） 未知数（□やｘ）を求める計算問題（還元算）

中学入試の計算問題で、必ず出題されるのが式の中の未知数を求める問題（中学生以上だと文字のｘで表しますが、小学生の場合、四角のカッコが多い）です。
還元算と呼ぶこともあります。

（この稿でも、実際の問題と同じように未知数を四角のカッコを使って書き表していますが、小さく表示されたり、機種依存文字で「？」に文字化けしてしまうかもしれません。）

普通の計算問題と違って、やっているうちに解けるということはありえません。
解く前にしっかりと方針を立てないと解けません。

例題１：
（４×□−１２）÷３＝４

入試問題としてはもっともやさしいレベルの問題を使って、解き方の基本を考えてみましょう。

還元算は、出てきた答えから逆にたどっていって、もとの数を求める問題ですから、どういう順番でその答えが出てきたのかを最初に見つけておかないといけません。

１、どういう順序で答えの４が出てきたかを考えて、それを逆にもどって解く

この問題の場合、４に□をかけて、その答えから１２をひき、それを３でわって答えの４が求められたわけです。

それを逆にたどればよいので、４に３をかけて、その答えに１２をたして、最後に４でわったら□を求めることができるということになります。

２、目に見える形にできないか

計算の順序を目に見える形にして、誰でも簡単に解けるようにできないかとずっと考えてきました。
ただ、そうそう画期的なアイディアは出てきません。
誰が考えても、次のような解き方になってしまうと思います。

まず、普通の計算だったらどういう順に解くか、解く順番に下線を引きます。





先に計算するはずの場所に短い下線を、次に計算するはずの場所に長い線をひきます。番号の１や２は目印につけただけで、実際に書く必要はありません。

１を計算して、次に２を計算して、それを３でわって答えの４が出てきたはずなので、これを逆にたどって四角の未知数を求めていきます。







逆算ですから、わり算をもとにもどすにはかけ算、ひき算をもとにもどすにはたし算、かけ算をもとにもどすにはわり算をすればよい。

４に３をかけて１２、この１２を下線の上に書いておきます。

次に１２をたして２４、この２４を短い下線の上に書きます。

最後に、４×□が２４なので、２４÷４＝６。

このやり方で何年か教えてみたのですが、どうも上手くいきません。
できる人はできるし、できない人はやっぱりできません。
それに、ちょっと複雑な問題になると、線がごちゃごちゃしてさらにわかりにくくなってしまいます。

左図のように、先に計算するべき場所から囲んでいき、外から逆算で求めていくほうが、まだわかりやすい。

箱を外からあけていく感じで、イメージ的にも線より理解しやすくなります。
慣れるまでは、このやり方がベストかもしれません。

しかし、そろばんの上級者が慣れてきたら頭の中のそろばんで暗算ができるように、わかってきたら、何も書かないで解いたほうがいいのではないかと最近は思っています。


例題２：
（４.６３−□）÷０.４＋１.５×４.２＝１７.８

１、普通の計算だったらどういう順序で計算するかを考える

４.６３−□をして、その答えを０.４でわって、それに１.５×４.２の答えをたして１７.８です。

２、未知数に関係なく計算できるものは先にしておく

１.５×４.２の部分は、□の場所とは関係なく計算できるところです。当然、先に計算しておかないといけません。
・・１.５
×４.２
・・３０
・６０
６.３０

３、逆算の順番を考えて計算をする

１７.８から１.５×４.２の答えの６.３をひいて、それに０.４をかけて、最後に４.６３からひいたらよいとわかります。

１７.８−６.３は１１.５。

１１.５
×０.４
４.６０

最後に４.６３−４.６で０.０３。

４．ひき算とわり算の逆算は単純ではない。

普通、もとにもどす計算は、たし算→ひき算、ひき算→たし算、かけ算→わり算、わり算→かけ算の、いわゆる「反対の計算」をしたらよい。

ところが、いつもそうだとはいえないのが、ひき算とわり算です。

□−２＝５のときは□は５＋２の７です。ひき算の反対のたし算で求められます。
ところが、７−□＝５であれば、□は７＋５の１２ではありません。７−５の２です。
つまり、未知数□の前がひくであれば、もとにもどす計算もひき算です。

同様に、□÷２＝５のときは□＝５×２＝１０ですが、１０÷□＝５であれば□＝１０÷５＝２です。

未知数□の前が−のときと、未知数□の前が÷のとき、この２つの場合は、もとにもどす計算は前−後ろ、前÷後ろとなります。

以上、還元算の要点をまとめると、

（１）未知数□のない普通の計算だとどういう順番で計算するか、計算の順序を最初に確認する（慣れるまでは、計算するはずの部分を順序にそって鉛筆で囲んでいけばよい）。

（２）確認した順序の逆から、逆算してもとにもどしていく。

（３）未知数□の部分に関係なく計算できる部分は先に計算しておく。

（４）ａ−□＝ｂのときは□＝ａ−ｂ、ａ÷□＝ｂのときは□＝ａ÷ｂであり、「反対の計算」ではないので注意が必要。

となります。


例題３：




一見難しそうにみえますが、もう、たいしたことはありません。

１、普通の計算問題だったらどう解くはずか、計算の順序を確認する

５／８×４／２５の計算をして、１／１２÷□の計算の答えをたして、４／３からひいたら７３／１２０になった、という順番です。

２、普通の計算の順番とは逆に、もとにもどしていく

４／３から（　）の部分をひいたら７３／１２０になったはずだから、まず４／３から７３／１２０をひきます。
４／３−７３／１２０＝１６０／１２０−７３／１２０＝８７／１２０＝２９／４０。

次に、□の部分に関係なく計算できる部分、５／８×４／２５を求めておきます。
１／１０です。

次に、その１／１０に１／１２÷□の答えをたしたものが２９／４０だったので、２９／４０から１／１０をひきます。
２９／４０−１／１０＝２９／４０−４／４０＝２５／４０＝５／８。

最後に１／１２÷□＝５／８とわかったので、□＝１／１２÷５／８。
１／１２÷５／８＝１／１２×８／５＝２／１５。


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math 算数のコツ（１６） くふうをしてから解く計算問題

入試の計算問題には、たいてい１問、くふうをしてから解く計算問題がふくまれています。

その「くふう」の仕方を類型化すると、（１）分数にすると簡単になるもの、（２）交換法則と結合法則を活用するもの、（３）分配法則を活用するもの、（４）知っておかないといけない問題、この４種類になります。


１、分数にすると簡単になるもの

小数ばかりの問題には、すべてを分数になおすと簡単に解けるものがあります。

例題１：
０.０５÷０.００８×０.４÷０.０２×０.０３

（問題の特徴）
０.０５を０.００８でわって、その答えに０.４をかけて・・・・、そんな複雑な計算問題は、入試では絶対に出ません。
何か、くふうをするべきです。

すべての小数を分数になおすと、１００や１０００がいくつも出てきて、約分でほとんど消えてしまうのではないかと見当をつけます。

つまり、０.０１や０.００１のような小数がいくつか並んでいる問題は、小数のままではなくて分数にしてから計算すると一気に簡単になります。

（解き方）
すべての小数を分数にかえてみます。
そのとき、先に約分しないで、１０分のや１００分のをそのまま残しておいたほうが後が楽です。















予想通り、約分でほとんどの数が消えてくれました。


２、交換法則と結合法則を活用するもの

数字の順番を入れかえて、ある数字どうしを先にかけておくと簡単になる問題があります。

例題２：
１２.５×５３６×４×０.８×０.２５

（問題の特徴）
何もくふうしないでただ前から計算したら、とてつもない労力がかかりそうです。そんな入試問題は出題されません。
何かくふうができないか、問題をしっかりと眺めます。

この問題では、２５と４、１２５と８などの、かけると１００（＝２５×４）や１０００（＝１２５×８）になる数字の組があることに気がつかないといけません。

（解き方）
１２.５×５３６×４×０.８×０.２５
＝（１２.５×０.８）×（４×０２５）×５３６
＝１０×１×５３６
＝５３６０

順番を入れかえて、２つの数をかけて１０や１をつくることで簡単に解くことができました。

数字の順番を入れかえても答えがかわらないことを、（順番を交換してもよいことから）交換法則といいます。
また、特定の数字同士だけを先に計算してもよいことを、（あるものだけを先に結合してもよいことから）結合法則といいます。

この問題は、４×２５＝１００、８×１２５＝１０００になることに着目して、交換法則と結合法則を活用する問題です。


分配法則を活用するもの

同じ数字が複数回現れるときは、必ず分配法則を使います。

例題３：
３.１４×６.２８＋３.１４×３.７２

（問題の特徴）
同じ数である３.１４が前にも後ろにもあることに気づかないといけません。
それに気づいたら、分配法則ab＋ac=a×(b+c)を活用します。

（解き方）
３.１４×６.２８＋３.１４×３.７２
＝（６.２８＋３.７２）×３.１４
＝１０×３.１４
＝３１.４

例題４：
４.３８×３.１４＋６.２８×０.８１＋３１.４×０.４

（問題の特徴）
同じ数がないと判断してはいけません。

３１４の数字の組が顔を出していることに着目して（６.２８も３.１４×２です）、どうにかして分配法則が使えないかを考えてみます。

さらに、かけ算の特徴として、３１.４×０.４の、前の３１.４を０.１倍の３.１４にしても後ろの０.４を１０倍したら、０.１×１０で相殺されて、答えはかわりません。
このことも利用します。

（解き方）
４.３８×３.１４＋６.２８×０.８１＋３１.４×０.４
＝４.３８×３.１４＋３.１４×２×０.８１＋３.１４×４
＝４.３８×３.１４＋３.１４×１.６２＋３.１４×４
＝（４.３８＋１.６２＋４）×３.１４
＝１０×３.１４
＝３１.４


知っておかないといけない問題

１／２＝１／１−１／２、１／６＝１／２−１／３、・・・・を利用する問題は、中学入試独特の頻出問題です。
知っていないと解けないという意味では良問とはいえませんが、出る以上は知っておかないといけません。

例題５：




（問題の特徴）
分子が１で、分母が２つの連続する数の積のとき、それぞれの連続する数を分母とする分数の、差の形に変形することができます。




なぜそうなるのかは、逆の計算をどうやってするかを考えたら納得できます。











一般化すると、

















これを知っておいたらよい利点は、この形の分数がいくつか並んでいるとき、ほとんどの部分を消してしまえることです。










一番左端の分数と、一番右端の分数以外はすべて消えます。

（解き方）









結局、１−１／１０だけが残るので、答えは９／１０です。


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math 算数のコツ（１５） 計算問題を正確に速く解く

長年受験生を指導しているとわかってきますが、入試の合格・不合格は計算問題を確実に解けるかどうかで決まります。
ほとんどの算数の入試問題は、１番が計算問題で、２番が基本問題、３番から後が大問（図形やグラフや文章題）です。
どうしても配点の大きい大問に目がいきますが、本当は１番、２番を落とさない人が最も得点率が高い。
大問は、運と、そのときの体調や心理状態に大きく左右されて、解けることもあれば解けないこともあって、まったくあてにはなりません。

今日は、中学入試によく出る問題にまとをしぼって、絶対に間違えない計算問題の解き方を追及してみましょう。

整数の計算問題

例題１：
１０８−８×１３＋（２１６−１２９）÷３

（解き方）
（１）出題のねらいを見つける

問題にはすべて「出題者の意図」といわれるものがあります。すべての問題は、算数の「ある重要事項」を受験生がわかっているどうか知るために出題されるのです。
最初にそれを見つけておきます。
この問題で聞かれているのは、「計算の順序」です。

（２）先に計算する部分に下線を引く

わかっているかどうかを試されているのは計算の順序ですから、どこから先に計算するかを見つけます。
ところで、「わかった」を、「絶対間違えない」に変えるには、可視化（目に見える形に）することが必須です。
計算問題の場合、先に計算する場所に下線を引くのがよいでしょう。

１０８−８×１３＋（２１６−１２９）÷３

（３）線を引いた部分ごとに計算をする

このとき大事なのは、１、筆算よりはできるだけ暗算で、２、筆算はきれいに書いてきれいに並べておく、この２つです。

暗算でできれば暗算でするべきです。すぐに筆算をすると、いつまでたっても計算のカンが鈍いままで上達しません。

８×１３程度だと、８×１０＋８×３＝１０４でもよいし、筆算を頭の中でやって８×３＝２４、繰り上げた２と８×１＝８で１０、だから１０４でもよいと思います。

次に、私なら、２１６−１２９は筆算でします。
実は、一番計算ミスが多いのはひき算なんです。ひき算は慎重にするべきです。

筆算ですが、計算ミスの多い人は筆算の書き方の雑な人が多い。

実際の入試問題だと問題の余白を使って計算をしないといけませんが、普段の勉強では罫線のひいてあるノートを用意し、罫線にそって縦、横をきちんとそろえて筆算する癖をつけてください。

筆算を書き込む場所も、問題の出題順にきれいに整頓して書き込み、後で見直すときに、どこに何が書いてあるかが一目でわかるようにしておいてください。

後で見直すかどうかが重要ではないのです。
見直すとしたら瞬時に見つかるほど筆算が整理整頓されて残されていることが大事なのです。身のまわりの整理整頓ができない人は頭の整理整頓もできない人です。頭を整理整頓するために、筆算のメモも整理整頓しておくのです。

こうして筆算をして、２１６−１２９の答え８７を見つけ、次にその答えを３でわり（この程度だと暗算で）、答えの２９を求めます。

（４）部分ごとの答えを問題の下線の下に記入

１０８−８×１３＋（２１６−１２９）÷３
・・・・・・・１０４・・・・・・・・・２９

（５）問題の答えを求める

１０８−１０４＋２９ですから、４＋２９＝３３です。

結局、解いた後、この問題の場所には以下のような痕跡が残っているはずです。

１０８−８×１３＋（２１６−１２９）÷３・・・・・・・・・・２１６　　
・・・・・・・１０４・・・・・・・・・２９・・・・・・・・・・・・・・−１２９
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・８７


小数の計算問題

例題２：
（４−０.０２）×０.５−（０.７×０.７＋０.２７）

（解き方）

（１）出題のねらいを見つける
この問題で試されているのは、計算の順序＋小数計算（特に位取り）が正確にできるかどうかです。

（２）先に計算する部分に下線を引く
（４−０.０２）×０.５−（０.７×０.７＋０.２７）

（３）線を引いた部分ごとに計算をする
４−０.０２は暗算で３.９８、３.９８×０.５＝１.９９は筆算のほうが確実でしょうか（暗算でするか筆算でするか、瞬間的に判断する癖をつけておきましょう）。

小数の計算ですから、小数点の位置に特に注意します。
計算をした後、必ず見直して確認をするくらい慎重に。

後半の０.７×０.７は暗算で０.４９（暗算のほうが小数点の位置を間違えにくい）、０.４９＋０.２７も暗算で０.７６。

（４）部分ごとの答えを問題の下線の下に記入
（４−０.０２）×０.５−（０.７×０.７＋０.２７）・・・・・・・・・・３.９８
・・・・・・１.９９・・・・・・・・・・・・・０.７６・・・・・・・・・・・・・・×０.５
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１.９９０

（５）問題の答えを求める
１.９９−０.７６を計算して１.２３です。


分数の計算問題

例題３：






（解き方）

（１）出題のねらいを見つける
この問題で試されているのは、計算の順序＋分数計算が正確にできるかどうかです。

（２）先に計算する部分に下線を引く
あまり下線を引きすぎると汚くなってかえって混乱します。

分数計算では、ほとんど暗算は無理で、きちんと、計算する部分を書き出しては解いていかないといけません。
その式が残りますので、それを見れば確認できますから、下線を多く引く必要はありません。






（３）線を引いた部分ごとに計算をする
分数の計算は、別の場所にきちんと計算をしてその証拠を残しておきます。

（計算間違いの多い人に限って、例えば３／８に斜線をひいて９／２４などと書き込んだりします。このような、問題を汚して自分自身を混乱させるようなこと は絶対にしてはいけません。もとの問題自体はできるだけきれいなままで残しておきます。）

















（４）部分ごとの答えを問題の下線の下に記入








（５）問題の答えを求める
ここでも、分数どうしを計算したあとを、整理整頓してきれいに残しておきます。








答えは４４／１５です。


混合計算

例題４：




（解き方）

（１）出題のねらいを見つける
この問題で試されているのは、計算の順序＋分数計算＋小数から分数への転換ができるかどうかです。

（２）先に計算する部分に下線を引く




（３） 線を引いた部分ごとに計算をする
小数と分数の混合計算では、小数は分数になおして、分数で計算するのが普通です（分数を小数になおそうとすると、割りきれないことがあるから）。

ところが、このとき、例えば０.２５が出てくると、２５／１００にして、それをゆっくりと約分しようとする人がいます。
間違いではありませんが、今まで何回か０.２５を分数にする機会はあったはずで、０.２５＝１／４くらいは覚えておいてほしい。

０.２５＝１／４
０.７５＝３／４

さらに、まだ知らない子に本人が見つける前に教えることはよくないことではありますが、分母が８の分数になおせる小数も知っておくべきです。

０.１２５＝１／８
０.３７５＝３／８
０.６２５＝５／８
０.８７５＝７／８

このことを知っていたら、この問題は簡単です。













（４）部分ごとの答えを問題の下線の下に記入








（５） 問題の答えを求める











答 えは５／１２です。


このようにして、整数、小数、分数、混合、すべての計算問題を、同じ方法で、速く、正確に解くことができます。


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math 計算は速く、文章題は時間をかけて（算数・数学上達のコツ）

数学が苦手な人にもいろいろなタイプがありますが、類型化すると、計算力のない人は「計算が遅い」、文章題を解けない人は「じっくり考えられない」。

だから、同じ算数・数学でも、初歩の段階では、上達しようと思ったら分野によってやり方をがらっと変えないといけません。

計算問題は速く解く訓練をするほど力がつきます。

文章題（関数や図形の応用問題をふくむ）は逆に、時間をかけて解く人ほど着実に力をつけることができます。


計算問題

計算は速くすればするほど集中力が増してミスが減ります。
人間の脳はそうなるようにできている。

また、速くしようと思えば、正しい計算のやり方をしないと速くはできませんから、速くしようとすればするほど自然に正しいやり方が身につきます。

百ます計算などが（計算力のアップに関しては）効果的なのは、この原理にのっとっているからです。

だから、家庭や塾で計算練習をするときは、「とにかく速く」を心がけなければいけません。
とりかかったら、中断したり休んだりしてはいけない。
おしゃべりなどはもってのほか、最後の問題をやり終わるまでは、とにかく速く、一気に突っ走る。

そして、ちょっと上達したら、速く計算をするためのテクニックを少しずつ身につけていく。

一番使えるのは「等式の性質」です。

例えば分数をふくむ計算。
計算力のない人ほど後生大事に分数を最後までかかえていく。
計算が速くて正確な人は、分数と見たらさっさと等式の性質を利用して両辺に公倍数をかけて、分数でなくしてから計算をします。


文章題・応用問題

文章題・応用問題は計算問題とはまったく逆です。

できない人ほど速くしたがる。
どんな問題であっても、計算問題のようにさっさとするのが算数・数学だと思っているから、あるいは賢い人とはなんでもさっさとできる人だと思っているから、ぱっと見てすぐに解き方が思いうかばなかったらキイーッとなってしまう。

賢い人というのは、じっくりと時間をかけて問題を解決できる人のことです。
問題文を解きほぐして、問題を解くのに必要な部分を抽出して、それを式にすることができる人です。

ところで、『下手（へた）の考え、休むに似たり』ということわざがあります。
「下手（へた）な人（＝アホな人）が考えている（と思っている）のは、実は考えているのではない、休んでいるのと一緒だ」という意味です。

「時間をかける」というのは、「じいっと考える」ということではありません。
考えるには「道具」が必要です。
何も道具を持たないで「じいっと考える」のは猿でもできる。
人間であれば道具を使って考えないといけません。

まず、問題文中の数値は鉛筆で囲んでおく。
これだけで、応用問題を解けるようになる率は飛躍的に向上します。
人間の脳はそうなるようにできている。

何でも「可視化（目に見える形に）」しないといけません。

関数のグラフの問題であれば、式と座標を必ず記入しておく。
図形の問題であれば、問題文に書いてある長さや角度は必ず図に転記しておく。書き込んだことからわかる長さや角度も図に記入する。

「時間をかける」というのは「じいっと考える」のではない、準備（考える道具を手に入れること）に時間をかけろという意味です。


脳の回路をつなぐという観点から

イチローは、体の反応速度が他の人よりは格段に速いのだそうです。

目で見て、それを感覚神経が大脳に情報として伝えて、大脳が判断を下して、脊髄を経て、運動神経がその判断を筋肉に伝えて、筋肉が動いて体が動きます。
この過程は、情報が、次々と神経細胞のシナプス（神経細胞の結節点）を経て伝達される過程です。

普通の人がＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅと情報を伝達しているとすると、イチローはＡ→ＢＣＤ→Ｅであって、反応までに要する時間が他の人よりも相当短いのだそうです。
だから、他の人よりはボールがだいぶ自分のほうに近づくまで見極めて反応を始めても間に合うことができるらしい。
イチローがバットをボールにあてる能力に関してずば抜けている理由は、この反応速度の速さにあるのだそうです。

イチローの練習熱心なことは有名です。
人より練習をすることで、イチローはＢ→Ｃ→ＤをＢＣＤに変えたわけです。

計算問題を解く練習をするときは、とにかく速くやらないといけない、速くやって量をこなさないといけないのは、Ｂ→Ｃ→ＤをＢＣＤに変えるためです。

計算問題のＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅは、簡単で、誰にでも共通です。だから後は、練習してどれだけ反応時間を短くするかが大事なわけです。

また、イチローが自分のバッティングに関して独自の哲学を持っていることは有名です。

「哲学をもっている」とは、最も有効なＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅを、自分自身がこうすればできるという筋道を、自分の中に確立しているという意味です。

算数・数学の文章問題・応用問題を解くときのＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅは、計算問題に比べるとずっと複雑で、必要なものが個人個人によって皆違います。

そして、回路Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅができないうちは、どう頑張ろうと絶対に文章題・応用問題は解けません。

だから、まず最初に自分なりのＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅを発見し、自分の中に自分のＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅを確立しておかないといけないのです。

そのためには、あせらずに準備をした上で、じっくりと時間をかけて試行錯誤をしながら、文章題・応用問題を解くためのＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅを自分の中に作り上げるしか方法はありません。


最初に述べた、一見矛盾しているように思える「計算問題は速く解く訓練をするほど力がつきます。」と、「文章題（関数や図形の応用問題をふくむ）は逆に、時間をかけて解く人ほど着実に力をつけることができます。」とは、決して矛盾してはいないのです。


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math 超簡単 有理化（分母に根号がない形にする）

数学の約束事として、「分母に√（ルート）を残してはいけない」というきまりがあります。
分母にルートがあるときはルートのない形にしないといけないのです（分母を、無理数の√から有理数の整数にかえるので、『有理化』といいます）。


なぜ有理化をしないといけないのか？

わかりやすい説明は、次のようなものです。

「１／√２という分数があるとき、小数になおしたらおよそどれくらいの値になるのかを調べようと思ったとき、このままだと計算がややこしい。
√２＝１.４１４として、１÷√２＝１÷１.４１４の筆算はわずらわしい。
有理化して√２／２にしておくと、√２／２＝√２÷２＝１.４１４÷２＝０.７０７と簡単に求めることができる。」


なぜ有理化ができるのか

分母に根号がない形にするときは、自明の数学の原理２つをもちいます。

１つは、「√aに√aをかけるとaになる」（√a×√a=a、√aとは２乗するとaになる数という意味だから、２乗するとaになる）という平方根の性質を使います。

もう１つは、２／３＝（２×２）／（３×２）＝４／６であるように、「分数は、分母と分子に同じ数をかけても大きさがかわらない」という性質を使います。


有理化の仕方

分母に根号がない形にする（有理化をする）ときは、（１）「√aに√aをかけるとaになる」と、（２）「分数は、分母と分子に同じ数をかけても大きさがかわらない」の、２つを使います。

例題１：
１／√３を有理化せよ。

（１）分母の√３に√３をかけたら３になる、（２）分母と分子に同じ√３をかけても分数の大きさは変わらない、この２つを利用して、分母と分子に、分母の√３と同じ数の√３をかけます。




例題２：
３／√８を有理化せよ。

分母の√と同じ数を、分数の上と下にかけるのが有理化だと思って、すぐに分母と分子に√８をかけてはいけません。

間違いではありません（後で修正できるから）が、してはいけないことです。

数学の大事なルール、「できるだけ小さい数字にしてから計算しないといけない」の原則に反するからです（分数を約分しないとペケになるのも、比を簡単な整数の比にしておかないとバツになるのも、すべてこの原則に違反するからです）。

先に、√８を２√２にしておきます。

その後、分母にも分子にも、分母にある√２と同じ数の√２をかけます。



例題３：
５√２７／３√８０を有理化せよ。


・・・・まず、√２７を３√３、√８０を４√５にしておく


・・・・分母の√５と同じ√５を分母にも分子にもかける




・・・・約分をする


わかりやすいように上のような解き方をしましたが、「できるだけ小さい数字にしてから計算しないといけない」の原則に忠実に従うと、次のように解いたほうがよいかもしれません。





・・・・先に分母と分子の３を約分しておく




・・・・分母で４×５をする前に、分母の５と分子の５を約分する





中学校では習わない有理化（私立高校の入試では出題されることがある）

例題４：
１／（√５＋１）を有理化せよ。

この問題の場合、分母に√５があるからといって、分母と分子に√５をかけても分母からルートをなくせません。
分母の１に√５をかけたものが√５として残ってしまうからです。

では、どうするか？

ルートは、同じものを２乗したら、ルートでなくなるわけです。
かけ算をして、２乗だけが出てくるような式がないかを考えます。

習ったばかりの乗法公式、（ｘ＋ｙ）（ｘ−ｙ）＝ｘ＾２−ｙ＾２を思いうかべられたら大成功。
この公式を使えば、２乗だけの式をつくることができます。

（√５＋１）に、（√５−１）をかければ、（√５＋１）（√５−１）＝５−１＝４となって、ルートが消えてくれます。

つまり、この問題では、分母の（√５＋１）と真ん中の符号だけが違う（√５−１）を、分母と分子にかけます。










例題５：
４／（√５−√３）を有理化せよ。

例題４と同じ考え方で解きます。














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