働きアリ

勉強をしている子どもたちが、悩み、知りたい、理解したいと思いながら、今までは調べる方法がなかった事柄を、必要かつ十分な説明でわかりやすく記述したサイトです

証明

math 大阪府23年後期B 大問4 平面図形

平成23年度後期B問題・平面図形の問題は、暗記カードをモデルにした問題でした(例年と同様、暗記カードであることは問題を解くのに関係ありません単語帳)。



大問4図1において、四角形ABCDはAB=6cm、AD=11cmの長方形である。Iは、辺ABの中点である。Pは、長方形ABCDの内部の点であっ図1て、Iを通り辺ABに垂直な直線上にあり、PI=2cmである。このとき、AD//IPである。線分PJと四角形EFGHとは、それぞれ線分PIと長方形ABCDとを点Pを中心として同じ向きに同じ角度だけ回転させたものである。このとき、PI=PJ、長方形ABCD≡長方形EFGHである。Gは、直線EHについてAと反対側ににあって、直線ADについてCと反対側にある。K,L,M,Nは、それぞれ辺ABと辺EF、辺ABと辺EF、辺BCと辺EF、辺ADと辺FGとの交点である。このとき、Pは直線LN上にある。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。


(1)PとCとを結んでできる線分PCの長さを求めなさい。


(解き方と解答)
まず、問題を読んで必要なことを図にかき込んでおきます。
図1の2
かき込んだ図をながめて、どうやって解くかの方針を立てます。

図形の問題ですから、解くのに使う道具は『相似』か『三平方の定理』です。

図をながめると、Pから辺BCに垂線をひくことで、三平方の定理が使えることに気づきます。





三平方の定理より、PC^2=3^2+9^2
図1の3PC^2=9+81
PC^2=90
PC>0より、
PC=√90
PC=3√10


PC











(2)次の「証明」は、まず、△PIL≡△PJLであることを証明してから、IL=JLであることを示し、その後、IL=JLであることを用いて△KEL≡△MBLであることを証明したものである。次の「証明」における( )から適しているものを一つ選び、記号を書きなさい。また、「証明」における(b)の部分に△KEL≡△MBLであることの証明を書き加え、「証明」を完成させなさい。

「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL(共通)・・・(あ)
PI=PJ(仮定)・・・(い)
∠PIL=∠PJL=90°(仮定)・・・(う)
(あ)(い)(う)より、( ア 直角三角形の斜辺と他の1辺  イ 直角三角形の斜辺と一つの鋭角  ウ 2辺とその間の角 )
がそれぞれ等しいから △PIL≡△PJL
よって IL=JL
(     b     )



(解答)
図1の4
「証明」
△PILと△PJLにおいて
PL=PL(共通)・・・(あ)
PI=PJ(仮定)・・・(い)
∠PIL=∠PJL=90°(仮定)・・・(う)
(あ)(い)(う)より、( ア 直角三角形の斜辺と他の1辺  イ 直角三角形の斜辺と一つの鋭角  ウ 2辺とその間の角 )(正解はア)
がそれぞれ等しいから △PIL≡△PJL
よって IL=JL
( b △KELと△MBLにおいて、
対頂角は等しいから、∠KLE=∠MLB・・・(1)
長方形の角だから、∠KEL=∠MBL・・・(2)
また、BI=3cm、EJ=3cm
IL=JLだから、
EL=EJ-JL、BL=BI-ILより、EL=BL・・・(3)
(1)(2)(3)より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△KEL≡△MBL


(3)EL=2cmであるときの線分ANの長さを求めなさい。求め方も書くこと。

(解き方と解答)
また、図に必要な数値をかき込みます。
図1の5
特に、求めるANにxとかき込むのが大事です。
xをかき込むことで、△LPI∽△LNAを利用できることがわかります。

(求め方)
El=2cmであり、△KEL≡△MBLだから、BL=2cm
よって、IL=1cm
IP//ANだから、IP:AN=LI:LA
2:x=1:1+3
2:x=1:4
x=8cm




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math 式の計算の応用 図形と証明

中3生の手がとまる問題に、式の計算を利用して証明をする問題があります。
この稿で取り上げるのは図形の問題です。


例題1:1辺の長さがxmの正方形の土地のまわりに幅amの道路があ式の計算例題1る。この道の面積をS平方m、道の真ん中を通る線の長さをLmとするとき、S=aLとなることを証明せよ。











(考え方と解き方)
「S=aLとなることを証明せよ」とありますが、「どうやって証明しようか?」と考えないで、「SやLを式で表わしておけば何とかなるだろう」という見通しのもとに解いていく問題です。

まず、Sです。
斜線部の面積ですから、大きい正方形から小さい正方形の面積をひけばよい。
そして、大きい正方形の1辺の長さは(x+2a)であり、小さい正方形の1辺の長さはxです。
例題1の2S=(x+2a)^2-x^2
=x^2+4ax+4a^2-x^2
=4ax+4a^2
…(1)




次に、Lです。
Lの1つの辺の長さは、x+1/2a×2、つまりx+aです。
Lの長さはその4倍ですから、
L=(x+a)×4
=4x+4a
…(2)

(1)と(2)の2つの式を見て、問題の「S=aLとなることを証明せよ」と、どう結びつけようかと考えます。
この問題だと、(1)と(2)を見比べるだけで、S=aLとなっていることがわかりますから、答案を次のように構成したらよいのです。

(解答)
面積Sは大きい正方形から中の小さい正方形の面積をひいたものだから、
S=(x+2a)^2-x^2
=x^2+4ax+4a^2-x^2
=4ax+4a^2

Lは、1辺が(x+1/2a×2)の正方形の周の長さだから、
L=(x+a)×4
=4x+4a
よって、aL=a(4x+4a)=4ax+4a^2

以上より、S=aL


このように、
(1)問題で示された2つのものを表す式を別々に作ってみる、
(2)できた2つの式をながめて、証明しないといけない等式になるように解答を書く、
この2つの操作で、この種類の問題を解くことができます。


例題2:図は、同じ点を中心とする中心角が同じおうぎ形を2つ重ねた例題2もので、2つのおうぎ形の半径の差はaである。このとき、図の影をつけた部分の真ん中を通る線の長さをLとすると、この影をつけた部分の面積はaLに等しいことを証明しなさい。







(考え方と解き方)
この問題も、
(1)問題で示された2つのものを表す式を別々に作ってみる、
(2)できた2つの式をながめて、証明しないといけない等式になるように解答を書く、
この2つの操作で解くことができます。

ところが、おうぎ形の弧の長さを求める式は2πr×中心角/360(直径×π×中心角/360)、おうぎ形の面積を求める式はπr^2×中心角/360(半径×半径×π×中心角/360)です。
ですから、この問題では、問題を解く前の準備として、おうぎ形の半径と中心角をなんらかの文字で表しておかないと式を作ることができません。
そこで、小さいおうぎ形の半径をr、中心角をxとでも決めて、そのことから解答を書いていきます。

(解答)
小さい方のおうぎ形の半径をr、中心角をx°とする。

影をつけた部分の面積は大きい扇形から小さいおうぎ形の面積をひいたものだから、
例題2の2








面積=(r+a)^2×π×x/360-r^2×π×x/360
=(r^2+2ar+a^2)×π×x/360-r^2×π×x/360
=πr^2×x/360+2πar×x/360+πa^2×x/360-πr^2×x/360
=2πar×x/360+πa^2×x/360

次に影をつけた部分の真ん中を通る線の長さLは、半径がr+1/2aで中心角がxのおうぎ形の弧だから、
L=(r+1/2a)×2×π×x/360
=2πr×x/360+πa×x/360
よって、aL=2πar×x/360+πa^2×x/360

以上より、図の影をつけた部分の面積はaLと等しい。


このように、図形の証明の問題は、
(1)問題で示された2つのものを表す式を別々に作ってみる、
(2)できた2つの式をながめて、証明しないといけない等式になるように解答を書く、
この2つの操作で解くことができます。




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math 平行四辺形 平行四辺形になることの証明

ある四角形が「平行四辺形であることの証明」、「平行四辺形になることの証明」について、そのコツをまとめます。


証明問題の鉄則

証明の問題のポイントは、述べたい結論根拠になること(=結論の一行前で言わないといけないこと)を、最初に目標として設定しておいて、それに向かって記述していくことです。

例えば、2つの直線が平行であることの証明だと、平行であることの根拠は(1)同位角が等しい、(2)錯角が等しいのどちらかしかありません。
だから、証明をするときは、最初から目標を同位角が等しいか錯角が等しいを述べることにしぼって記述していきます。

四角形が平行四辺形になることの証明もそうです。

平行四辺形だといえるための根拠は5つあります。
その5つの根拠のうちのどれをいうかを決断して、それを述べることを最初から目標として設定します。


平行四辺形になるための条件

ある四角形が平行四辺形であるというためには、次の5つの根拠のうちのどれかがいえないといけません。

1、2組対辺がそれぞれ平行である(平行四辺形の定義
2、2組対辺がそれぞれ等しい
3、2組対角がそれぞれ等しい
4、対角線がそれぞれの中点で交わる
5、1組対辺平行でその長さが等しい
1
この5つは、正確に覚えておかないといけません。
















では、実際の問題でさらにコツを極めます。

例題1:図で四角形ABCDは平行四辺形である。辺AD上に点E、辺例題1BC上に点FをAE=CFとなるようにとる。このとき、四角形EBFDは平行四辺形であることを証明しなさい。







(証明を書きはじめる前に考えること)

「平行四辺形であること」を証明する場合、結論の1行前で「平行四辺形になるための条件」の5つのうちのどれかをいわなければなりません。

最初に、5つの条件のうちのどれを根拠にするかを決めておかないと答案を書き始めることはできません。

そして、5つの条件のうちのどれを使えばよいかは、問題に提示してある図と、問題文に書いてある「仮定」を見たら見当がつきます。
例題1の2
この問題で「仮定」は、四角形ABCDが平行四辺形であることと、AE=CFです。

そうであれば、四角形EBFDで、ED=BFとED//BFがいえそうだと見当がつきます。

つまり、この問題では「平行四辺形であること」の根拠として、結論の1行前で、「1組対辺平行でその長さが等しい」をいえばよいのです。

目標が定まったので、その目標に向かって証明を書いていきます。


(証明)

四角形EBFDにおいて、

四角形ABCDが平行四辺形だからAD//BC
よってED//BC・・・(1)

また、四角形ABCDが平行四辺形だからAD=BC
ところが仮定よりAE=CFだから、
ED=BC・・・(2)

(1)(2)より、1組の対辺が平行でその長さが等しい。

よって、四角形EBFDは平行四辺形である。


(追記)

(1)三角形の合同の証明と同じように書けばよい。
三角形の合同の証明は、
1、「△~と△~において」と書きはじめ、
2、等しい辺か角を3つ見つけて、
3、合同条件を述べて、
4、最後に「△~≡△~」で終わります。

平行四辺形になることの証明も同様に、
1、「四角形~において」と書きはじめ、
2、等しい辺か角を2つ見つけて(平行四辺形の証明では見つけるもの2つです)、
3、平行四辺形になるための条件を述べて、
4、最後に「四角形~は平行四辺形である」で終わります。

(2)実は、平行四辺形になることを証明するとき、三角形の合同を利用すれば、平行四辺形のなるための5つの条件のどれでもいうことができます。
この問題でも、△ABE≡△CDFを先にいっておけば、「2組の対辺が等しい」や「2組の対角が等しい」もそのあとでいうことができます。

しかし、三角形の合同の利用は「遠回り」になることがほとんどです(この問題でもそうです)。

できるだけ三角形の合同を使わないでいう練習をしないと上達しません。


さて、平行四辺形になることの証明の要領がある程度理解できたでしょうから、他の問題で練習してみましょう。

例題2:図で、四角形ABCDは平行四辺形である。対角線の交点をO例題2とし、線分OA上に点E、線分OC上に点FをAE=CFとなるようにとる。このとき、四角形EBFDは平行四辺形であることを証明しなさい。






対角線がかいてあるので、図を見ただけで、平行四辺形になるための条件の4、「対角線がそれぞれの中点で交わる」が目標であることがわかると思います。

(証明)

四角形EBFDにおいて、

平行四辺形ABCDの対角線だから、BO=DO・・・(1)

同様にAO=COで、仮定よりAE=CFだから、EO=FO・・・(2)

(1)(2)より、対角線がそれぞれの中点で交わる。

よって、四角形EBFDは平行四辺形である。


このように、慣れたら、平行四辺形の証明は難しくありません。
次の問題は、例題1を応用問題にした、ちょっとだけ難しい問題です。

例題3:図で、四角形ABCDは平行四辺形である。辺AB、BC、CD、例題3DAの中点をそれぞれE、F、G、Hとする。また、線分AG、ECと線分HBとの交点をそれぞれI、Jとし、線分EC、AGと線分DFとの交点をそれぞれK、Lとする。このとき、四角形IJKLが平行四辺形であることを証明しなさい。





この問題はほとんどの問題集で取り上げられている問題ですが、解くための前提として、例題1が頭に入っていて、その発展問題であることを知っていないと、おそらく解けません。

四角形IJKLが平行四辺形であることを証明する前に、まず四角形HBFDと四角形AECGが平行四辺形であることを証明します。

(証明)

平行四辺形HBFDにおいて、

四角形ABCDが平行四辺形だから、その対辺の一部であるHD//BF・・・(1)

また、平行四辺形の対辺がADとBCであり、仮定より点Hと点Fが中点だから、HD=BF・・・(2)

(1)(2)より、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形HBFDは平行四辺形である。

同様に、四角形AECGも平行四辺形であるといえる。

ゆえに、四角形IJKLにおいて、

平行四辺形HBFDの対辺だからHB//DFより、IJ//LK・・・(3)
平行四辺形AECGの対辺だからAG//ECより、IL//JK・・・(4)

(3)(4)より、2組の対辺がそれぞれ平行だから、四角形IJKLは平行四辺形である。




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math 相似 直角三角形・正三角形と相似

難問を簡単に解く技である「直角三角形の問題は、直角でない角に○と×をつける」は、相似でも効果を発揮します(合同についてはこちらを参照)。

例題1:直角三角形ABCの頂点Aから斜辺BCにひいた垂線をADとす例題1る。AB=8cm、BC=10cm、CA=6cmとして、次の問いに答えよ。
(1)三角ABCと相似な三角形をすべて書け。
(2)線分AD、BDの長さを求めよ。




(解き方)
△ABCの直角でない角、∠Bと∠Cに○と×をつけます。
例題1の2
△ABCで、∠BAC=90°なので、
∠B+∠C=180°−90°=90°
つまり、
○+×=90°
です。

そうすると、△DBAで∠ADB=90°より、○+∠BAD=90°だから、∠BAD=×であることがわかります。
また、△DACで∠ADC=90°だから、×+∠DAC=90°となり、∠DAC=○であることもわかります。
例題1の3
このように○と×を記入することで、対応する角の等しいことが一目でわかるようになります。

(1)三角ABCと相似な三角形をすべて書け。


(解答)
相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」が成り立つので、△ABC∽△DBA∽△DAC

(2)線分AD、BDの長さを求めよ。

(解答)△ABC∽△DACより、BC:AC=BA:AD
ゆえに、10:6=8:AD
10×AD=48
AD=4.8cm

△ABC∽△DBAより、BC:BA=BA:BD
ゆえに10:8=8:BD
10×BD=64
BD=6.4cm


例題2:図のように、∠A=90°の直角三角形ABCの頂点Aを通る直線例題2に、点B、Cから垂線BD、CEをひいた。
(1)△ABD∽△CAEであることを証明せよ。
(2)DB=16cm,DE=40cm,AE=12cmのとき、ECの長さを求めよ。


(解き方)
(1)△ABD∽△CAEであることを証明せよ。
例題2の2
△ABDと△CAEにおいて、
仮定より、∠BDA=∠AEC…(1)
∠DBA=△ABDの内角180°‐90°‐∠DAB
∠EAC=直線の180°‐90°‐∠DAB
ともに90°‐∠DABだから、∠DBA=∠EAC…(2)
(1)(2)より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABD∽△CAE

(2)DB=16cm,DE=40cm,AE=12cmのとき、ECの長さを求めよ。
例題2の3△ABD∽△CAEを利用します。

AD=40-12=28cm

△ABD∽△CAEより、28:EC=16:12
16×EC=28×12
EC=28×12÷16
EC=21cm


例題3:左の図は、長方形ABCDの紙を頂点Aが辺BC上にくるように例題3折り返したもので、Eは頂点Aが移った点、DFは折り目の線である。
(1)△FBE∽△ECDであることを証明せよ。
(2)AD=10cm、DC=8cm、CE=6cmのとき、FEの長さを求めよ。





(解き方)
例題3の2準備として、△FBEの直角でない角に○と×をつけておきます。
また、90°である∠A、∠B、∠Cに90°であることがわかる印を、そして折り返した問題なので∠FEDにも90°の印をつけておきます。

(1)△FBE∽△ECDであることを証明せよ。

△FBEと△ECDにおいて、
長方形の角だから∠FBE=∠ECD=90°…(1)
∠BFE=△FBEの内角180°‐90°‐∠FEB
∠CED=直線の180°‐90°‐∠FEB
ともに、90°‐∠FEBだから、∠BFE=∠CED…(2)
(1)(2)より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△FBE∽△ECD

(2)AD=10cm、DC=8cm、CE=6cmのとき、FEの長さを求めよ。
例題3の3
BE=10cm‐6cm=4cm
折り返したのでED=AD=10cm

△FBE∽△ECDより、
4:8=FE:10
8×FE=40
FE=5cm




「直角三角形の問題は、直角でない角に○と×をつける」の技は、正三角形にも応用できます。
正三角形の1つの角は60°です。
「正三角形の問題は、60°でない角に○と×をつける」ということになります。

例題4:正三角形ABCの辺AB上に点Dをとり、DとCを結ぶ。また、例題4辺BC上に点Eを∠CDE=60°となるようにとる。
(1)△ADC∽△BEDであることを証明せよ。
(2)AC=12cm、AD=4cmのとき、ECの長さを求めよ。






(解き方)

準備として、正三角形の∠Aと∠Bに60°を記入し、60°でない角に○と×をつけておきます。
例題4の2
(1)△ADC∽△BEDであることを証明せよ。

△ADCと△BEDにおいて、
正三角形だから∠CAD=∠DBE=60°…(1)
∠BED=△BEDの180°‐60°‐∠BDE
∠ADC=直線の180°‐60°‐∠BDE
ともに、120°‐∠BDEだから、∠BED=∠ADC…(2)
(1)(2)より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ADC∽△BED

(2)AC=12cm、AD=4cmのとき、ECの長さを求めよ。
例題4の3
△ADC∽△BEDを利用します。

BD=12-4=8cmも忘れずに記入し、また、△ADC∽△BEDを利用するのでECを求めるために先にBEを求めることを確認しておきます。

△ADC∽△BEDより、
BE:4=8:12
BE×12=32
BE=32/12=8/3cm

よって、EC=12-8/3=36/3-8/3=28/3cm




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math 平行と合同 直角三角形は、直角でない角に○と×をつける

ほんのちょっとした工夫をするだけで、難問をやさしい問題に変えることができる技があります。

「直角三角形が出てきたら、直角でない角に○と×をつけておく」も、そんな技の一つです。

例題1:図のように、直角二等辺三角形ABCの頂点Aを通る直線mに頂点B、1Cから垂線BD、CEをひく。このとき、△ABD≡△CAEを証明せよ。







(解き方)

直角三角形△ABDと△CAEで、仮定より∠ADB=∠CEA=90°であること、△ABCが直角二等辺三角形だからAB=CAであることはすぐにわかります。
あと1つ、等しいものを見つけないといけませんがどこでしょうか?

AD=CE、DB=EAは、どちらも言えそうにないので、∠ABD=∠CAEか、∠DAB=∠ECAのどちらかを言わないといけないのですが、なぜ等しいと言えるのかわかりますか。

何も準備をしないで解き始めると、ほとんどの人が途中でどう書いたらよいかわからなくなる問題です。

ところが、「直角三角形が出てきたら、直角でない角に○と×をつけておく」と、逆にほとんどの人がすらすら解けるやさしい問題に変わります。

2△ABDの直角でない角に○と×をつけます。
そうすると、○+×=90°であること、×+∠CAE=90°であることを簡単に気づくことができます。

詳しく説明します。

左の△ABDで、三角形の内角の和は180度です。
そして、∠ADB=90°ですから、○=180°−90°−×です。
つまり、∠ABD(○)=180°−90°−∠DAB(×)。

また、直線ですから∠DAE=180°です。
そして、∠BAC=90°ですから、∠CAE=180°−90°−×です。
∠CAE(○)=180°−90°−∠DAB(×)。

このように、
∠ABD=三角形の180°−90°−∠DAB、
∠CAE=直線の180°−90°−∠DAB
となって、∠ABD=∠CAEであることが簡単にわかります。


(解答)

△ABDと△CAEにおいて、
点B、Cから垂線BD、CEをひいたので、仮定より∠ADB=∠CEA=90°…(1)
△ABCが直角二等辺三角形だから、仮定よりAB=CA…(2)
2三角形の内角の和は180°だから、∠ABD=180°−90°−∠DAB
D、A、Eは1直線にあるから、∠CAE=180°−90°−∠DAB
ともに、180°−90−∠DABだから、∠ABD=∠CAE…(3)
(1)(2)(3)より、直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから、
△ABD≡△CAE



例題2:△ABCは、∠A=90°の直角二等辺三角形である。頂点A3を通り、△ABCの内部を通る直線に、頂点B、Cから垂線BD、CEをひく。このとき、BD−CE=DEであることを証明せよ。







(解答)
△ABDと△CAEにおいて、
B、Cから垂線BD、CEをひいたので、仮定より∠BDA=∠AEC=90°…(1)
△ABCは、∠A=90°の直角二等辺三角形だから、仮定よりAB=CA…(2)
4三角形の内角の和は180°だから、∠ABD
=180°−∠ADB−∠BAD
=180°−90°−∠BAD
=90°−∠BAD
また、∠BAC=90°だから、
∠CAE=90°−∠BAD
ともに90°−∠BADだから、
∠ABD=∠CAE…(3)
(1)(2)(3)より、直角三角形で、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△CAE

合同な図形の対応する辺の長さは等しいのでBD=AE、AD=CE
また、AE=AD+DE
よって、BD=AE=AD+DE=CE+DE
BD=CE+DEとなるから、
BD−CE=DE


このように、直角三角形の問題では、直角でない角に○と×をつけておくとわかりやすくなる問題が多いのです。


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math 式による説明(3) 知らないと解けない難問2題

「式による説明」、ほとんどの問題は「(1)数の表し方」を覚えて、「(2)答えの書き方」が頭に入っていたら楽に解けます。

しかし、それだけでは解けない問題が2つ、あります。

一つは、「各位の数をたしたら3(または9)でわれる数は3(または9)の倍数である」ことを説明する問題、もう一つは、「図形の問題で、同じものを2つの式で表す」問題です。

この2つは、それぞれの書き方を知っていないと正しい答えを書けません。


例題1:3けたの整数981の各位の数の和9+8+1=18は、9の倍数である。このとき、981は9の倍数になっている。このように、各位の数の和が9の倍数になる3けたの整数は9の倍数である。このことを説明せよ

(答え)

・100の位の数がa、10の位の数がb、1の位の数がcである3けたの数を100a+10b+cとする。

100a10b+c
99a+a9b+b+c
=99a+9b+a+b+c

各位の数の和が9の倍数なので、nを整数とするとa+b+c=9nと表せる。

99a+9b+a+b+c
=99a+9b+9n
=9(11a+b+n)

・11a+b+nが整数なので、9(11a+b+n)は9の倍数である。
以上より、各位の数の和が9の倍数になる3けたの整数は9の倍数である。


(知っておかないといけないこと)

赤字で示した、9の倍数になるように(9でくくれるように)、100a=99a+a、10b=9b+bに変形すること、a+b+cが9の倍数なので9nと置き換えること、この2つの部分は、そうなることを理解したうえで、暗記、覚えておかないと、思いつくことなど不可能だと思います。

同じ種類の問題で、3の倍数であることを説明する問題があります。
このときは、100a+10b+c=99a+9b+a+b+cとするところは同じで、a+b+c=9nを、a+b+c=3nに変えるだけです。


例題2:おうぎ形で、半径をr、弧の長さをL、中心角をa度、面積をSとすると、S=1/2Lrが成り立つことを説明せよ。

(答え)

おうぎ形おうぎ形の面積=円の面積×(中心角/360)だから、
面積S=r×r×π×(a/360)・・・(1)

弧の長さ=円周×(中心角/360)より、
弧L=r×2×π×(a/360)・・・(2)

(ここで、S=1/2Lrをつくるために、LをSの式にはめ込むにはどうしたらよいかを考えます。(1)の式と(2)の式を眺めると、赤字の部分r×π×(a/360)が同じことに気づきます。)

(1)より、r×π×(a/360)=S/r
(2)より、
r×π×(a/360)=L/2

よって、S/r=L/2

両辺にrをかけて、
S=r×L/2
=1/2Lr

だから、S=1/2Lrが成り立つ。

おうぎ形の式
















(知っておかないといけないこと)

まず、面積を式で表す。次に弧の長さを式で表す。
別々に2つの式を作った後、2つの式からできる等式を「むりやり」つくってしまうのがこつです。

中3の『式による説明』では、このタイプの問題がよく出ます。

この種類の問題も、練習して、書き方を知っておかないと、おそらく初見では解けません。



math 超簡単 式による説明(2) 答えの書き方

『式による説明』では、答えの書き方が決まっています。

書き方の「型(かた)」を最初に覚えて、どんな問題でも同じパターンにのっとって書くのが、実は一番効率的で簡単です。

まず、やさしい問題で、書き方の定型を覚えましょう。

(この稿は、「数の表し方」が理解できて、「数の表し方」を覚えていることを前提に書いています。まず、式による説明(1)数の表し方に目を通してからお読みください。)


例題1:「奇数と奇数の和は偶数である。」このわけを説明せよ。

(答案の書き方)

m、nを整数として、2つの奇数を2m+1、2n+1とする。・・・(1)

奇数と奇数の和は、
2m+1+2n+1
=2m+2n+2
=2(m+n+1)・・・(2)

m+n+1は整数だから、2(m+n+1)は偶数である。
だから、奇数と奇数の和は偶数である。・・・(3)


以上のように、答案を必ず3つの部分で構成していきます。

まず、(1)「〜を〜とする」「〜を〜と表す」部分

次に、(2)問題文を数式にして計算して( )でくくる部分

最後に、(3)( )のところが整数だから全体が〜になると結論づける部分

この3つが、最低限必要です。

数学の答えを文章を使って書くときは、論理の飛躍があってはいけません。
「〜だから・・・になる」、「〜だから、・・・といえる」と、理屈が連続して述べられていないと答案としては失格です。
そして、論理の飛躍がないように答えを書こうと思えば、最低限、上で述べた3つの部分が必要になってくるのです。

さらに詳しく説明します。


(1)「〜を〜とする」、「〜を〜と表す」の部分

式を使って説明しようと思えば、まず、問題に取り上げられた数を、式を使って表さないといけません。
そして、数の表し方は決まっていますが(式による説明(1)数の表し方を参照のこと)、そのように表せるのは、mやnが整数だからです。

この問題でも、m、nが整数だから、奇数を2m+1、2n+1と表すことができるわけです。
まず、そのことを言っておかないといけません。

「m、nを整数として、〜を・・・とする」、「m、nを整数とすると、〜は・・・と表すことができる」と、最初に書いておきます。


(2)問題文を数式にして、計算して、( )でくくる部分

例題1の問題文、『「奇数と奇数の和は偶数である。」ことを説明しなさい』とは、奇数と奇数の和=偶数という等式が成り立つことを、式を使って言いなさい、という意味です。

数学では、問題文の「は」は、しばしば等式の=に相当します。

だから、左辺を「奇数と奇数の和」で始めて、右辺を「偶数」の形にできたら、この問題が解けたことになります。

もう少し詳しく言うと、等式の左辺、つまり、=の左側を、「奇数と奇数の和」で始めて、等式の右辺、つまり、=の右側で、式を整頓して、「偶数」といえる形にしたらよいわけです。

だから、

2m+1+2n+1・・・問題文の「は」の左の部分を式にして
=2m+2n+2・・・計算をして
=2(m+n+1)・・・偶数である2×整数の形にする。

これが(2)の段階ですることのすべてだということになります。


(3)( )のところが整数だから、全体が〜になると結論づける部分

例題1で、「偶数である。」ことが証明できたのは、式の最後が2(m+n+1)になったからです。

( )の中のm+n+1がある一つの整数であり、2×(その整数)の式ができあがったことで、全体の2(m+n+1)が偶数であると証明できたことになります。

答案の最後で、このことを述べればよいのです。


以上より、『式による説明』で書くときの定型を、もう一度、さらに簡単に、まとめておきましょう。

(1)〜は・・・と表せる

(2)式=計算して=( )でくくる

(3)( )が整数だから、〜は・・・である




では、この定型にのっとって、問題の答えを書いていきましょう。

例題2:5の倍数どうしの和は5の倍数である。そのわけを説明せよ。

(定型にそって書いた模範答案例)

・m、nを整数とすると、5の倍数は5m、5nと表すことができる。

・5m+5n
=5(m+n)

・m+nが整数だから、5(m+n)は5の倍数。
よって、5の倍数どうしの和は5の倍数であるといえる。


例題3:10、11、12の和は33で、3の倍数である。このように、3つの連続した自然数の和は3の倍数になる。このわけを説明せよ。


(定型にそって書いた模範答案例)

・nを整数とすると、3つの連続した自然数は、n、n+1、n+2と表せる。

・n+n+1+n+2
=3n+3
=3(n+1)

・n+1が整数だから、3(n+1)は3の倍数。
したがって、3つの連続した自然数の和は3の倍数になる。


例題4:2けたの自然数と、その自然数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数との差は、9の倍数になる。そのわけを説明せよ。

(定型にそって書いた模範答案例)

・a、bを整数とすると、2けたの自然数は10a+bと表すことができる。

・10a+b−(10b+a)
=9a−9b
=9(a−b)

・aーbが整数だから、9(a−b)は9の倍数である。
以上より、2けたの自然数と、その自然数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数との差は、9の倍数になる。


いかがでしょう。

どんな問題が出ようと、『式による説明』の問題は、たった1つの型にはめた書き方ですべて同じように書くことができることを、わかっていただけたでしょうか。


math 超簡単 式による説明(1) 数の表し方

最初に知っておかないといけないこと

整数をnとして、次にあげるそれぞれの数を、nを使って表すことができないと、『式による説明』はできません。

nを整数とすると、

(1)偶数2n奇数2n+1

(2)3の倍数3n5の倍数5n

(3)連続する整数n+1n+2、…

さらに、10の位の数字がa、1の位の数字がbとすると

(4)2けたの数10a+b

最低限、以上の4つを理解し覚えている人だけが、『式による説明』の問題を解くことができます。
覚えられない人は(アルファベットも知らない人が英語の問題を解けるわけがないのと同様に)、問題を解く資格自体がありません。無理やりでもいいので、暗記してください。


それぞれの数が上のように表せるわけ

(1)偶数奇数

偶数は0、2、4、6、8、・・・ですが、2×0、2×1、2×2、2×3、2×4、・・・と考えることができます。
だから、整数nが0、1、2、3、4、・・・となるときの2倍を並べたものが偶数だと言えるので、2nと表すことができます。

奇数は1、3、5、7、・・・であり、偶数の0、1、2、3、・・・より1だけ大きい数です。
偶数が2nで、それより1だけ大きい数だから、奇数は2n+1です。


(2)3の倍数5の倍数

3の倍数は3、6、9、・・・であり、3×1、3×2、3×3、・・・となっています。それぞれの数が、1、2、3、・・・という整数の3倍です。
だから、1、2、3、・・・と並んでいる数を整数nと考えると、その3倍を並べたものなので、3の倍数は3nです。

同様に、5の倍数は5、10、15、・・・で、5×1、5×2、5×3・・・と整数の5倍になっているから、整数をnとすると、5の倍数は5nです。

さらに、例えば「3でわると1あまる数」もnを使って表せるようになっておきましょう。

3でわると1あまる数は、3で割りきれる3の倍数より1だけ大きい数と言えます。
ゆえに、3でわると1あまる数は、3n+1です。

だから、例えば「5でわると2あまる数」は、5n+2ということになります。


(3)連続する整数

連続する整数とは、最初が5であれば、5、6、7、8、・・・のように、1ずつ増えながら続いていく整数のことです。

5、5+1、5+2、5+3、・・・と、1ずつ増えています。

最初の数をnとすると、次がn+1、その次がn+2、・・・となっているので、連続する整数をnを使って表すと、n+1n+2n+3、・・・ということになります。

連続する偶数」なら、どう表せるでしょうか。

連続する偶数とは、最初が例えば8であれば、8、10、12、14、・・・と続いていく数のことです。
偶数なので2ずつ増えていきますから、最初の数をnとすると、n+2n+4n+6、・・・ということになります。

同じように考えると、「連続する奇数」も表すことができます。
例えば最初の数が7であれば、7、9、11、・・・と、やはり2ずつ増えますから、最初の数をnとすると、n+2n+4、・・・です。

(問題によっては、偶数2nと表せることも考慮しないといけないものがあります。このときは、最初がnではなくて2nになるだけで、2ずつ増えることは一緒ですから、2n2n+22n+4、・・・と表すことになります。)


(4)2けたの数

例えば58という2けたの数を考えたとき、10の位を表している数字は5で、1の位を表している数字は8ですが、58=5+8とは言えません。
58=10×5+8です。

10の位の数字をa、1の位の数字をbとすると、このとき5=a、8=bですから、58=10×5+8であったように、2けたの数は10×a+b、つまり、10a+bということになります。

100の位がa、10の位がb、1の位がcのとき、「3けたの数」はどう表せるでしょうか?

100がa個あって、10がb個あって、あとcですから、100×a+10×b+c、つまり、100a+10b+cです。

また、10の位がa、1の位がb、小数第一位がcである数なら、10a+b+1/10c(または、10a+b+0.1c)ということになります。


覚えよう

(1)偶数は2n、奇数は2n+1

(2)3の倍数は3n、5の倍数なら5n

3でわると2あまる数なら3n+2、5でわって3あまる数なら5n+3

(3)連続する整数はn+1n+2n+3、・・・

連続する偶数はn、n+2、n+4、・・・(または、2n、2n+2、2n+4、・・・)
連続する奇数はn、n+2、n+4、・・・(または、2n+1、2n+3、2n+5、・・・)

(4)2けたの数は10a+b

3けたの数は100a+10b+c


整数をnを使って表すわけ

多分、「数」にあたる英語がnumber(ナンバー)だから、その頭文字のnを使っているのだと思われます。

また、2つの別のものを表すときのように、nだけで足らなくなったら、アルファベットで連続しているmを使います。

例えば、2つの偶数が出てきたら、2m、2nと表します。

mathematics 空間図形 四角錐(大阪府公立・21年前期理数科)

大阪府公立高校入試問題、21年度の前期理数科4番、空間図形の問題です。

大阪府公立でしばしば出題される、三平方の定理を使って3辺の長さがわかっている三角形の高さを求める問題が(2)で顔を出しています。

また(3)は、相似を使って垂直であることを証明する問題です。

4、左図において、立体A−BCDEは正四角錐である。底面BCDEは1辺の長さが6cmの正方形であり、AB=12cmである。Fは、底面4(1)BCDEの対角線の交点である。このとき、直線AFは底面BCDEと垂直である。Gは、Bから辺ACにひいた垂線と辺ACとの交点である。Hは、辺AD上にあってDH=2CGとなる点である。BとHを結ぶ。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。


(1)正四角錐A−BCDEの体積を求めなさい。

(2)線分CGの長さを求めなさい。

(3)BH⊥ADであることを証明しなさい。


(解いてみる)
(1)
4(1)の2学校の定期テストの問題であれば難問ですが、入試問題としては典型的な標準問題。確実に点を稼がないといけない問題です。

BC=6、CD=6より、1:1:√2を用いてBD=6√2。だからBF=3√2。
三平方の定理を使って、

4(1)の3







四角錐の体積=底面積×高さ×1/3より
6×6×3√14×1/3=36√14


(2)求めるCGをxとして方程式を作ることを考えます。空間図形の問題を楽にとくコツは、必要な平面だけを取り出してそこで考えることです。

4(2)三平方の定理を使う問題の中で、解法を知っておかないといけない問題、「辺BGを2通りの方法で表して等式(方程式)をつくる」の問題です。

4(2)の2













(3)DH=2CGよりDH=3、よってAH=9を書き込んでおきます。
「空間図形の問題を楽にとくコツは、必要な平面だけを取り出してそこで考える」、必要な平面をかいて、それを見て、どう解くかを考えます。

4(3)
垂直の証明に「定番」はありません。状況に応じて、「相似」でいくか、「三平方の定理」でいくか、何かそれ以外の方法があるかを考えます。

平面ABDの図を眺めると、△ABFと△BDHの相似が言えたら∠AFB=∠BHD=90度を証明できますから、その方針でいこうと試してみます。

△ABFと△BDHにおいて
AB:BD=12:6√2=2:√2
BF:DH=3√2:3=√2:1
一見違う比のように見えますが2:√2を√2でわったら√2:1で、実は同じ比です。そこで、AB:BD=2:√2も√2:1に書き換えておきます。

また、AB=ADだから∠ABF=∠BDH

よって、2組の辺の比が等しくその間の角が等しいので
△ABF∽△BDH

相似な図形の対応する角は等しいので
角AFB=角BHD=90度

以上より、BH⊥AD


(解いた後の感想)
(1)は入試問題としては楽なほうに入ります。

(2)も頻出問題であり、CGを求めさせることでさらに解きやすくなっていますが、「あ、あの問題だ」と思いつかないと難問になってしまいます。

(3)は、単純な合同や相似の証明と違うので、受験生によってはとまどう人がいるかもしれません。
合同、相似以外の証明も練習しておく必要があります。
「証明に実は決まった書き方はない、理由を述べては書く癖をつけておけば満点の答案が書ける」と、度胸をすえて取り組んでおくことです。

mathematics 角錐の体積が角柱の3分の1になる証明

中1の体積の授業では、最初に体積を求める公式、角柱・円柱の体積=底面積×高さ、角錐・円錐の体積=底面積×高さ×1/3を覚えてもらいます。
このとき必ず出る質問が、「なぜ、『錐』の体積は『柱』の3分の1になるんですか?」です。

「理屈で求めるのは中学生には無理なんだよ、高校で習う積分を使わないと説明できないんだ。」
「なんか学校でやりましたよ。」
「円柱と円錐の容器に水を入れて、円錐の容器3杯分が円柱になるのを確かめただけと違う?中学生は公式を丸暗記して使うしかないと思うよ。」
と、お茶をにごして切り上げるものの、中学生にわかるように教えてあげられないかなとはいつも思っています。

『錐』の体積が『柱』の体積の1/3になることの証明、円錐だと私の力量では無理ですが、最も基礎的な立体である四角柱だったらなんとか中学生にもわかる説明ができないこともありません。

縦a、横b、高さcの四角柱(直方体)を例に証明してみましょう。

直方体
図の四角柱の体積は、底面積×高さの公式より、a×b×c=abcです。














この四角柱を角錐に分解します。
四角錐3

















まず、下の長方形(縦a、横b)を底面とする四角錐(高さc)と上の長方形(縦a、横b)を底面とする四角錐(高さc)を考えます。
四角錐1四角錐2
四角錐の体積が四角柱の体積のk倍であると仮定すると、それぞれの四角錐の体積はa×b×c×kと表わされます。







もとの四角柱からこの2つの四角錐をとった後には三角錐が2つ残ります。
三角錐2三角錐1
この三角錐それぞれの体積を式で表わします。

1つの三角錐の体積がもとの四角柱の体積のk倍だと仮定すると、三角錐1個分の体積はa×c×1/2×b×kと表わすことができます。








上の図からわかるように、四角柱は2つの四角錐と2つの三角錐、合計4つの角錐に分解できます。

4つの角錐の体積を表わす式の和と、もとの四角柱の体積を表わす式とが等しいはずですから、
(a×b×c×k)×2+(a×c×1/2×b×k)×2=a×b×c
2abck+abck=abc
3abck=abc
k=abc/3abc
k=1/3

四角錐の体積は四角柱の体積の3分の1倍です。


見やすいように、数式ソフトで書いた式ものせておきます。

4つの角錐の体積の合計を求める式・・・
合計の式










方程式・・・
方程式







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