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勉強をしている子どもたちが、悩み、知りたい、理解したいと思いながら、今までは調べる方法がなかった事柄を、必要かつ十分な説明でわかりやすく記述したサイトです

超簡単

math 超簡単 変域

変域とは

変域とは、「変」=「変数」の、「域」=「範囲」のことです。

そして、変数とは「いろいろな値をとる文字」と定義されますが、関数で「xとyのこと」と覚えたら悩まなくてすみます。

要するに、変域とはxとyの範囲のこと、もっとわかりやすく言うと、「xがいくらからいくらまでか」、「yがいくらからいくらまでか」のことです。

さらに、変域をきかれたときは、答えは□≦x≦□□≦y≦□の形になるとういうことをぼんやりとでもいいので覚えておいてください。


問題を解くときの頭の使い方

例題:深さが30cmの容器に容器がいっぱいになるまで水を入れる。水面の高さが毎分3cmの割合で高くなるとき、水を入れはじめてからx分後の水面の高さをycmとする。xとyの変域を求めなさい。

まず、xから。

最初に、問題の後半を見直して、xが何であるかを確認します。
「x分後」とあるので、xは「分」、つまり水を入れはじめてからの「時間」です。

水を入れはじめた瞬間の「時間」は0です。
だから、□≦x≦□の左の□は0であり、ものごとは0から始まり、0も含みますから、不等号は<ではなくて≦です。

□≦x≦□の右側ですが、永遠に水を入れ続けることはできない、から出発します。
深さ30cmの容器に3cmずつ水を入れていくわけですから、30÷3で10分で容器はいっぱいになるはずです。
だから、□≦x≦□の右側は10です。

以上より、xの変域は0≦x≦10ということになります。

次に、yの変域を考えてみましょう。

まず、問題を見直して、yが何であるかを確認します。「水面の高さをy」と書いてあるので、yは水面の高さです。

水を入れはじめた瞬間の「水面の高さ」は0です。その0も含みますから、不等号は<ではなくて≦です。

□≦y≦□の右側、これは簡単です。問題を見直すだけでわかります。
「深さが30cmの容器」とあるので、30です。

以上より、yの変域は0≦y≦30ということになります。


まとめると、次のようになります。

(1)変域をきかれたとき、答えは□≦x≦□、□≦y≦□と、2つの数ではさむ形になるのが普通です。

例外として、範囲が正の数であるときの0<xがあります。

(2)不等号は、≦であることがほとんどで、その数自身を含まない<であることはまれです。

不等号が<になるのは、図形の問題くらいです。
例えばxが三角形のひとつの角であるとき、xの変域は0<x<180となり、=がつきません。なぜなら、角xがちょうど0や180のときは直線になってしまって、もはや三角形とは言えないからです。

(3)変域の少ないほうの数字、つまり、□≦x≦□の左側の□に入る数字は、問題文中に特別の指定がある以外は、0です。

(4)□≦x≦□の右側は、問題文を読み直してx、yが何なのかを確認したらわかります。
読み直しただけでわかることがほとんどですが、計算が必要なときも30÷3程度の簡単な計算です。


変域の求め方、まとめ

1、答えは□≦x≦□の形であることを思い出す。

2、xが何か、yが何かを、問題を見直して確認する。

3、不等号は、図形の問題以外は<ではなくてになる。

4、□≦x≦□の左側、小さい数はであることがほとんどである。

5、□≦x≦□の右側、大きい数は、もう一度問題文を見直して、xやyが何であるかを確認したらわかる。



math 超簡単 比例・反比例

普段、このブログは、塾の授業でやや「難しい」と思われる単元のうち、ほりさげて考えてもらいたいことを中心に書いています。
しかし、基本的なことをわかりやすく説明し、きちんと理解してもらうことも塾の大切な仕事の一つです。

そこで、子どもたちの苦手な分野を中心に、『超簡単』シリーズを企画しました。
数学の苦手な人でも「こうすれば誰でも簡単に解ける」というコツを書いていきたいと思います。

今日は受験生がよく忘れてしまっている単元、「比例・反比例」です。


これだけは覚えておく

比例の式はy=ax反比例の式はy=a/x
比例、反比例の問題を解くときは、必ずこの式から出発します。


まず、比例・反比例の式の求め方から。


比例の式


y=ax代入

例題1:yはxに比例し、x=2のときy=−6である。yをxの式で表せ。

(解き方)
比例の式はy=axだから、「比例」の文字を見たら、y=ax

y=axにx=2、y=−6を代入してaを求める。
−6=2a
−2a=6
a=−3
aがわかったら式は完成。
y=−3x


反比例の式

反比例の式


y=a/xのaは、a=xy

例題2:yはxに反比例し、x=3のとき、y=4である。yをxの式で表せ。

(解き方)
反比例の式は
反比例の式



そしてa=xyだから、「反比例」の文字を見たら、a=xy

だから、a=xy=3×4=12
a=12

反比例2



答えはy=12/x


コツ:比例の文字を見たらy=axに代入、反比例の文字を見たらa=xy


表と、比例・反比例

例題3:次のような表で表される関数がある。yをxの式で表せ。

(1)
比例表




(解き方)
表の下欄のyがいつも上欄xの−2倍になっています。
これは比例の目印。
比例だから、「y=axに代入」。
できるだけ数字の簡単なx=1、y=−2を代入します。
−2=a
−a=2
a=−2
aを求めることができたので
答えはy=−2x

ところがもう一度表を見直すと、この−2は最初から上欄、下欄の関係でわかっていました。
ちょっと悔しいところです。


(2)
反比例表





(解き方)
表の上の欄と下の欄を見ると、かけたら常に−12になっています。
これが反比例の目印。
反比例の式はy=a/xで、「a=xy」
xとyをかけたらいつも−12になっているから、
答えはy=−12/xです。


比例のグラフ

例題 4:(1)比例y=−3x、(2)y=3/4xのグラフをかけ。

(解き方1)
(1)
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。

次に、もっとも簡単な数、x=1をy=−3xの式に代入してみます。
そうするとy=−3
x=1、y=−3ということは、座標でいうと(1,−3)

以上より、まず原点に点をうち、次に(1,−3)に点をうち、2点を通る直線を引いて終わりです。

比例グラフ(左のグラフは途中でとめていますが、変域が指定されていないときは、実際のグラフはグラフ用紙の端から端までかいてください。)















(2)
まず、比例のグラフは必ず原点を通ります。

次に、もっとも簡単な数、x=1をy=3/4xの式に代入しようと考えますが、そうするとy=3/4という分数になって困ります。
こういうときは、分母と同じ数、4を代入します。
そうするとy=3
x=4、y=3ということは、座標でいうと(4,3)

以上より、まず原点に点をうち、次に(4,3)に点をうち、2点を通る直線を引いて終わりです。
比例グラフ2















(解き方2)
中2の1次関数と同様、「傾き」という考え方を使ってかく方法です。

(1)(2)
比例のグラフは必ず原点を通るので、原点から出発することは(解き方1)と同じです。

次に、y=−3xだと、マイナスなので「右に下がる」、−3なので右に1進んで、下に3下がったところに点をうちます。

原点とその点を結ぶとグラフの完成です。

y=3/4xのときは、原点から出発し、4右へ行って、3上に進んだところに点をうちます。

原点とその点を結ぶとグラフがかけます。

比例グラフ3
















反比例のグラフ

例題5:反比例y=12/xのグラフをかけ。

(解き方)
反比例y=a/xの比例定数はa=xyを使って、グラフもかいていきます。

この問題の場合、a=12だから、xy=12です。
xとyをかけたら12なので、かけて12になるxとyの組合せを見つけていきます。

(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)などが見つかります。

この4つの点をグラフにうち、その点を結んでいきます。

注意すべきは、マイナスの数も考えないといけないこと。
かけて12になる組合せは、(−2,−6)、(−3,−4)、(−4,−3)、(−6,−2)もあります。

この4つの点もうちこみ、その点を結びます。

反比例グラフ反比例のグラフは双曲線ですから、グラフは2ヶ所にないといけません。


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