science 慣性と慣性の法則

ニュートンが発見した運動の３法則といわれるものがあります。

第１法則（慣性の法則）　静止または等速直線運動をする物体は力が作用しないかぎりその状態を保つ。
第２法則（運動方程式）　物体に力がはたらくと、その方向に、力に比例し質量に反比例した加速度を生ずる。
第３法則（作用反作用の法則）　物体が他の物体に力をおよぼすとき、力をおよぼされた物体は、同一直線上にあって大きさが等しい逆向きの力をはたらき返す。

この稿でとりあげるのは、第１法則の慣性、慣性の法則です。


慣性と慣性の法則のちがい

慣性とは、すべての物体が持っている、静止しているものは静止し続けようとし、運動をしている物体は運動し続けようとする性質のことです。

慣性の法則とは、すべての物体は慣性をもつので、物体に力がはたらかないときや、力がはたらいていてもその力がつりあっているとき、静止している物体は静止を続け、運動をしている物体は等速直線運動をし続けるという、運動についての法則です。

「慣性」と「慣性の法則」の２つの言葉の区別はあやふやになりがちですが、「慣性」はすべての物体が持っている「性質」、「慣性の法則」はすべての物体の運動について成り立っている運動の「法則」です。


慣性の法則が成り立っていることが確かめられる実験

コップにトランプをのせ、その上にコインをのせます。

トランプを指ではじいてとばします。

コインはトランプと一緒にとばないで、下に（コップの中に）落ちていきます。

コインには慣性の法則がはたらいているので、静止しているコインは静止し続けようとします。
コインの下で支えていたトランプがなくなったので、静止し続けようとするコインは下に落ちていくわけです。



だるま落としとよばれる玩具は、慣性の法則を遊びに利用したものです。

とちゅうのこまを槌ではじきとばします。

はじきとばされたこまの上にのっていたこまは、慣性の法則により、静止し続けようとします。
それで、上のこまはそのまま下にストンと落ちます。


電車と乗客の動き

止まっていた電車が急に動き始めたとき

電車が止まっているとき、電車の中のつりかわも乗客も静止しています。





電車が急に発進したとき、静止していたつりかわと乗客は慣性の法則により静止し続けようとしますが、電車に接着しているつりかわのつけねと乗客の足は電車と一緒に動いてしまうので、つりかわと乗客は図のように電車の進行方向とは逆の方向に傾きます。



走っていた電車がブレーキをかけて止まるとき

電車が同じスピードで走っているとき（等速直線運動をしているとき）、電車の中のつりかわも乗客も等速直線運動をしています。





電車がブレーキをかけたとき、等速直線運動をしていたつりかわと乗客は、慣性の法則により等速直線運動をし続けようとしますが、電車に接着しているつりかわのつけねと乗客の足は止まろうとする電車にくっついたままなので、つりかわと乗客は電車の進んでいた方向に傾きます。



つりさげられた物体につけた糸をひっぱる問題

天井からつりさげた物体の下にひもがついています。そのひもを手で下にひき下げます（どちらのひもも、強くひけば切れる程度の細い糸です）。

ゆっくりひいたときと、すばやくひいたときで、物体より上のほうのひもが切れるか、物体の下につけたひもが切れるかがちがってきます。












下のひもをすばやくひいたとき

つりさげた物体は、つりさげられた状態で静止しているので、慣性の法則より、そのまま静止し続けようとします。

下のひもをすばやくひくと、物体は静止し続けようとするので、下のひもを物体とひもをひいた手でひっぱりあうことになり、物体の下につけたひものほうが切れてしまいます。




下のひもをゆっくりとひいたとき

物体の下のひもをゆっくりとひくと、その力が物体に伝わり、物体も下に動こうとします。

今度は天井と物体がひっぱりあって、物体の上につけたひものほうが切れてしまいます。








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science 運動・エネルギーの発展問題（３）（仕事・仕事の原理・仕事率・仕事とエネルギー）

仕事

物体に力を加えて、その力の向きに物体を動かしたとき、「仕事」をしたという。

力を加えても動かないとき、仕事の大きさ＝０であり、仕事をしたとはいえない。

重力に逆らって持ち上げたときは、力の向きに移動したから仕事である。
持ち上げたまま横に動いたときは、加えた力の向き（上向き）と移動の向き（水平方向）が違うから、仕事をしたとはいえない。

仕事の大きさ（Ｊ）＝力の大きさ（Ｎ）×移動距離（ｍ）

物体を持ち上げるとき
加える力は、物体にはたらく重力と同じ大きさである。
仕事（Ｊ）＝重力（Ｎ）×持ち上げた高さ（ｍ）

床に置いた物体を横に動かすとき
加える力は、物体と床の面との間にはたらく摩擦力と同じ大きさである。
仕事（Ｊ）＝摩擦力（Ｎ）×移動距離（ｍ）


仕事の原理

滑車や斜面を理科では「道具」ということがある。
動滑車や斜面を使うと、物体にはたらく重力よりは小さい力で物体を動かすことができる。
しかし、この場合、大きい距離を移動させないと同じ高さに到達しない。

定滑車

天井に固定された滑車を定滑車という。

aNの物体を持ち上げるにはaNの力でひもを引かないといけない。また、bm持ち上げるには、ひももbm引く必要がある。

つまり、定滑車は、物体の移動の向き（上向き）と、ひもを引く向き（下向き）が違うだけで、力も距離も等しいままである。






動滑車


物体を移動させると、滑車も動く滑車を動滑車という。

図を見たらわかるように、２人で協力して物体を持ち上げているのと一緒だから、aNの重力に逆らって物体を持ち上げるには力は半分のa/2Ｎですむ。

ところが、物体をbm持ち上げるには、ひもは２倍の２bm引かないといけない。

仕事の大きさは、a×bと、a/2×2b＝a×bとなって、動滑車を使っても使わなくても、仕事の大きさは変わらない。






斜面


斜面で、１Ｎの重力をうけている物体を斜面にそって引き上げるのに、左の図では１×３／５＝０.６Ｎの力を加えればよい。
ところが移動距離は５mである。
この場合の仕事の大きさは、０.６×５＝３Ｊ

斜面を使わずに直接持ち上げるときの仕事の大きさは１×３＝３Ｊ

結局、斜面を使っても使わなくても仕事の大きさは変わらない。

このように、仕事では、道具を使っても使わなくても力×距離の値は常に一定である。このことを「仕事の原理」という。


仕事率

仕事の「能率」を表わしたもの。
仕事を秒でわって、１秒にどれだけの仕事をしたかを示す。
単位はワット（Ｗ）である。

仕事率（Ｗ）＝仕事（Ｊ）÷秒

仕事（Ｊ）＝力（Ｎ）×距離（ｍ）であった。この式を仕事率の式に代入してみる。

仕事率（Ｗ）＝仕事（Ｊ）÷秒
＝力（Ｎ）×距離（ｍ）÷秒
＝力（Ｎ）×（距離（ｍ）÷秒）
＝力（Ｎ）×速さ（ｍ／秒）

つまり、仕事率（Ｗ）＝力（Ｎ）×速さ（ｍ／秒）と表わすこともできる。


電力（Ｗ）と仕事率（Ｗ）

電力（Ｗ）は、電気器具の仕事率（Ｗ）のことである。

電気では、熱量（Ｊ）＝電力（Ｗ）×秒
仕事では、仕事（Ｊ）＝仕事率（Ｗ）×秒


仕事とエネルギー

仕事は、実際にある力である距離を移動させた量であり、エネルギーは、仕事をしたら、ある力のものをある距離移動させることができる可能性である。
比喩的に言えば、仕事は過去形、エネルギーは未来形。

位置エネルギー

重力に逆らって物体をある高さまで持ち上げるとき、した仕事の大きさは重力×高さであり、これが位置エネルギーとして蓄えられたと考えればよい。

位置エネルギー（Ｊ）＝重力（Ｎ）×基準面からの高さ（ｍ）

位置エネルギーは、重力に比例し、高さに比例する。

運動エネルギー

運動している物体が別の物体にあたって押すとき、別の物体はある速さで動き始めてやがて速さはだんだん遅くなり、最後に速さ０になって静止する。
速さの変わる運動だから、次の諸公式が成り立つ。

運動する物体が別の物体を押す力は、力＝質量×加速度
また、速さの変わる運動だから、移動距離＝速さ×時間÷２
また、速さ＝加速度×時間

これらの式を仕事＝力×距離の式に代入すると、

仕事の大きさ＝力×距離
＝（質量×加速度）×（速さ×時間÷２）
＝質量×（加速度×時間）×速さ÷２
＝質量×速さ×速さ÷２

運動エネルギー（Ｊ）＝質量（ｋｇ）×速さ（ｍ／秒）×速さ（ｍ／秒）÷２

運動エネルギーは、質量に比例し、速さの２乗に比例する。


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science 運動・エネルギーの発展問題（２）（落下運動）

落下運動は、だんだん速さが大きくなる運動です。

落下運動でだんだん速さが大きくなる理由

物体の速さを変えるには、力を加える必要があります。

等速直線運動は、運動をしている向きに力がはたらいていないので速さが変わりません。
運動している物体にも重力がはたらいているのではないかと思われがちですが、重力の向きは鉛直下向きであり、水平方向に移動している物体の運動に関係する力ではありません（静止している物体にも重力ははたらいているのに、物体が横向きに運動することはないことを考えれば納得できます）。

落下運動にはたらいている力も重力です。
ところが、水平方向に運動している等速直線運動と違い、落下運動の場合は重力のはたらく向きが運動の向きと同じ向きなので、運動をしている物体をさらに同じ下向きに重力がぐいっ、ぐいっと引っ張ることになり、だんだん速さが大きくなっていきます。


落下運動では、速さが時間に比例する

落下している物体には、常に一定の重力がはたらき続けています。
下の図で、矢印は１の速さを生じさせる力だとします。a 秒ごとにこの力を加え続けます。そうすると、最初の a 秒は１の速さで進み、次の a 秒は１＋１＝２の速さ、次の a 秒は２＋１＝３の速さで物体は進むはずです。









同じことが落下運動でも言えるはずです。 a 秒ごとに重力が１の速さを生み出すとします。次の a 秒で２の速さ、次の a 秒は３の速さ・・・・と、時間に比例して速さは大きくなります。

この a 秒が無限にゼロに近づいても理屈は同じです。瞬間、瞬間に重力によって速さが大きくなり続けることになります。

また、仮に決めた a 秒ごとに、速さは一定数の１ずつ大きくなり続けます。この定数のことを「加速度」といいます。

重力の加速度は、物体の質量に関係なく９.８ｍ／秒２乗



であることがわかっています。
落下する物体の瞬間の速さ（ｍ／秒）＝９.８×落下時間（秒）

落下し始めて１秒後の速さは９.８ｍ／秒だということになります。

加速度は、くわえた力が大きいほど大きくなり、また物体の質量が大きいほど小さくなります。
「物体に力がはたらくと加速度が生じ、加速度はくわえた力に比例し、物体の質量に反比例する」と公式化されています。

力の単位はＮですが、これは、質量１ｋｇ の物体に１ｍ／秒２乗の加速度を生じさせる力を１Ｎと決めたものです。


質量が違う物体の落下する速さ

「物体に力がはたらくと加速度が生じ、加速度はくわえた力に比例し、物体の質量に反比例する」。
質量が２倍になると、はたらく重力も２倍になります。これだけだと、力が２倍なので加速度は２倍です。
ところが、加速度は質量の２倍に反比例もするので、質量が２倍になると加速度は今度は２分の１になってしまいます。

質量が２倍になっても、加速度はもとの２倍の２分の１、すなわち１倍になってしまって、もとのままです。

質量が変わっても加速度は変化しない、ということです。

つまり、形・体積が同じで空気抵抗が同じであれば、重いものも軽いものも同じ速さで落下します（ガリレオがピサの斜塔でおこなったとされる実験が有名です）。


速さと距離

運動する物体の速さと進んだ距離との関係をグラフを使って考えてみましょう。

まず、わかりやすい等速直線運動から。
等速直線運動の場合、時間に関係なく速さは一定なので、横軸に時間、縦軸に速さをとってグラフを書くと図のようになります。












等速直線運動の時間と距離の関係を表すグラフは、距離＝速さ×時間より、距離が時間に比例するグラフです。












視点をかえて、等速直線運動の速さのグラフで距離がどこに表われているかを考えてみましょう。
距離＝速さ×時間です。
ｂｃｍ／秒の速さでa秒間に進んだ距離は、ｂ×a＝ab ｃｍ、つまり、図の長方形の面積が距離を表わしていることがわかります。
「速さのグラフでは距離は面積で表わされる」これは重要です。





次は、落下運動の速さ、距離のグラフです。

落下運動では、速さは時間に比例します。

速さ÷時間が加速度ですから、左の速さのグラフでは、傾きが加速度を表わしています。








次は、落下運動の距離を表わすグラフです。
距離＝速さ×時間、ところが落下運動の速さ＝加速度×時間ですから代入すると距離＝（加速度×時間）×時間となり、距離が時間の２乗に比例していることがわかります。
つまり、落下運動では、距離のグラフは２乗に比例のグラフになります。


速さ＝距離÷時間です。
２乗に比例のグラフで、距離÷時間は、ｙの増加量÷ｘの増加量ということになり、これは数学でいう「変化の割合」です。
つまり、理科では、速さ＝変化の割合ということもできます。




最後に、落下運動の速さのグラフでは、どこに距離が表われているかを考えてみましょう。

「速さのグラフでは距離は面積で表わされる」
左の図の三角形の面積が落下運動の距離を表わしていることになります。

三角形の面積ですから、ｂ×a÷２
つまり、
落下運動の距離＝速さ×時間÷２であることがわかります。

さらにこの式に、速さ＝加速度×時間を代入して、
落下運動の
距離＝加速度×時間×時間÷２
距離＝９.８×時間×時間÷２
であることがわかります。


放り出された物体の運動















横の向き（水平方向）には、落ち始めてからは何の力もはたらいていないので、速さは変わりません。等速直線運動と同じで、横向きに等間隔で進みます。

縦の向き（鉛直方向）には重力がはたらいています。落下運動と同じで、時間に比例して速さは大きくなっていきます。
単位時間あたりに縦向きに移動する距離は、時間の２乗に比例して大きくなります。


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science 運動・エネルギーの発展問題（１）（力の合成・分解と斜面）

「運動とエネルギー」の発展問題のうち、力の合成・力の分解と、斜面上にある物体にはたらく力についてまとめておきます。


力の合成と分解

斜面上にある物体にはたらく力を理解するには、力の合成と力の分解について知っておかなければなりません。


ある力（ ｆ ）とつりあう力（Ｆ）は、同一直線上で、向きが逆で、同じ大きさの力です（力のつりあいの３条件）。
１人で力 ｆ に対抗しようと思えばＦの力を出す必要があります。では２人で共同して対抗するときはそれぞれどんな力を出せばよいでしょうか。

それを解決する原理が「力の平行四辺形」です。
ある１点にＦ１とＦ２の２つの力がはたらくとき、２人の共同で生み出される力ＦはＦ１とＦ２を２辺とする平行四辺形の対角線で表わすことができるという法則です。
そして、このときのＦ１、Ｆ２を分力、共同で生み出された力Ｆを合力といいます。


力の合成

２力、Ｆ１とＦ２が与えられているとき、この２つの力の共同で生み出される合力Ｆを求めるのが「力の合成」です。

１、力Ｆ１の端の点Ｑを通り、力Ｆ２に平行な直線と、力Ｆ２の端の点Ｐを通り力Ｆ１に平行な直線を引き、引いた２つの直線の交点をＲとします（Ｆ１とＦ２を２辺とする平行四辺形を書いたことになります）。
２、ＯとＲを結んでできた線分ＯＲが、合力のＦです（平行四辺形の対角線が合力です）。





力の分解

力Ｆが与えられているとき、力Ｆと同じはたらきをする２つの分力Ｆ１とＦ２を求めるのが「力の分解」です。
このとき、２つの分力の方向が先に明示してあります。

１、合力Ｆの端の点Ｒを通り、２方向を示す直線に平行な２本の直線を書き、もとの与えられた直線との交点を求めます。

２、求められた交点をＰ、Ｑとすると、ＯＰ、ＯＲが力Ｆの分力となります。





















力の分解がわかって、初めて斜面の問題を考えることができます。


斜面におかれた物体にはたらく力

どんな物体にもはたらいている力は重力です。
ところが、斜面におかれた物体はまっすぐ下に落ちることはありません。摩擦力のない斜面では、斜面にそってすべり落ちるはずです。なぜでしょうか。

物体にはたらいている重力（赤色）は、斜面上では、斜面を垂直に押す力（ピンク色）と、斜面をすべり落ちようとする力（青色）に分解される、が答えです。

見方を変えると、重力と、斜面から物体がうける抗力（緑色）の合力が、斜面をすべり落ちようとする力だということになります。

斜面を垂直に押す力は、物体が斜面からうける抗力とつりあっているので、物体にはたらいている力は斜面をすべり落ちようとする力だけになり、だから物体は斜面にそってすべり落ちるわけです。


斜面をすべり落ちないように支える力

斜面をすべり落ちようとする力とつりあう力を考えればよいので、図の青色の点線の力、つまり、斜面をすべり落ちようとする力と同一直線上にあって、向きが逆で、大きさの等しい力で物体を支えてやると、物体は静止し続けます。


斜面で、支えていないのに物体が静止しているとき

斜面と物体との接触面に摩擦力がはたらき、その摩擦力が斜面をすべり落ちようとする力とつりあっていたら、物体は静止したままです。


相似

斜面をつくっている三角形と、重力と斜面を垂直に押す力を２辺とする三角形とは、相似（形が同じで、辺の比が等しい）になります。

また、斜面をつくっている三角形と、重力と斜面をすべり落ちようとする力を２辺とする三角形も、やはり相似です。



だから、斜面をつくっている三角形の辺の比が、図のように３：４：５であれば、斜面をすべり落ちようとする力：斜面を垂直に押す力：重力の比も３：４：５です。

したがって、例えば物体の質量が１００ｇだとすると、
重力：すべり落ちようとする力＝５：３、
重力は１００ｇ＝１Ｎより、
すべり落ちようとする力をｘとすると、
１：ｘ＝５：３
５ｘ＝３
ｘ＝０.６
となり、すべり落ちないように支えるには、０.６Ｎ（ばねはかりの目盛りで６０ｇ）の力が必要だということになります。

入試では、三平方の定理を使う問題も出題されます。
数学で習いますが、角度が９０度・６０度・３０度の直角三角形の辺の比は１：２：√３です。

このとき、斜面をすべり落ちようとする力：重力：斜面を垂直に押す力の比も、１：２：√３です。








また、９０度・４５度・４５度の直角三角形の辺の比は１：１：√２です。

この場合、斜面をすべり落ちようとする力：斜面を垂直に押す力：重力も１：１：√２です。









斜面の角度

以上の図を見てもわかるように、斜面が急斜面であるほど、すべり落ちようとする力は大きくなり、斜面を垂直に押す力は小さくなります。


斜面と運動

運動は、速さが一定である運動（等速直線運動が代表的）と、速さが変わる運動（時間に比例して速さが大きくなる落下運動が代表的）に分かれます。

斜面をすべり落ちている物体の運動は、落下運動と似た、時間に比例して速さが大きくなる運動です。


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