math 見取り図と展開図の関係 （小学算数）

塾生にはいつも偉そうに教えていますが、私にも苦手な問題がいくつかあります。展開図の問題もその一つです。


例題１：左の立方体の見取り図の３つの面に書かれたA、B、Cのアルファベットを、下の展開図の正しい場所に、向きも考えて正しく書き入れなさい。










（解き方と解答）
見取り図の頂点に自分で記号をつけておくと、確信をもって正解にたどりつくことができます。

見取図に記号を書き込んだら、見取図を参考に、展開図のAが書かれた面に記号を記入していきます。
文字Aの上側がアエ、左がアイ、下がイウ、右がエウです。

次に、見取図のBの書かれている面の上の辺がイウであることを参考に、展開図のBの書かれているであろう面に記号を記入していきます。
このとき、文字Aの下がイウで、そのイウが文字Bの上であることと、見取図の文字Bの左がイカ、右がウキであることが参考になります。











最後に、見取図で記号イウが文字Bの上であることを確認して、展開図に文字Bを記入します。













同じように、見取図でCの書かれている面の上の部分がウエであることを手がかりに展開図上でCの面を見つけて、その面に記号ウキクエを書き込み、その記号を参考にCを記入します。










（２）も同じように、見取図に書き込んだ記号を参考に、展開図に記号を記入していくと、正解に到達できます。











例題２：図は立方体の見取図とその展開図です。辺ABの真ん中の点をM、辺BCの真ん中の点をNとし、3点M、N、Fを結ぶとき、この線を展開図に書き入れなさい。


展開図

















（解き方と解答）
やはり見取図を参考に、先に展開図にA〜Hの記号を記入してから考えます。
このとき使える技は、同じ面の向かい合う辺に注目することです。
まず、BCの向かい合う辺であるFGを記入します。

そうすると、CGと向かい合うDHを記入できます。

さらにそのDHの向かい合う辺であるAE、GHと向かい合う辺であるFE、そして最後にFEと向かい合う辺BAというふうに、見取図を見て同じ面の向かい合う辺に着目すると、すべての頂点に正確に記号を記入することができます。






















展開図にA〜Hの記号が記入できたら、問題に合わせて、ABの真ん中にM（２か所）、BCの真ん中にNを記入して準備完了です。


















見取図を参考に、MとN、MとF、NとFを結びます。






















*****算数の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****

English これで満点 高校入試 英作文（７） 否定文

英文には原則として主語＋動詞が絶対に必要です。
つまり英文の骨格は主語＋動詞＋〜であり、そして動詞で英文が決まるという立場から英作文問題を考えるシリーズです。
この稿では否定文を取り上げます。

動詞は、be動詞と一般動詞の２つに分かれるので、２つをはっきり区別して使い分けないといけません。

さらに、「動詞」の概念を広げるものとして、
（１）be動詞＋動詞のing形（進行形）、
（２）助動詞＋動詞の原形、
（３）be動詞＋動詞の過去分詞形（受け身）、
（４）have(has)+動詞の過去分詞形（現在完了）
の４つがあります。

以上の知識を踏まえた上で、否定文の英作文を考察します。


否定文

「〜である」、「〜をする」という普通の文（肯定文といいます）に対して、「〜ではない」、「〜しない」と述べる文を否定文といいます。

be動詞の否定文…be動詞（is,am,are,was,were）の後にnotを入れる
一般動詞の否定文…一般動詞の前にdo not、does not（主語が３人称単数のとき）、did not（過去形のとき）を入れる

進行形（be動詞＋〜ing）…be動詞の後にnotを入れる
受け身（be動詞＋過去分詞）…be動詞の後にnotを入れる
助動詞（can,will,must,may,should,had better）…助動詞の後にnotを入れる
現在完了（have,has＋過去分詞）…have,hasの後にnotを入れる


まとめると、大きく２つに分かれることがわかります。

（１）do not, does not, did notを動詞の前に入れる・・・一般動詞の文
（２）be動詞、助動詞、have・hasの後にnotを入れる・・・be動詞、助動詞、現在完了の文


be動詞の否定文・進行形の否定文・受け身の否定文

例題7(1) この町には公園がまったくありません。

「〜がある」の否定の文です。
「〜がある」はthere is, there areであり、be動詞の否定文なのでbe動詞の後にnotを入れます。

正解
There are not any parks in this town.

注意：「〜がない」はthere is not a＋名詞ですが、「〜がまったくない」はthere are not any＋名詞の複数形となります。

肯定文と否定文とで使い分けないといけない形容詞・副詞には次のようなものがあります。
「いくつかある」some〜　⇔　「まったくない」not any〜
「〜もある」〜too　⇔　「〜もない」not〜 either
「すでに〜した」have already 過去分詞　⇔　「まだ〜していない」have not 過去分詞〜yet


例題7(2) トムは今宿題をしていません。

進行形（be動詞＋〜ing）はbe動詞をもちいるので、否定文を作るときはbe動詞の否定文の規則に従います。

正解
Tom isn't doing his homework now.


例題7(3) パーティでその歌は歌われませんでした。

受け身（be動詞＋過去分詞）もbe動詞をもちいるので、否定文を作るときはbe動詞の否定文の規則に従います。

正解
The song wasn't sung at the party.


一般動詞の否定文

一般動詞をもちいた英文の否定文は、主語＋don't,doesn't,didn't＋動詞の原形の語順になります。

現在形・・・do not＋動詞の原形
現在形で主語が３人称・単数のとき・・・does not＋動詞の原形
過去形のとき・・・did not＋動詞の原形


例題7(4) そのサッカーの試合が終わるまで、雨は降りやまなかった。

天候を述べるので主語はit、「降りやむ」は「降るのがやむ」と考えてstop＋ing、「〜まで」は接続詞のtill（またはuntil）をもちいます。

stopは一般動詞であり、「降りやまなかった」で「〜た」とあるので過去形だから、否定文はdid not＋動詞の原形の形です。

正解
It didn't stop raining till(until) the soccer game ended.


助動詞の否定文

be動詞と同じで、助動詞の後にnotが入ります。

will→will not, won't
can→cannot, can't（can notはほとんど使わない）
may→may not
must→don't have to, must not, mustn'tは「してはいけない」のときだけ
should→should not
had better→had better not


例題7(5) あなたは食べ過ぎないほうがよい。

「〜したほうがよい」は助動詞のhad betterを使うので、「〜しないほうがよい」はその否定形です。

正解
You had better not eat too much.

注意：had betterは、２語で１つの助動詞です。だから、had better not〜の形になります。よく出題されます。


例題7(6) あなたは今出発する必要はありません。

「〜しないといけない」はmustを使いますが、「〜しなくてよい」、「〜する必要はない」はどう表現するのでしょうか？

正解
You don't have to start now.

注意：must notは、「してはいけない」という意味なので、「〜しなくてよい」、「〜する必要はない」と言いたいときはdon't have toをもちいます。


現在完了の否定文

be動詞や助動詞の文と同様に、have(has)の後にnotを入れます。


例題7(7) 私たちはまだ教室を掃除していません。

正解
We haven't cleaned our classroom yet.

注意：「まだ〜していない」と言うときは、文末にyetを置きます。


notを使わない否定表現

no

例題7(8) 彼はこの町に友人がいません。

「〜がない」は、形容詞のnoを使って表現できます。
noの後にくる名詞は複数形です。

正解
He has no friends in this town.


few,little

a few, a littleは「少しある」、few, littleだと「少ししかない」と訳します。

例題7(9) 正午までにほとんど時間がありません。

正解
There is little time before noon.


never

neverには、「決して〜ない」と、現在完了でもちいて「今まで〜したことがない」の２つの意味があります。

例題7(10) 私は決してあきらめない。

正解
I will never give up.


例題7(11) 私はこれほど美しい絵を見たことがありません。

正解
I have never seen such a beautiful picture.


部分否定

notが動詞を否定しないで、形容詞や副詞だけを否定する場合を部分否定といいます。
not every　（すべて〜とは限らない）
not all　（すべて〜とは限らない）
not always　（いつも〜するとは限らない）


例題7(12) 彼はいつも忙しいわけではありません。

正解
He is not always busy.





***** 英語の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます。*****

math 作図・最短距離の難問

最短距離を作図させる問題で、最後に出てくる難問があります。

例題1:両岸LとMが平行で、川幅がrの川がある。この川に、岸に垂直な橋をかけて、たがいに川の反対側にあるA地点からB地点まで行く道のりが最も短くなるようにしたい。このとき、橋CDの位置を作図しなさい。









（考え方・解き方）
問題文に「道のりが最も短くなるように」とあるので、いわゆる最短距離を求める問題です（最短距離については、こちらを参照）。

最短距離になるのは2地点間を直線で結んだときですが、この問題では川に垂直な橋をかけないといけないので、そのことをどう考慮するのかという疑問が生じます。
橋の幅は一定でrですから、橋の長さCDは常に一定でrです。
ということは、AC+BDが最短になればよいわけです。
そこに気づくかどうかが、この問題を解けるかどうかの分かれ目です。

もう一度、「最短距離とは直線になるときである」ことを確認しておきましょう。
AC+BDが、直線になればよいのです。
では、AC+BDが直線になるように作図するにはどうしたらよいか。

AC+BDが直線になるように図の線分BDを移動できないかと考えると、正解が見えてきます。
すなわち、線分BDを上に移動させてDがCに重なるとき、AC+BDが直線になることがわかります。

そしてこのとき、上方に移動させた距離（線分BB'の長さ）は、線分CDと等しい長さですから、川幅rと同じ長さです。

以上より、この問題の解き方は次のようになります。

(1)点Bから直線Lに垂線をひく。
(2)垂線上の、点Bから川幅rの長さ分上方の点を見つけて、その点をB'とする。
(3)点Aと点B'を直線で結び、この直線と直線Lとの交点Cを見つける。
(4)点Cから直線Mに垂線をひき、Mとの交点をDとする。
(5)点AとC、CとD、BとDをむすぶ。





次の問題は、昨日、解き方をとっさには思いつけなかった問題です。

例題2:図で、点A、Bの座標はそれぞれ(1,0)、(4,5)で、点C、Dはy軸上の点である。点Dのy座標は正であり、点Cのy座標は点Dのy座標より1だけ大きい。四角形ABCDの周の長さが最小となるときの点Cの座標を求めよ。











（考え方・解き方）
この問題でも、線分AB、線分CDの長さは常に一定だから、BC+ADの長さが最短になればよいことに気づくかどうかが、解けるかどうかの分かれ目です。

例題1との違いは、点Aと点Bがともにy軸の右側にあることです。
最頻出事項である、こちらの2番目の問題と同じであることに気づけば、やっと解くことができます。
つまり、(1)最短距離は常に直線になる、(2)2点がある直線に対して同じ側にあるときは、ある点と、もう一方の点の直線について対称な点を直線で結べばよい、を使います。

さらに、間にじゃまな線分CDが入ることは例題1と共通であることから、同じ発想で解けることに気づかないといけません。

以上の考察を経て、次のように解くことができます。

線分ADとBCとの間に、長さ1の線分CDが入るので、点A(1,0)を真上に1だけ移動した点A'(1,1)を考えます。

点A'と、y軸について対称な点をA''とします。

点Bと点A''を結ぶ線分A''Bを結びます。
この線分が点A''と点Bを結ぶ最短距離です。
このとき、線分A'C+BCは最も短いことになります。
そして、四角形CDAA'は平行四辺形だからCA'=DA。
以上より、BC+ADの長さも最短であるといえます。

最後に、点A''と点Bを通る直線の式を求めて点Cの座標を求めます。

点A''(-1,1)と点B(4,5)を通る直線の式は、傾きが4/5だから、y=4/5x+9/5。
よって、点Cの座標は(0,9/5)です。



この稿のポイント

１、2点を結ぶ最短距離は、直線をひいて求める。

２、ある点から直線上の点を経て別の点に至る最短距離は、どちらか一方の点の直線について対称な点を見つけて、その点ともう一方の点を結ぶ線分をひいて求める。

３、間に長さがわかっている線分がはさまるときは、一方の点を移動して、その点ともう一方の点を結ぶ線分を考える。




*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****

math 高校入試の難問 円と接線

接線の性質として知っておかないといけないことは2つです。
(1)接線は、接点を通る半径と垂直である。
(2)接線の長さは等しい。
(1)の、「接線は、接点を通る半径と垂直」は気づきやすいのですが、(2)の、「接線の長さは等しい」を、時々忘れてしまうことがあります。







例題1:図で、EA、DF、ECはそれぞれ点A、B、Cで円Oと接する接線である。AE=8のとき、△DEFの周の長さを求めよ。









（解き方と解答）
AE=8と、「接線の長さは等しい」が言える部分を図示してみます。

接線の長さが等しいから、CE=8。

また、DB=DA、FB=FC。
よって、FD=DB+FB=DA+FC。

△DEFの周の長さDE+EF+FD
=DE+EF+(DB+FB)
=DE+EF+(DA+FC)
=(DE+DA)+(EF+FC)
=AE+CE
=8+8
=16


次の問題は、「ひらめき」がないと、難問です。

例題2:図のように、半径2cmの円Oと半径1cmの円O'が点Aで接している。直線Lは2つの円とそれぞれ点B、Cで接し、直線Mは2つの円と点Aで接している。直線LとMの交点をDとする。四角形OADBの面積を求めよ。








（解き方と解答）
「接線は、接点を通る半径と垂直」は絶対に使うでしょうから、垂直の記号を記入してみます。

そうすると、ODを結べばよいのではないかと思いつきます。
ODで2つの三角形に分割することで、△BODの面積、△AODの面積を求めたらよいのではないかと推測できるからです。

その後が、難しい。
BDの長さとADの長さがわかれば△BODと△AODの面積を求めることができますが、どうやってBD、ADの長さを求めるか？






「接線の長さは等しい」が使えるように、等しい部分に印をつけると、やっと解き方が見えてきます。









それと、頻出事項である次の問題を思いうかべることができれば、やっと解くことができます。

O'からBOに垂線をひき、交点をEとします。

(1)台形の高さを求めるときは垂線をひく、
(2)2つの円の半径の差を利用できる、
の2つが、EO'をひく根拠です。

△EOO'が直角三角形なので、三平方の定理を使って、EO’=2√2。









だから、BCの長さも2√2。




BD=AD=CDより、BD=CD=2√2÷2=√2。
BD=√2、AD=√2を使うことができます。

△BOD=2×√2×(1/2)=√2。
△AOD=2×√2×(1/2)=√2。

よって、四角形OADBの面積は、
四角形OADB=△BOD+△AOD
=√2+√2
=2√2。








この稿のポイント

接線の問題を解くときは、

１、(1)接線は、接点を通る半径と垂直である。
(2)接線の長さは等しい。
の、2つを利用する。

２、三平方の定理を使って解くことが多いが、頻出問題の解法を理解しておくことが「ひらめき」に通じる。




*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****

math 高校入試の難問 内接する球・外接する球

球の体積を求める公式は4/3πr^3、球の表面積を求める公式は4πr^2です。（球の体積と表面積についてはこちらを参照。）
球だけの体積・表面積を求める問題であれば、公式にあてはめれば求めることができます、

この稿では、難問であることが多い、球と他の立体を組み合わせた問題を取り上げます。


円柱や円錐に内接した球

例題1:円錐の底面と面を共有している半径5cmの半球と、その上に半径3cmの球がある。半球と球はたがいに外接し、また、円錐の側面にもそれぞれ内接している。
(1)円錐の高さを求めよ。
(2)円錐の体積を求めよ。










（解き方・考え方と正解）
空間図形の難問を解くときの入り口である、
「空間図形の応用問題は、相似か三平方の定理をもちいて解く」と、
「求めたい線分がふくまれている平面を見つけてその平面を書き出し、書き出した平面の図を使って解く」から、
出発します。

この問題では、球の半径を求めてそれを手がかりにしないと円錐の高さや体積を求められません。
まず、球の半径がふくまれる平面を見つけて、その平面を書き出します。

左の図が、その平面です。
この平面を書き出す理由は、この平面だけが球の半径と円錐との接点を書き込める唯一の面だからです。

また、重要な定理「接線は、接点を通る半径と垂直に交わる」を使うためでもあります。

円錐の頂点をA、半径3cmの球の中心をB、半径5cmの球の中心をC、2つの球の接点をD、この平面上で2つの球が円錐と接している点をそれぞれE、Fとします。

半径3cm、5cmを図に書き込みます。
BDにも3cm、DCにも5cmを書き込んでおくのがポイントです。

(1)円錐の高さを求めよ。
平面の図をながめて、相似が利用できることに気がつけば解くことができます。

2組の角がそれぞれ等しいから、△ABE∽△ACFです。

求めたいACの長さをxとすると、BE:CF=AB:ACより、
3:5=x-8:x
5(x-8)=3x
5x-40=3x
5x-3x=40
2x=40
x=20

円錐の高さは20cmです。


(2)円錐の体積を求めよ。
やはり、同じ平面で求めることができます。

2組の角がそれぞれ等しいので、△ACF∽△CFG。

だから、求めたい円錐の半径をyとすると、AC:GF=CF:GFより、
20:y=5:GF
20×GF=5y
GF=y/4

直角三角形△CGFで三平方の定理を使って、yの値を求めることができます。




















円錐の半径を求めることができたから、円錐の体積は、
4√15/3×4√15/3×π×20×1/3
=1600π/9立方cmです。


関連して、よく出題される定理

左の図で、三角錐に内接する球の半径を求める方法としてよく使う定理があります。

球の半径が接する面に垂直であることを利用します。

三角錐A-BCDの体積は、△ABC、△ACD、△ABD、△BCDを底面として高さが球の半径である4つの三角錐の和と考えることができます。

△ABC×球の半径×1/3+△ACD×球の半径×1/3+△ABD×球の半径×1/3+△BCD×球の半径×1/3=三角錐A-BCDの体積


この稿のポイント

他の立体に球が接している問題を解くときは、

１、球の半径がふくまれている平面を見つけてその平面を書き出し、書き出した平面の図を使って解く

２、定理「接線は、接点を通る半径と垂直に交わる」が利用できるように平面を書き出す

３、空間図形の応用問題は、相似か三平方の定理をもちいて解く



*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****

English これで満点 高校入試 英作文（６） 動詞の拡張（進行形・助動詞・受け身・現在完了）

英文の骨格は主語＋動詞＋〜であり、そして、動詞で英文が決まるという立場から英作文問題を考えるシリーズです。

この稿では、「動詞」の概念を広げて、進行形、助動詞、受け身、現在完了を取り上げます。

英文には原則として主語＋動詞が絶対に必要ですが、この「動詞」には、be動詞＋動詞のing形（進行形）、助動詞＋動詞の原形、be動詞＋動詞の過去分詞形（受け身）、have(has)+動詞の過去分詞形（現在完了）の４つが含まれ、動詞の意味を広げます。


「〜している」「〜していた」は進行形（be動詞＋動詞のing形）

「〜している」はis(am),are+動詞のing形、「〜していた」はwas,were+動詞のing形で表します。


例題6(1) 父はそのとき車を洗っていました。

日本文が「〜している」、「〜していた」で、『い』が含まれていたら進行形で表します。

「そのとき」は、at that timeか、thenです。

正解
My father was washing his car at that time.


注意：進行形をつくるときに注意するのはbe動詞です。「〜している」のとき、主語が単数形であればis(am,youのときのみare)、複数形であればareを使います。

「父」は、「私の父」と明記していないときでもmy father、同様に「車」もhis carです。


例題6(2) ケンが帰宅したとき、彼の父と弟はテレビでサッカーの試合を見ていました。

進行形の英作文で最もよく出題される問題です。

正解
When Ken came home, his father and brother were watching a soccer game on TV.


注意：「〜したとき」は、『た』だから過去形であり、When+主語+動詞の過去形です。

「見る」には、see,watch,look atなどがありますが、テレビを見るときはwatchを使います。
「テレビで」「ラジオで」はon TV, on the radioです。


問題文に注意、助動詞+動詞の原形

中学範囲では、次のような問題文であれば助動詞を使わないと表現できません。

「〜するつもりだ」「〜するでしょう」…will,be going to
「〜できる」「〜れる」…can,be able to
「〜してもよい」、「〜かもしれない」…may
「〜しなければならない」…must, have to、「〜にちがいない」…must
「〜するべきだ」…should
「〜したい」…would like to
「〜したほうがよい」…had better

以上の７個です。


例題6(3) あなたは明日の朝、早く起きる必要はないでしょう。

「明日の朝」であり、「〜でしょう」だから、未来を表すwillを使います。「〜しなければならない」はmust、「〜する必要はない」はmustの否定形のnot have toです。

正解
You will not (won't) have to get up early tomorrow morning.


注意：この文には直接関係しませんが、英語では１つの文中に複数個の助動詞を使うことはできません。未来のwillを残し、can→be able to、must→have toにします。

mustの否定形はnot have to（〜する必要はない）です。must notは「〜してはいけない（禁止）」のときしか使いません。

canの過去形はcould、willの過去形はwouldですが、mustの過去形はhad toです。


例題6(4) 昨日はとても暑かったので、まったく眠れませんでした。

「眠れませんでした」の『れ』を見逃さないようにしないといけません。can(過去形could)を使います。

「とても〜だから…だ」は、so〜that…です。

「まったく〜ない」は、not〜at allです。

正解
It was so hot that I couldn't sleep at all last night.


「〜される」「〜された」は受け身（be動詞+動詞の過去分詞形）

「〜される」はis(am),are+動詞の過去分詞形、「〜された」はwas,were+動詞の過去分詞形で表します。


例題6(5) その赤ちゃんは彼女に世話をされています。

「されている」という問題文だから、受け身で表します。

「世話をする」は、連語のtake care ofを使います。

正解
The baby is taken care of by her.

注意：take care ofのような連語は、受け身の文でもセットで扱います。


例題6(6) 私は北海道生まれの北海道育ちで、スキーが得意です。

「生まれる」=be born、「おどろく」=be surprised、「育つ」＝be brought upなどは、日本語では受け身ではありませんが、英語では受け身になります。

「〜が得意だ」は、be good atです。

正解
I was born and brought up in Hokkaido, so I'm good at skiing.

注意：英語では、前置詞のあとに動詞がくるときは必ず動名詞（動詞のing形）になります。
「スキーをするのが得意である」=be good at skiing


「ずっと〜している」「〜したことがある」「〜したところだ」は現在完了（have(has)+動詞の過去分詞形）

「ずっと〜している（継続）」、「〜したことがある（経験）」、「〜したところだ（完了）」という日本文のときは、have(has)+動詞の過去分詞形を使います。


例題6(7) お久しぶりです。

「お久しぶりです。」を、英文が構成できるように「私たちはお互い長い間会っていない。」と言い換えてから英文を作ります。

正解
We haven't seen each other for a long time.


例題6(8) この町に来てから２年たちますが、そのとき以来ずっとここに住んでいます。

「２年たちました」+「この町に来てから」、「ずっとここに住んでいます」+「そのとき以来」という構造の英文になります。

正解
Two years have passed since I came to this town(city), I have lived here since then.

注意：「この町に来た」のは過去のある時点だから過去形、「２年たった」のは継続中のことで、「ずっと住んでいる」のも継続した状態だから、現在完了を使います。


まとめ

１、進行形
「〜している」はis(am),are+動詞のing形、「〜していた」はwas,were+動詞のing形で表す。

２、助動詞
「〜するつもりだ」「〜するでしょう」…will,be going to
「〜できる」「〜れる」…can,be able to
「〜してもよい」、「〜かもしれない」…may
「〜しなければならない」…must, have to、「〜にちがいない」…must
「〜するべきだ」…should
「〜したい」…would like to
「〜したほうがよい」…had better

３、受け身
「〜される」はis(am),are+動詞の過去分詞形、「〜された」はwas,were+動詞の過去分詞形で表す。

４、現在完了
「ずっと〜している（継続）」、「〜したことがある（経験）」、「〜したところだ（完了）」という日本文のときは、have(has)+動詞の過去分詞形を使う。




***** 英語の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます。*****

math 高校入試の難問 三平方の定理 30°60°90°→1:2:√3と1:2:√3→30°60°90°

角度が30°60°90°の直角三角形の辺の比は1:2:√3になります。
そのことを利用する問題は、高校入試で最も取り上げられるものの一つです。

逆に、辺の比が1:2:√3であれば、その三角形は角度が30°60°90°の直角三角形です。
こちらを利用する問題は、難問であることが多い。


角度がわかっているときに1:2:√3を利用する問題

例題１：1辺が6cmの立方体ABCD-EFGHがある。辺AD,AE,EF,FG,CG,CDの中点を点P,Q,R,S,T,Uとするとき、六角形PQRSTUの面積を求めよ。










（解き方と正解）
六角形PQRSTUのそれぞれの辺は、立方体の面である正方形の中点を結んだ線分だから、すべて同じ長さとなります。

つまり、六角形PQRSTUは正六角形です。

また、正六角形PQRSTUの各辺の長さは、2辺の長さが3cmの直角二等辺三角形の斜辺だから、1:1:√2の比が成り立ち、3√2cmです。




ここまでの考察で、この問題は、1辺が3√2cmの正六角形PQRSTUの面積を求めたらよいことがわかります。

さらに、正六角形は、1つの内角が120°であり、3本の対角線で6つの合同な正三角形に分けられます。

ところが、正三角形の1つの角は60°であり、頂角の二等分線を引くことで2つの直角三角形に分けることができ、1:2:√3の比を使うことができます。

6個で正六角形をつくっている正三角形の底辺の長さは3√2cm、高さは3√2÷2×√3=3√6/2だから、正三角形の面積は3√2×(3√6/2)×(1/2)=9×2√3/4=9√3/2です。

以上より、正六角形PQRSTUの面積は、正三角形6個分であり、9√3/2×6=27√3です。

このように、正三角形（そして正三角形に分けることができる正六角形）の問題は、1つの角が60°であることに着目して1:2:√3を利用して解くことができます。


この問題は、角度が60°であることに着目して辺の比1:2:√3を利用する問題であり、入試問題としてはそう難しいものではありません。

ところが、次のような問題だと難問になってしまいます。


1:2:√3を見つけて角度に気づく問題

例題２：図で、点Dは△ABCの辺BC上の点で、∠ADC=90°である。点E、Fはそれぞれ線分ADを直径とする円と、辺AB、ACとの交点である。AB=5cm、BC=8cm、AC=7cmのとき、次の問いに答えよ。
（１）線分ADを直径とする円の面積を求めよ。
（２）線分EFの長さを求めよ。


（解き方と正解）
（１）線分ADを直径とする円の面積を求めよ。
直径ADの長さを求め、半径を求めて、それから面積を求めようと方針を立てます。

この問題の場合、ADを直接求めようとすると遠回りになります。
BD=x、DC=8-xとして、直角三角形の△ABDと△ADCで、三平方の定理を使ってADの2乗を2通りの式で表して等式（方程式）をつくります。










この方程式を解きます。











BD=5/2とわかったので、直角三角形△ABDで再び三平方の定理をもちいてADの長さを求めることができます。
しかし、ここでAB:BD=5:5/2=2:1であることに気づくと、BD:AB:AD=1:2:√３が使えることがわかり、ずっと楽になります。

BD=5/2だからAD=5√3/2。
直径ADが5√3/2だから、半径は半分の5√3/4です。

以上より、ADを直径とする円の面積は、
(5√3/4)×(5√3/4)×π=75π/16平方cmです。


（２）線分EFの長さを求めよ。
どうやったらEFの長さを求めることができるか、なかなか気づきにくい問題です。
こういうときは、最後の手段、「習っていないことは出題されない」から解き方をしぼっていきます。

中学生が図形の問題を解くときに使えるもので習っているのは、「相似」か「三平方の定理」だけです。

ところが、求めるEFをふくむ三角形は△AEFですが、直角三角形ではないので（△ABCの3辺、5,7,8では直角三角形にはなりません(三平方の定理の逆)）、三平方の定理ではなく相似で解けないか、と考えます。

また、△ABDの3辺の長さに1:2:√3の関係が成り立っているから、∠ABD=60°であることを使えないかも頭に入れておきます。

△AEFと相似な三角形を見つけたいのですが、このままではまだ手がかりがありません。

ADが直径であること、∠AFEが弧AEの円周角であることから、線分EDを引いてみます（この決断を、一番思いつきにくいかもしれません）。

そうすると、ADが直径だから∠AED=90°であること、∠BAD=30°だから∠ADE=60°であることもわかります。

それがわかると、∠ABC=∠AFE=60°、∠BAC=∠FAEだから（2組の角がそれぞれ等しいから）、△ABC∽△AFEであることがわかります。

あとは、△AFEのAEかAFかどちらかの長さがわかれば、相似を利用してEFの長さを求められます。

ここで、また、∠ADE=60°が生きてきます。

△AEDが∠ADE=60°の直角三角形だから、ED:AD:AE=1:2:√3。

ゆえに、AE:AD
=AE:5√3/2
=√3:2

AE:5√3/2=√3:2
AE×2=5√3/2×√3
AE×2=15/2
AE=15/4

△ABC∽△AFEより、AE:AC=EF:CB
15/4:7=EF:8
7×EF=15/4×8
7×EF=30
EF=30/7

やっと求めることができました。


この稿のポイント

30°60°90°の直角三角形の辺の比は1:2:√3だが、逆に辺の比が1:2:√3であればその三角形は角度が30°60°90°の直角三角形である。

わかった角度を書き込まないと解けない問題がある。



*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****

English これで満点 高校入試 英作文（５） 自動詞・他動詞＋第５文型の英文

英文の骨格は主語＋動詞＋〜であり、そして、動詞で文型（文の構造）が決まるという立場から英作文問題を考えるシリーズです。

この稿では、
高校入試英作文（１）（英文は主語＋動詞、第３文型の英文）
高校入試英作文（２）（英文の語順、第１文型の英文）
高校入試英作文（３）（補語、第２文型の英文）
高校入試英作文（４）（目的語、第４文型の英文）に続き、
第５文型（主語＋動詞＋目的語＋補語）の英文を書く練習をします。

英文の構造は動詞で決まりますが、第５文型（主語＋動詞＋目的語＋補語）の英文をつくる動詞は最も数が少なく、簡単に覚えられます。


第５文型の英文を作る動詞

第５文型をつくる動詞は３種類に分かれます。

１、「…を〜にする」タイプ
make（…を〜にする）,keep（…を〜にしておく）,leave（…を〜したままにする）

（例文）
Her words made me happy.（彼女の言葉は私を幸せにした。）
I always keep my room clean.（私はいつも部屋をきれいにしている。）

２、「…を〜と呼ぶ」タイプ
call（…を〜と呼ぶ）,name（…を〜と名づける）,elect（…を〜に選ぶ）

（例文）
We call the boy Ken.（私たちはその少年をケンと呼ぶ。）
I named the cat Tama.（私はその猫をタマと名づけた。）

３、「…を〜と思う」タイプ
think（…を〜と思う）,find（…を〜とわかる）,believe（…を〜と信じる）

（例文）
I think myself cool.（私は自分がかっこいいと思う。）
He found the book interesting.（彼はその本がおもしろいとわかった。）


第５文型は主語＋動詞＋目的語＝補語

第５文型の英文では、主語＋動詞＋目的語＝補語の関係が成り立っています。
We call the boy Ken.の文では、the boy（その少年）＝Ken（ケン）であり、Her words made me happy.の文では、me（私）＝happy（幸せな）です。

そして、補語になるのは、Kenのような名詞とhappyのような形容詞です。


問題5(1) その知らせは私を幸せにした。

第５文型の英文で、最も重要なものです。

主語は「その知らせは」で、そのあとが「私を」「幸せに」「する」ですから、動詞を「…を」「〜に」『する』のmakeに決めます。


正解
The news made me happy.


注意：news（発音はニューズ）には、（新聞・ラジオなどの）「ニュース」という意味以外に、「知らせ」、「消息」、「便り」などの意味があります。


問題5(2) この花を日本語で「さくら」といいます。

問題文には主語がありませんが、英文には原則として主語が必要なので、主語を何にするかを自分で決めないといけません。

問題文に主語がないとき、普通は、代名詞のI,we,you,theyやpeople（人々は）などを主語とします。

この問題の場合、外国人に日本のことを紹介する文ですから、「私たち日本人は」という意味でweが適当でしょう。

次に、動詞は、「この花を」「さくらと」だから、「いう」をcall（呼ぶ）にします。

修飾部分の「日本語で」はin Japaneseです。


正解
We call this flower 'sakura' in Japanese.


問題5(3) いつも部屋をきれいにしておかないといけません。

この問題文も主語がありませんが、話し相手に言っている言葉だと推測できるので主語はyouです。

動詞の部分は、「しておかないといけません」とあるので、助動詞のmust＋動詞とします。
動詞は「部屋を」「きれいに」「する」だから、「する」は「部屋を」「きれいに」「保つ」と考えてkeepにします。


正解
You must always keep your room clean.


注意：always（いつも）は頻度を表す副詞（他にsometimes(時々),often(よく),usually(たいてい)など）で、一般動詞の前、助動詞・be動詞の後に置きます。


５文型と他動詞・自動詞

これまでに学んだ５文型は次のような文の構造をしていました。

第１文型・・・主語＋動詞
第２文型・・・主語＋動詞＋補語
第３文型・・・主語＋動詞＋目的語
第４文型・・・主語＋動詞＋目的語＋目的語
第５文型・・・主語＋動詞＋目的語＋補語

第３文型、第４文型、第５文型で使われる動詞が、動詞のあとに目的語を必要とする動詞で他動詞といわれます。
第１文型、第２文型で使われる動詞が、目的語を必要としない自動詞です。

英作文をするとき、使いたい動詞が、目的語をともなわないといけない他動詞なのか、目的語が不要な自動詞なのかをいつも意識しておくことが必要です。


注意：多くの英語の動詞には、他動詞としての用法と、自動詞としての用法の、両方の用法があります。
（例）study
I study English.（私は英語を学ぶ。）…主語＋動詞＋目的語・・・他動詞
I study at university.（私は大学で学ぶ。）…主語＋動詞（＋修飾部分）・・・自動詞


また、いろいろな文型をつくる動詞もあります。
（例）make
He made for home. （彼は家に向かった。）・・・第１文型（自動詞）
He will make a doctor. （彼は医者になるだろう。）・・・第２文型（自動詞）
She made sandwiches.（彼女はサンドイッチを作った。）・・・第３文型（他動詞）
She made me sandwiches.（彼女は私にサンドイッチを作ってくれた。）・・・第４文型（他動詞）
He makes me happy.（彼は私を幸せにする。）・・・第５文型（他動詞）


まとめ

１、第５文型（主語＋動詞＋目的語＋補語）の英文をつくる動詞を覚えておかないといけない。

「…を〜にする」タイプ
make（…を〜にする）,keep（…を〜にしておく）,leave（…を〜したままにする）

「…を〜と呼ぶ」タイプ
call（…を〜と呼ぶ）,name（…を〜と名づける）,elect（…を〜に選ぶ）

３、「…を〜と思う」タイプ
think（…を〜と思う）,find（…を〜とわかる）,believe（…を〜と信じる）

２、英作文をするとき、使いたい動詞が目的語を必要とする他動詞か、目的語をとらない自動詞かを意識しておかないといけない。




***** 英語の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます。*****

English これで満点 高校入試 英作文（４） 目的語＋第４文型の英文

英文の骨格は主語＋動詞＋〜であり、そして、動詞で文型（文の構造）が決まります。

この稿では、
高校入試英作文（１）（英文は主語＋動詞、第３文型の英文）
高校入試英作文（２）（英文の語順、第１文型の英文）
高校入試英作文（３）（補語、第２文型の英文）に続き、
第４文型（主語＋動詞＋間接目的語(〜に)＋直接目的語(〜を)）の英文を書く練習をします。


目的語、直接目的語、間接目的語

「誰かに」「何かを」「〜する」という文で、「〜に」「〜を」にあたる語を、動詞「〜する」の目的語といいます。

そして、「〜に」は間接目的語、「〜を」は直接目的語といわれることがあります。

主語＋動詞＋〜に＋〜をの構造をした英文が第４文型の英文です。

第４文型の英文をつくる動詞は限られています。


第４文型の英文を作る動詞

第４文型をつくる動詞は２種類に分かれます。

１、give（与える）のように、行為の相手が必要な動詞

give（与える）,show（見せる）,tell（話す）,teach（教える）,send（送る）,lend（貸す）,pass（手渡す）,ask（尋ねる）など。

（例文）
I gave her a doll.（私は彼女に人形をあげた。）
He showed me the picture.（彼は私に写真を見せた。）
She told me an interesting story.（彼女は私に面白い話をした。）
She teaches us English.（彼女は私たちに英語を教える。）
I asked him a question.（私は彼に質問をした。）

２、buy（買ってあげる・買う）のように、相手が必ずしも必要でない動詞

buy（買ってあげる）,make（作ってあげる）,cook（料理を作る）,choose（選んであげる）,find（見つけてあげる）,leave（残す）など。

（例文）
I bought her some books.（私は彼女に何冊かの本を買った。）
She made me a cake.（彼女は私にケーキを作ってくれた。）


問題4(1) 先生は私たちにおもしろい話をします。

主語は「先生は」で、「私たちに」「話を」「（話を）する」から、第４文型の英文をつくる動詞のtellを使うことにします。

注意：目的語の語順は、必ず「〜に」「〜を」の順になります。


正解
Our teacher tells us interesting stories.


注意：「〜を」を強調して、「〜を」「〜に」の語順にしたいときは、「〜を」と「〜に」の間に、
行為の相手が必要なgiveの仲間の動詞は、前置詞toを入れて（askだけはof）、
行為の相手がなくても使えるbuyの仲間の動詞は、前置詞forを入れて、
第３文型の英文をつくることができます。

Our teacher tells us interesting stories.
→Our teacher tells interesting stories to us.

（「〜を」＋前置詞to(of),for＋「〜に」の文は、前置詞＋「〜に」の部分が修飾部分となり、第３文型の英文です。）


問題4(2) 私に駅に行く道を教えてくださいませんか。

よく使われるので絶対に覚えておかないといけない英文の一つです。

この場合の動詞「教える」は、teachではなくて、tell（口で教える）かshow（示して教える）が一般ですが、いずれにしても第４文型の英文となります。

相手に丁寧に頼む英文なので、書き出しはCould you,Would youなどをもちいます。


正解
Could you (Would you) tell me the way to the station?


問題4(3) 兄が私にコンピューターの使い方を教えてくれました。

兄が、「私に」「使い方を」「教えた」という文ですから、teach（過去形はtaught）を使って、第４文型の英文で書きます。

「コンピューターの使い方」は、「コンピューターを使う方法」「コンピューターを使うしかた」と考えて、
how to use the computerとします。


正解
My brother taught me how to use the computer.


注意：家族を表すfather,mother,brother,sisterなどは、前に所有格（この問題だとmy）がつきます。



まとめ

１、第４文型（主語＋動詞＋〜に＋〜を）の英文をつくる動詞を覚えておかないといけない。

（相手が必要な動詞）give（与える）,show（見せる）,tell（話す）,teach（教える）,send（送る）,lend（貸す）,pass（手渡す）,ask（尋ねる）など。

（相手がなくても使える動詞）buy（買ってあげる）,make（作ってあげる）,cook（料理を作る）,choose（選んであげる）,find（見つけてあげる）,leave（残す）など。

２、第４文型（〜に＋〜を）の英文は第３文型の英文（〜を＋〜に）に書き換えることができる。そのとき、

give（与える）,show（見せる）,tell（話す）,teach（教える）などは、「〜を」＋to＋「〜に」の語順

buy（買ってあげる）,make（作ってあげる）などは、「〜を」＋for＋「〜に」の語順





***** 英語の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます。*****

English これで満点 高校入試 英作文（３） 補語＋第２文型の英文

高校入試英作文（１）（英文は主語＋動詞、第３文型の英文）
高校入試英作文（２）（英文の語順、第１文型の英文）の続きです。

この稿では、第２文型（主語＋動詞＋補語）の英文を書く練習をします。


補語と、第２文型

I am a student.（私は生徒です。）、He looks young.（彼は若く見えます。）のように、I（私）=a student（生徒）、He（彼）=young（若い）の構造の英文で、A=BのうしろのBにある語のことを補語といいます。
補語になるのは、a studentのような名詞や、youngのような形容詞です。

そして、A=Bの構造をした英文が第２文型の英文です。

A=Bの英文で、うしろのBを補語という。

A=Bの構造をした英文を第２文型という。


動詞で文型（英文の構造）が決まる

英文で最も重要な要素は動詞です。

どの動詞を選択するかによって、文型（英文の構造）が決まります。
第２文型も同様で、ある動詞を選ぶと第２文型の英文だと確定します。


第２文型の英文を作る動詞

A=Bの、=のところにある動詞が第２文型をつくる動詞で、その種類は限られており、３つのグループに分類できます。

(1)「AはBである」のタイプ
be動詞(〜である),look(みえる),keep(ままに保つ)

(2)「AがBになる」のタイプ
be動詞(〜になる),become(〜になる),come(〜になる),get(〜になる),make(〜になる),turn(〜になる)

(3)「AがBと感じられる」のタイプ
feel(感じられる),smell(においがする),sound(聞こえる),taste(味がする)

上記３種類の、補語が必要な自動詞を不完全自動詞といいます。

例文：
(1)
He looks tired. 彼は疲れているようにみえる。
(2)
She became a teacher. 彼女は先生になった。
My dream will come true. 私の夢は実現するだろう。
(3)
The story sounds strange. その話は奇妙に聞こえる。
It tastes good. それはいい味だ。


問題3(1) 彼女は親切にみえます。

英語の骨格である主語と動詞を決めます。
She(彼女は)が主語、looks(みえます)が動詞です。

動詞がlook(みえる)だから、She(A)looks(=)kind(B)の第２文型の英文になります。

注意：lookは、look atで「〜を見る」、look likeで「〜のようにみえる」の意味になります。


正解
She looks kind.


問題3(2) 富士山は日本で一番美しい山の一つです。

主語はMt. Fuji(富士山は)、動詞はis(です)の、第２文型の英文になります。
「富士山＝日本で一番美しい山の一つ」だから、one of the most beautiful mountains in Japan(日本で一番美しい山の一つ)が補語です。

注意：よく出題される表現の「もっとも〜の一つ」は、「one of the 最上級 + 複数形」だと覚えておかないといけません。

注意：be動詞は、「いる・ある」の意味のときは第１文型、「〜である」と「〜になる」の意味のときは第２文型の英文になります。


正解
Mt. Fuji is one of the most beautiful mountains in Japan.


問題3(3) 英語を学ぶ最もよい方法は英語が話されている国へ行くことです。

主語はthe best way(最もよい方法は)、動詞はis(です)であり、補語がto go(行くことだ)と決めます。

（英語を学ぶ）最もよい方法は＋〜です＋行くこと（英語が話されている国へ）の構造になります。

The best way to learn English＋…不定詞でway(方法)を修飾
is＋
to go to the countries where it is spoken…前置詞to(〜へ)を使った場所を表す副詞句to the countriesでto go(行くこと)を修飾

注意：the countries where it is spokenは、関係副詞whereが導く節where it is spokenが名詞のthe countriesを修飾しています。


正解
The best way to learn English is to go to the countries where it is spoken.



まとめ
１、不完全自動詞（補語をとる動詞で、〜だ・〜になるの意味のbe動詞をふくむ）のときは、第２文型（主語＋動詞＋補語）の英文になる。

２、第２文型の英文はA=Bの構造をしており、=の部分にあたる動詞が不完全自動詞で、Bの部分にある名詞・形容詞が補語である。




***** 英語の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます。*****