mathematics １次関数（７）（応用問題の解き方（２）：動点の問題）

１次関数の利用の問題のうち、入試に最もよく出る問題の一つが動点の問題（点が動く問題）です。
最初はわかりにくいのですが、何度か練習してコツがわかると、誰でもできるようになります。

ポイントは２つ。
（１）問題に合わせた図を書いて、図に大事なことを書き込んで、図を見て解く（数学の問題は、「頭」ではなく、「手」と「目」を使って解く）。
（２）動点の問題では、点が進んだ部分の長さをｘを使って表わし、図に書き込む

基本的な問題から初めて、いくつか練習してみましょう。


１、長方形ＡＢＣＤで、点ＰはＡを出発して、辺上を毎秒１ｃｍの速さでＤ、Ｃを通ってＢまで動く。点ＰがＡを出発してからｘ秒後の△ＡＢＰの面積をｙ平方ｃｍとするとき、次の問いに答えなさい。
（１）０≦ｘ≦５のとき、ｙをｘの式で表わしなさい。
（２）５≦ｘ≦９のとき、ｙをｘの式で表わしなさい。
（３）９≦ｘ≦１４のとき、ｙをｘの式で表わしなさい。
（４）点ＰがＡを出発してからＢに着くまでのｘとｙの関係をグラフに表わしなさい。




解き方

（１）０≦ｘ≦５のとき
Ａを出発した点Ｐが進んだ距離をｘを使って表わし、それを必ず図に書き込む。それだけで、動点の問題は簡単に解けます。

この問題の場合、毎秒１ｃｍでｘ秒進むわけですから、点Ｐの進んだ距離は１×ｘ、つまりｘです（もし、毎秒２ｃｍで動く点であれば、進んだ距離は２ｘになります）。これを図に書き込みます（左図の赤線）。


この書き込みさえできたら、図を見れば簡単に問題は解けます。

ｙは△ＡＢＰの面積ですから、三角形の面積の公式、底辺×高さ÷２より、底辺がｘ、高さが４ｃｍと考えて、ｙ＝ｘ×４÷２＝２ｘ、

つまりｙ＝２ｘが答えです。



（２）５≦ｘ≦９のとき
やはり、図を書き、点Ｐが進んだ距離をｘを使って図に書き込んでおきます。


図を見て気づかないといけないのは、点Ｐが辺ＤＣ上のどこにあろうが、△ＡＢＰの高さは図の点線の部分であり、点が動いた距離ｘとは関係がないことです。点Ｐに関係なく、△ＡＢＰの高さは５ｃｍです。

このことに気づけば、△ＡＢＰの面積ｙ＝底辺４ｃｍ×高さ５ｃｍ÷２、つまり、
求める式は、ｙ＝１０です。

（３）９≦ｘ≦１４のとき
最後のこの場面だけ、少しむずかしい。

やはり、条件に合った図を書きます。

△ＡＢＰの底辺は、図の「？」の部分です。この部分の長さはいくらなのでしょうか？
問題は、「ｙをｘの式で表わせ」なので、ｘを使って表わさないといけません。
最初、多くの人が、５−ｘとしてしまいますが、まちがいです。
短い５ｃｍから長いｘを引いたらマイナスになってしまい、辺の長さとしてはおかしい。


この図を見たら、見当がつきませんか？
そうです、「？」の部分の長さは、１４−ｘです。

点ＰがＡからＤ、Ｃを通ってＢまでの長さは１４ｃｍ。そのうち、点Ｐの進んだ距離はｘですから、求めたかった底辺の長さは１４−ｘとなります。
ここさえ理解できたら後は簡単、△ＡＢＰ＝（１４−ｘ）×４÷２より、ｙ＝−２ｘ＋２８です。

（４）最後にグラフです。

この問題の場合、変域によって式が異なるので、グラフも変域ごとに分けて書かないといけません。

０≦ｘ≦５のときは、ｙ＝２ｘのグラフです。点ＰがＡを出発した瞬間の△ＡＢＰの面積は０であり、ｘ＝５をｙ＝２ｘの式に代入するとｙ＝１０ですから、原点と点（５,１０）を結んだ直線になります。

５≦ｘ≦９のときの式は、ｙ＝１０でした。ｘに関係なく常にｙ＝１０、つまりｘ軸に平行な、真横の直線になります。
座標（５,１０）と（９,１０）を結びます。

９≦ｘ≦１４のときは、ｙ＝−２ｘ＋２８のグラフです。
時々、「先生、切片の２８をどうやって見つけたらいいのですか？」と塾生から聞かれます。「無理です！解答欄をはみ出てしまいます。」

１つの考え方は、△ＡＢＰの面積は連続しているはず。だから、グラフは点（９,１０）からの続きになります。
その後、傾きが−２だから、（９,１０）から右へ１進んで下に２下がったところに点を打っていきます。点（１４,０）で点ＰがＢに到達するので、そこで終了という発想でグラフを書きます。

別の考え方として、９秒後の面積は１０だから（９,１０）の点をとり、１４秒後に面積は０になるから（１４,０）の点を見つけ、２つの点を結ぶとグラフが書ける、でもよい。

これで完成です。


本当に理解できたかどうか、少しだけ難しくした類題を解いてみましょう。

２、（類題）長方形ＡＢＣＤがあり、点Ｐは頂点Ｂを出発して、毎秒２ｃｍの速さで辺上をＣ、Ｄ、Ａの順に頂点Ａまで動く。点Ｐが頂点Ｂを出発してからｘ秒後の△ＡＢＰの面積をｙ平方ｃｍとして、次の問いに答えよ。

（１）点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ｘの変域を求め、ｙをｘの式で表わせ。
（２）点Ｐが辺ＣＤ上を動くとき、ｘの変域を求め、ｙをｘの式で表わせ。
（３）点Ｐが辺ＤＡ上を動くとき、ｘの変域を求め、ｙをｘの式で表わせ。
（４）点Ｐが、頂点Ｂから頂点Ａまで動くときのｘとｙとの関係をグラフに表わせ。
（５）△ＡＢＰの面積が１８平方ｃｍになるのは、点Ｐが頂点Ｂを出発してから何秒後か。


解き方

大切なことは前の問題と全く同じです。それぞれの場合に分けて、しっかりと図を書いて考える。特に点Ｐが動いた距離をｘを使って表わし、図に書き込んで、図を見て考えるようにします。

前の問題との違いはただ１つ、点Ｐの動く速さが毎秒２ｃｍであることです。

（１）ＢＣの長さが８ｃｍで、点Ｐの速さは毎秒２ｃｍなので、点ＰはＢを出発してから４秒でＣに到達します。
よって、ｘの変域は０≦ｘ≦４

注意すべきは点Ｐの進んだ距離です。
毎秒２ｃｍなので、距離は２×ｘ秒、つまり２ｘとなります。

したがって、△ＡＢＰの面積は、底辺２ｘ、高さが６ｃｍだから、ｙ＝２ｘ×６÷２＝６ｘ、
ｙ＝６ｘです。




（２）点Ｐが辺ＣＤ上にあるとき、点Ｐは４秒後に点Ｃに達した後、毎秒２ｃｍだから、６÷２＝３秒、４秒＋３秒で７秒後に点Ｄまで動きます。
よって、ｘの変域は４≦ｘ≦７

このとき、点Ｐが辺ＣＤ上のどこにあろうが、△ＡＢＰの高さは図の点線の長さ、８ｃｍのままで、変わりません。

したがって、面積ｙ＝６×８÷２＝２４

式は、ｙ＝２４



（３）点ＰがＤからＡに向かうとき、点Ｄに７秒で到達した後、８÷２＝４秒でＡに着くので、
ｘの変域は、７≦ｘ≦１１

△ＡＢＰの底辺にあたるＡＰの長さ（図中の「？」）を慎重に求めなければなりません。
点Ｐが進む距離は、全部で８＋６＋８の２２ｃｍです。図の状態まで、点Ｐが進んだ距離は２ｘ、だから、ＡＰ＝２２−２ｘと気づいてください。

よって、面積ｙは、（２２−２ｘ）×６÷２、つまり−６ｘ＋６６だとわかります。

ｙ＝−６ｘ＋６６です。

（４）グラフは、変域ごとに場合分けして、直線が連続するように書いていきます。

０≦ｘ≦４のとき、ｙ＝６ｘ
ｘ＝４のとき、ｙ＝２４なので、原点と点（４,２４）を結びます。

４≦ｘ≦７のとき、ｙ＝２４
ｘ軸に平行な、真横の直線です。
（４,２４）から始まり、（７,２４）までです。

７≦ｘ≦１１のとき、ｙ＝−６ｘ＋６６
点（７,２４）からの続きになることと、そこから傾き−６であること、または１１秒後に面積が０になることから、（１１,０）を見つけて、２点を結びます。

（５）おまけの問題です。

面積を表わす３つの式が、ｙ＝６ｘ、ｙ＝２４、ｙ＝−６ｘ＋６６であったこと、ｙが面積であることを、もう一度確認しておきます。

ｙ＝６ｘのｙに１８を代入して１８＝６ｘ、この１次方程式を解いてｘ＝３
ｙ＝−６ｘ＋６６のｙに１８を代入して１８＝−６ｘ＋６６、これを解いてｘ＝８

３秒後と８秒後が答えです。

mathematics １次関数（６）（応用問題の解き方（１）：１次関数と図形）

１次関数の利用の問題のうち、図形のからんだ問題を楽に確実に解ける方法について、説明します。

重要なポイントは、（１）グラフに座標を書き込めば絶対解ける、（２）交点→連立、ｘ軸→ｙ＝０、ｙ軸→ｘ＝０、中点の公式を使いこなす、（３）どんな難問も必ず解ける、ある技がある、の３つです。

関数と面積

直線ｌは関数ｙ＝−ｘ＋９のグラフ、直線ｍは関数ｙ＝３ｘ−３のグラフである。直線ｌとｙ軸、直線ｍ、ｘ軸との交点をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとし、直線ｍとｙ軸、ｘ軸との交点をそれぞれＤ、Ｅとする。
（１）△ＡＤＢの面積を求めなさい。
（２）△ＢＥＣの面積を求めなさい。













問題を解く前に

与えられたグラフに、まず、「直線の式」を記入します。応用問題ほど、「手」と「目」を使って解いていきます。「頭」を使うようでは解けません。グラフや図に式が書いていないとき、問題をさっと読んだ段階で式を記入しておきます。

（グラフの問題に関わらず、問題文を何度も読み直すようでは応用問題は解けません。問題文に書いてあることはすべて図やグラフに書き写しておいて、図やグラフだけを見て解くようにしないと、応用問題は永遠に解けません。）

（１）の解き方

１次関数のグラフを使った応用問題は、「座標」さえ書き込んでおけば絶対に解けます。（１）では、点Ａ、Ｂ、Ｄが出てきました。この３点の座標をグラフに書き込んでいきます。
点Ａは、直線ｌと、ｙ軸との交点です。「ｙ軸との交点」と気がつけば、直線ｌの式にｘ＝０を代入します。なぜなら、ｙ軸上の点は、（０,１）、（０,２）･･･と、すべてｘ座標は０だからです。
ｙ＝−ｘ＋９に、ｘ＝０を代入してｙ＝９
だから点Ａの座標は（０,９）です。

点Ｄも同様に、直線ｍとｙ軸との交点ですから、ｍの式ｙ＝３ｘ−３にｘ＝０を代入します。そうすると、ｙ＝−３
よって、点Ｄの座標は（０,−３）とわかります。

重要：「ｙ軸との交点」を求めるときは、ｘ＝０を式に代入する

最後に点Ｂの座標を求めます。
点Ｂが、直線ｌと直線ｍとの交点であることに気づかないといけません。そして、習ったように、直線の交点の座標は２つの式を連立方程式として解いたときの解となる。たびたび出てきますから、「交点」＝「連立」と頭にたたき込んでおきます。

重要：交点と気づけば連立方程式をたてて解く

直線ｌ：ｙ＝−ｘ＋９、直線ｍ：ｙ＝３ｘ−３、この連立方程式を解いて、点Ｂの座標を求めます。















左図より、点Ｂ（３,６）



この段階で、問題の図、グラフには、式と座標の書込みができていないといけません
。
あとは、自分の書き込んだ座標を見て、答えを求めるだけです。
△ＡＤＢの面積ですから、底辺はＡＤの長さで書き込んだグラフより９＋３＝１２、高さはＢのｘ座標にあたるので３、よって、面積は１２×３÷２＝１８








重要：式と座標をグラフに書き込むと、簡単に解ける

（２）の解き方

１次関数のグラフを使った応用問題は、「座標」さえ書き込んでおけば絶対に解けます。（２）では、点Ｃ、Ｅが出てきたので、この２点の座標を求めて、グラフに書き込んでいきます。

Ｃ、Ｅは、直線とｘ軸との交点です。ｘ軸上の点はすべて、（１,０）、（２,０）･･･というふうに、ｙ座標が０です。つまり、「ｘ軸との交点」は、すべてｙ＝０なので、式にｙ＝０を代入すればよいことになります。

直線ｌの式にｙ＝０を代入すると、０＝−ｘ＋９
この方程式を解いて、ｘ＝９
よって、Ｃの座標は（９,０）

直線ｍの式にｙ＝０を代入して、０＝３ｘ−３
この方程式を解いて、ｘ＝１
よって、Ｅの座標は（１,０）

重要：「ｘ軸との交点」を求めるときは、ｙ＝０を式に代入する

△ＢＥＣの底辺はＥＣで８、高さは点Ｂのｙ座標で６
よって、面積は８×６÷２＝２４













面積を２等分する直線の問題

３点Ａ（０,８）、Ｂ（−３,２）、Ｃ（５,６）を頂点とする△ＡＢＣがある。点Ａを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線ｌの式を求めなさい。

問題を解く前に

グラフに「座標」を書き込んで、グラフだけを見て解くようにします。

解き方

直線の式を求める問題ですが、やはり、その前に座標を求めて書き込みます。「座標」さえ書き込んでおけば、どんな問題でも解けます。







ここでは、さらに「面積を２等分」という問題のやり方を知っておかないといけません。
「面積を２等分」の問題の場合、三角形の面積を求めてそれを半分にする問題もないことはありませんが、きわめて例外です。

図を見たらわかるように、面積を求めなくても、底辺の中点を通る直線で三角形の面積は２等分されます。面積を二等分する直線の問題は、実は、「中点」を求める問題なのです。

重要：面積を二等分する問題は、中点を求める問題である






ですから、この問題も、ＢとＣの中点を考えてそれをＭとし、点Ｍの座標を求めればよいのです。

では、中点の座標はどうやって求めればよいのでしょう？

中点とは、２つの点の真ん中です。真ん中とは、２つのものの平均のことです。例えば、１と５の真ん中は３です。式は（１＋５）÷２。１と５の平均値です。
座標でも同様、２つの点の真ん中、平均をとれば、それが中点です。ただし、座標はｘ座標とｙ座標に分かれますから、それぞれの真ん中、平均だということになります。
中点のｘ座標は、２つの点のｘ座標の平均、（一方のｘ座標＋他方のｘ座標）÷２、ｙ座標も、（一方のｙ座標＋他方のｙ座標）÷２で求められます。
ｘ座標は、２点のｘ座標をたして２で割る、ｙ座標は、２点のｙ座標をたして２で割る、と覚えておきましょう。








中点を求める公式より、点Ｍのｘ座標は、Ｂ、Ｃのｘ座標をたして２で割って（−３＋５）÷２＝１、
点Ｍのｙ座標は、Ｂ、Ｃのｙ座標をたして２で割って（２＋６）÷２＝４
ゆえに、Ｍ（１,４）となります。

点Ｍの座標（１,４）を書き込むと、直線ｌは、２点Ａ（０,８）、Ｍ（１,４）を通っています。
２点さえわかれば、直線の式は求められます。

この２点の座標を１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂの式に代入して、
８＝ｂ
４＝ａ＋ｂ
この連立方程式を解いて、ａ＝−４、ｂ＝８

だから、直線ｌの式はｙ＝−４ｘ＋８


発展問題は、たった１つの技ですべて解ける

１次関数の入試問題、発展問題は何種類もあるように見えますが、実はたった１種類しかありません。「ある点の座標の一方がわかれば、その点を通る直線の式から他方の座標を見つける」、これで、すべて解けます。
そのことを見ていきましょう。

直線ｌは関数ｙ＝２ｘ＋１のグラフ、直線ｍは関数ｙ＝−ｘ−２のグラフである。点Ｐ（t,０）を通りｙ軸に平行な直線と直線ｌ、ｍの交点をそれぞれＱ、Ｒとする。ＱＲ＝１５のとき、tの値を求めなさい。ただし、t≧０とする。

解くための最優先事項はこれまでと同じです。
「問題に関係のあるすべての座標をグラフ中に書き込む」です。













この問題では、点Ｑと点Ｒの座標も書き込まないと解けません。それに気づけば解けたも同様です。

点Ｑから考えます。

ｘ座標は点Ｐと同じになるはずですからｔです。

問題はｙ座標です。どこにもヒントがないように見えます。しかし、ヒントのない数学の問題はありません。
この場合のヒントは、点Ｑを直線ｌが通っていることです。
直線ｌの式はｙ＝２ｘ＋１ですが、その意味は、「直線ｌ上の点はすべて、ｙ＝２ｘ＋１の関係が成り立つ」、つまり、「直線ｌ上の点は、ｙ座標＝２×ｘ座標＋１になっている」ということです。
ですから、点Ｑのｙ座標はｙ＝２ｘ＋１のｘにｔを代入して、２×ｔ＋１

これで、点Ｑ（ｔ,２ｔ＋１）と書き込めます。

点Ｒも同様です。

まず、ｘ座標はｔ。

ｙ座標は、通っている直線の式、ｙ＝−ｘ−２より、ｘ＝ｔを代入してｙ＝−ｔ−２。
よって、点Ｒ（ｔ,−ｔ−２）

あとは、座標を見て、問題に合った方程式をしっかりとつくるだけです。

ＱＰの長さは、Ｑのｙ座標だから２ｔ＋１。

特に要注意なのは、ＰＲの長さです。

Ｒのｙ座標が−ｔ−２だからといって、ＰＲの長さを−ｔ−２とすると誤りです。
なぜなら、点Ｒのｙ座標は「負の数」だからです。
もし、点Ｒの座標が（１,−３）だったとしたら、ＰＲの長さは−３ではありません。長さは常に「正の数」であり、−３の長さはただの３です。
ですから、点Ｒのｙ座標が−ｔ−２であれば、長さは正負を入れかえた−(−ｔ−２）にしないといけません。

以上より、ＱＰ＝２ｔ＋１、ＰＲ＝−(−ｔ−２）＝ｔ＋２
よってＱＲ＝ＱＰ＋ＰＲ＝２ｔ＋１＋ｔ＋２

方程式はＱＲ＝１５より
２ｔ＋１＋ｔ＋２＝１５
３ｔ＝１２
ｔ＝４

重要：座標が（ｔ,？）のとき、その点を通る式を見つけてｘ＝ｔを代入すれば、ｙ座標（？の部分）がわかる（これが、すべての発展問題を解くための武器です）

重要：座標が負の数であれば、その長さは−（負の数）にしないといけない


もう１問、やや難しくなりますが同じやり方で解ける問題で復習してみましょう。

直線ｌは関数ｙ＝２ｘのグラフであり、直線ｍは関数ｙ＝−ｘ＋１５のグラフである。２つの直線の交点をＡ、ＯＡ上の点をＰ、点Ｐを通りｘ軸に平行な直線とｍとの交点をＱ、点Ｐを通りｙ軸に平行な直線とｘ軸との交点をＲ、点Ｑを通りｙ軸と平行な直線とｘ軸との交点をＳとする。長方形ＰＱＲＳが正方形になるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

解き方

座標さえ入れていけば、絶対に解けるはずです。

問題の最後に、「点Ｐの座標を求めなさい」とあるので、点Ｐのｘ座標をｔと決めてしまいます。直線ｌ、ｙ＝２ｘが点Ｐを通っているので、ｘ＝ｔを代入してｙ＝２ｔ
このように、点Ｐの座標を、（ｔ,２ｔ）と入れてしまいます。

ここで、ＰＲの長さは２ｔと表せます。

正方形なので、ＰＱも２ｔ。そうすると。点Ｑの座標は、ｘ座標がｔ＋２ｔの３ｔ、ｙ座標はＰＲの長さと同じで２ｔです。

点Ｑは、（３ｔ,２ｔ）と表せる。

ところが、その点Ｑを直線ｍが通っています。ということは、ｙ＝−ｘ＋１５が成り立ちますから、この式に、点Ｑの座標のｘ＝３ｔ、ｙ＝２ｔを代入して、
２ｔ＝−３ｔ＋１５

この方程式を解いて、ｔ＝３

よって、点Ｐの座標は、（ｔ,２ｔ）にｔ＝３を入れて、（３,６）


しつこくまとめ

（１）グラフに式と座標、特に座標を書き込めば絶対解ける

（２）交点は連立、ｘ軸はｙ＝０、ｙ軸はｘ＝０、中点の公式を使いこなす

（３）どんな難問も必ず解ける、ある技がある

その技とは･･･

mathematics １次関数（５）（できない問題を簡単にする小さな工夫）

１次関数の単元で、子どもたちが最初、よく点数を落としてしまう問題に次のような問題があります。

子どもたちが苦手な問題

（１）１次関数ｙ＝３ｘ−１で、ｘの値が２から６まで増加するとき、ｙの値はどのように変化しますか。
（２）１次関数ｙ＝−４ｘ＋１について、ｘの値が−４から２まで増加したときのｙの増加量を求めよ。
（３）１次関数ｙ＝２ｘ＋１で、ｘが１から３まで増加したとき、変化の割合を求めなさい。
（４）１次関数ｙ＝−２ｘ＋１で、ｘの変域が−１≦ｘ<３のときのｙの変域を求めなさい。
（５）１次関数ｙ＝aｘ＋６で、ｘの変域が０≦ｘ≦３のとき、ｙの変域が３≦ｙ≦６である。aの値を求めなさい。

数学の得意な子にしてみれば簡単な問題ですが、普通の子は、やり方を思い出せなかったり、わからなくて解答欄を空白にしたりする問題群です。

苦手な問題には共通点があった

実は、上の５問は、皆同じ種類の問題です。「ｘの値が２つ、出てくること」、「式にｘの値を代入してｙを求めなければならないことを子どもたちが気づきにくいこと」、が共通しています。

正解率を大きく高める小さな工夫

このグループの問題が楽にできるようになる、ちょっとした工夫を思いつきました。
それは、「ｘが２つ出てきたら、ｘの下にｙの値を書き込んでおく」ことです。


（１）１次関数ｙ＝３ｘ−１で、ｘの値が２から６まで増加するとき、ｙの値はどのように変化しますか。




と、ｘ＝２のときのｙの値５、ｘ＝６のときのｙの値１７を、ｘの下に書くくせをつけておきます。
そうすると、「５から１７まで増加する」と簡単に答えはわかってしまいます。

（２）１次関数ｙ＝−４ｘ＋１について、ｘの値が−４から２まで増加したときのｙの増加量を求めよ。





こう書いておけば、ｘ＝−４のときｙ＝１７、ｘ＝２のときｙ＝−７で、ｙの増加量だから−７−１７＝−２４と頭にうかんできやすくなります。

（３）１次関数ｙ＝２ｘ＋１で、ｘが１から３まで増加したとき、変化の割合を求めなさい。





このときも、変化の割合の公式




に、すうっとあてはめやすくなります。

（４）１次関数ｙ＝−２ｘ＋１で、ｘの変域が−１≦ｘ<３のときのｙの変域を求めなさい。





子どもたちがやり方をよく忘れる問題ですが、ｘの真下に数字が書いてあればさすがに忘れないでしょう。
−５＜ｙ≦３という正解がすっと出やすくなります。

見た目で判断できるので、数の大きさを見落として３≦ｙ＜−５と書いたり、不等号の違いに気づかずに−５≦ｙ≦３とやったりする間違いも大幅に減るはずです。

ちょっとした応用問題、
（５）１次関数ｙ＝aｘ＋６で、ｘの変域が０≦ｘ≦３のとき、ｙの変域が３≦ｙ≦６である。aの値を求めなさい。





と書いておけば、下の６とｙの変域の６が共通であることから、３a＋６＝３の式を思いつきやすくなり、a＝−１という正解を楽に求められるようになります。


私は今まで、馬鹿正直にｘ＝２のとき、式に代入してｙ＝５、ｘ＝６のときｙ＝１７、「ｙの値がどう変化したか」をたずねている問題だから「５から１７に増加した」と答えるとか、変化の割合の問題だと、ｘの増加量、ｙの増加量を記入した表を作らせたりとかして、教えていました。

早めの時期に、「ｘの値が２つ出てきたらその真下にｙの値も書き込んでおけ」と徹底させておけば、子どもたちは迷わずに、「本能」にしたがって（つまり、あれこれ考えることなく）、無理なく正解にたどりつけるということにやっと気づきました。

増加量と値

もう一つ、子どもたちがよくやってしまう、

（１）ｙ＝３ｘ＋１でｘの値が２のときのｙの値…正解はｘ＝２を代入してｙ＝７、

（２）ｙ＝３ｘ＋１でｘの増加量が２のときのｙの増加量…正解は、変化の割合３×２で６

の２つの問題のかんちがい・混同も、「増加量」と書いてあれば変化の割合の問題、「値」と書いてあれば必ず代入、と徹底させたら、ほとんどなくなります。


２つの工夫

１次関数の応用問題、発展問題に入る前に子どもたちがよく間違えて定期テストで足を引っ張るこれらの問題は、上記２つのこと、

「ｘの値が２つ出てきたらその真下にｙの値を書き込んでおく」

「増加量」と書いてあれば変化の割合の問題、「値」と書いてあれば代入

を徹底すれば、相当正解率が上がるはずです。

mathematics １次関数（４）（１次関数の式を求める問題）

「１次関数の式を求めなさい」、「直線の式を求めなさい」、「１次関数で、ｙをｘの式で表わしなさい」と問われる問題の特集・まとめです。

このグループの問題は、中学生にとっては難しく感じられ、いろいろな問題が雑多にあるように見えますが、実は、たった２種類の問題しかありません。解き方もたった２種類です。
今日は、それをしっかりと頭に入れてください。

たった２種類とは、ｙ＝ａｘ＋ｂから出発し、１．変化の割合（傾き）がわかっている問題のグループと、２．連立方程式を使って解ける問題のグループ、この２つです。


１．変化の割合がわかっている問題（２段階に分けて式をたてる問題）

例題１、次の条件をみたす1次関数の式を求めなさい。
(１)変化の割合が−３で、x＝−２のときy＝１０である。
(２)グラフが傾き−２の直線で、点(６,−２)を通る。
(３)グラフが点(４,５)を通り、直線y＝−x＋４に平行である。
(４)x＝−３のときy＝−１で、ｘが２増加するときyは４増加する。

順に説明します。

(１)変化の割合が−３で、x＝−２のときy＝１０である。

解き方

１次関数の式は必ずｙ＝ａｘ＋ｂの形になること、これがすべての問題の出発点です。

変化の割合、つまりｙ＝ａｘ＋ｂのａが−３だから、まずａに−３を代入し、ｙ＝−３ｘ＋ｂ

次に、x＝−２のときy＝１０をこのｙ＝−３ｘ＋ｂの式に代入し、１０＝−３×（−２）＋ｂ

１０＝−３×（−２）＋ｂを解く。
１０＝６＋ｂ
−ｂ＝−４
ｂ＝４

変化の割合ａが−３で、ｂが４とわかったから、答えの式はｙ＝−３ｘ＋４


次に、（２）、（３）、（４）の問題を解いてみましょう。すべての問題が、上の（１）と全く同じ問題であることに気づくのがここで一番大切なテーマです。


(２)グラフが傾き−２の直線で、点(６,−２)を通る。

１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂのａのことを、「変化の割合」といい、グラフでは「傾き」といいます。つまり、変化の割合が−２というのも、傾きが−２というのも実は一緒、ａ＝−２ということです。

また、点(６,−２)、これはグラフ上の座標を表わしていますが、前の６はｘ座標、後の−２はｙ座標ですからｘ＝６のとき、ｙ＝−２であると言っているのと全く同様です、

つまり、この（２）は、書き方こそ違っていますが、書いてある内容は（１）と同じことを言っているだけです。

解き方

まず、ｙ＝ａｘ＋ｂ

傾きが−２だから、ａに−２を代入してｙ＝−２ｘ＋ｂ

点(６,−２)を通ることから、ｘ＝６、ｙ＝−２を代入して
−２＝−２×６＋ｂ
−ｂ＝−１２＋２
−ｂ＝−１０
ｂ＝１０

よって答えは、ｙ＝−２ｘ＋１０


(３)グラフが点(４,５)を通り、直線y＝−x＋４に平行である。

２つの直線が平行であるとき、切片は違いますが傾きは同じです。つまり、「平行」と書いてあれば、「傾き」が同じと教えてくれているのです。

平行＝傾きが同じ、よく出る、重要な言い換えです。














解き方

１次関数だから、ｙ＝ａｘ＋ｂ

次に、「直線y＝−x＋４と平行」だから、傾きもy＝−x＋４と同じ、つまり傾きａ＝−１、
よってｙ＝−ｘ＋ｂ

点(４,５)を通るから、ｘ＝４、ｙ＝５を代入して、
５＝−４＋ｂ
−ｂ＝−４−５
ｂ＝９

よって答えは、ｙ＝−ｘ＋９


(４)x＝−３のときy＝−１で、ｘが２増加するときyは４増加する。

最初、皆さんが一番間違える問題です。

「増加」という言葉が出てきたら、「変化の割合」の問題だ、ということを徹底しておきましょう（逆に、「値」という言葉が出てきたら、「代入」しろということです）。

したがって、この問題の場合、「ｘが２増加するときyは４増加」とは、変化の割合の公式

より、変化の割合、すなわちａが２ということです。

または、頭に１次関数のグラフを思いうかべて、「ｘが２増加するときyは４増加する」、つまり右へ２進んだら上に４上がる、傾きは２だ、と見つけてもかまいません。

解き方

まず、ｙ＝ａｘ＋ｂ

変化の割合、傾きが２だから、ｙ＝２ｘ＋ｂ

x＝−３のときy＝−１を代入して、
−１＝２×（−３）＋ｂ
−ｂ＝−６＋１
ｂ＝５

答えは、ｙ＝２ｘ＋５


２．連立方程式を使って解ける問題（２点の座標から連立方程式をたてる問題）

例題２、次の条件をみたす1次関数の式を求めなさい。
(１)x＝１のときy＝４、x＝３のときy＝８である。
(２)グラフが２点(５,２)、(３,６)を通る直線である。

(１)x＝１のときy＝４、x＝３のときy＝８である。

１次関数の式を求める問題ですから、まず、ｙ＝ａｘ＋ｂを思いうかべることは１．のグループと同じです。

２つの数の組があるので、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、連立方程式をたてることができます。

４＝ａ＋ｂ
８＝３ａ＋ｂ

加減法で引いて、
−４＝−２ａ
２ａ＝４
ａ＝２

４＝ａ＋ｂに代入して、
４＝２＋ｂ
−ｂ＝−２
ｂ＝２

よって、答えはｙ＝２ｘ＋２


(２)グラフが２点(５,２)、(３,６)を通る直線である。

ある座標を「通る」と書いてあれば、ｘ座標をｘに、ｙ座標をｙに代入せよということです。

やはり、出発点は、ｙ＝ａｘ＋ｂです。

(５,２)を代入して、２＝５ａ＋ｂ
(３,６)を代入して、６＝３ａ＋ｂ

連立方程式ができました。

加減法で引いて、
−４＝２ａ
−２ａ＝４
ａ＝−２

２＝５ａ＋ｂに代入して、
２＝５×（−２）＋ｂ
２＝−１０＋ｂ
−ｂ＝−１２
ｂ＝１２

答えは、ｙ＝−２ｘ＋１２


この（１）（２）の問題は、変化の割合を求める公式を用いて、１．の問題群と同じやり方で解くこともできます。しかし、連立方程式にしたほうが速いので、連立方程式をたてて解くのがおすすめです。

この、２．の問題群は、あっさりしていて非常に簡単です。
ところが、皆さんの超苦手な１次関数の応用問題を解くとき、この問題が使えることを覚えておくと、とても役に立ちます。


１次関数の応用問題に活用する

２点の座標がわかれば、連立方程式をたてて、すぐに１次関数の式を求めることができる、この技を使いこなせたら、応用問題をとても楽に解くことができます。
練習をしてみましょう。

（１）地上１０kmくらいまでの気温は、高度が上昇することに一定の割合で低くなっていく。地上２kmの高さの気温が８度、地上４kmの高さの気温が−４度のとき、地上ｘkmの高さの気温をｙ度として、ｙをｘの式で表しなさい。

解き方

「地上１０kmくらいまでの気温は、高度が上昇することに一定の割合で低くなっていく」の部分は、「一定の割合で」、つまり、「変化の割合」が一定ですよ、１次関数ですよ、と言っているに過ぎません。

さらに、「地上２kmの高さの気温が８度、地上４kmの高さの気温が−４度のとき」とは、「地上ｘkmの高さの気温をｙ度として」ですから、ｘ＝２のときｙ＝８、ｘ＝４のときｙ＝−４という意味です。

つまり、皆さんが悩むこの問題は、「ｘ＝２のときｙ＝８、ｘ＝４のときｙ＝−４である１次関数の式を求めなさい」という、とても簡単な問題に言い換えられるわけです。

それに気づきさえすれば、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、
８＝２ａ＋ｂ
−４＝４ａ＋ｂ
という連立方程式をすぐにたてることができます。

これを解いて、ａ＝−６、ｂ＝２０

答えはｙ＝−６ｘ＋２０です。


さらに皆さんが苦しむ、次の問題はどうでしょうか？

（２）Ａさんは、家から１００００ｍ離れた図書館に行き、用事をすませて家に帰った。また、兄は、Ａさんが家を出発してから１０分後に、同じ道を通って図書館に行った。左の図は、Ａさんが出発してからｘ分後に、家からｙｍの地点にいるとして、Ａさんと兄のようすをグラフに表したものである。このとき、次の問いに答えなさい。

・Ａさんが図書館を出発してから家に帰るまでのようすを表すグラフ(８０≦x≦１３０)について、ｙをｘの式で表しなさい。

・また、兄のようすを表すグラフ(１０≦ｘ≦１６０)について、ｙをｘの式で表しなさい。

どう解いたらよいか、わかりますか？

２点の座標さえ書き込めたら、どんな難問もすぐに解ける

グラフの問題を解く最も有効なコツは、グラフに座標を書き込むことです。

左の図のように、座標さえ書き込めば、解き方がうかんできませんか？


Ａさんのグラフは、２点（８０，１００００）、（１３０，０）を通っています。
だから、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立方程式をつくることができます。

１００００＝８０ａ＋ｂ
０＝１３０ａ＋ｂ

これを解いて、ａ＝−２００、ｂ＝２６０００

答えはｙ＝−２００ｘ＋２６０００


兄も同様です。（１０，０）、（１６０，１００００）を通っているから、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、

０＝１０ａ＋ｂ
１００００＝１６０ａ＋ｂ

この連立方程式を解いて、ａ＝２００/３、ｂ＝−２０００/３です。

よって、答えは、ｙ＝２００/３ｘ−２０００/３


２点さえわかればどんなグラフでも連立方程式をたてて式を求めることができる、これは重要です。

この技を駆使するために、グラフの問題を解くときは座標を書き込むくせをつけておくことです。

mathematics １次関数（３）（１次関数のグラフ）

今日は１次関数のグラフの書き方について考えてみます。

（１）１次関数はy＝ax＋bという式で表される
（２）aはxが１増えたときのyの増える量、bはx＝０のときのyの量

を、もう一度思い出しておいて、今日の勉強に入ります。


y＝２x＋４のグラフを書く

まず、１次関数y＝２x＋４のグラフはどのようなグラフになるでしょうか。
y＝２x＋４は、最初が４で、変化の割合が２、つまり２ずつ増えていく１次関数です。
正確に言い直します。xが０のときyは４で、xが１増えるごとにyは２増えます。

ですから、まず、xが０のときyは４、つまり座標（０,４）の点を先に見つけて、それから、xが１増える（グラフでは右に１進む）ごとにyが２増える（グラフでは上に２上がる）点を次に見つけたらよいということがわかります。

この2点を通る直線を書けば、それがy＝２x＋４のグラフです。


1次関数のグラフだと、y＝ax＋bの式で、aを「傾き」、bを「切片」と言います。

y＝２x＋４のグラフだと、傾きが２、切片が４ということになります。
グラフの書き方をまとめると、まずy軸上に切片４をとり、その点から右に1進んで上に２上がる点をとり、この2点を通る直線を書く、ということです。

y＝−x＋２のグラフを書く

傾きが−１、切片が２のグラフを書くことになります。

まず、xが０のときyは２、つまり座標（０,２）の点を先に見つける。それから、xが１増える（グラフでは右に１進む）ごとにyは１減る、言い換えれば−１増える（グラフでは下に１下がる）点を次に見つけたらよいわけですから、簡単ですね。




y＝１／３x−２のグラフを書く

傾きが分数の１／３、切片が−２のグラフです。

まず、xが０のときyは−２、つまり座標（０,−２）の点を先に見つける、これは今までと同様です。

傾きの分数、１／３をどうしたらよいかという問題が出てきます。
xが１増える（グラフでは右に１進む）ごとにyは１／３増えると考えてもよいのですが、分数なので正確な点をとりにくくなってしまいます。
１右へ進んで上に１／３ということは、次のちゃんとした整数の点はどこでしょうか？比の、１：１／３の両方を３倍して、１：１／３＝３：１、つまり右へ３行って上へ１上がった点をとればよいということに気づいてください。

つまり、傾きが分数のときは、分母の数字だけ切片から右へ進み、分子の数字の分、上へ（−のときは下へ）進めばよいということです。
この場合、切片から右に３進み、上へ１上がったところに2つ目の点をとるということになります。




y＝２／３x＋１／３のグラフを書く

最後に、切片が分数のときのグラフの書き方を考えてみましょう。

書き方は2通りあります。

1つ目は今までと同じ方法です。
まず、xが０のときyは１／３、つまり座標（０,１／３）の点を先に見つける。それから、xが１増える（グラフでは右に１進む）ごとにyは２／３増えることをxが３増えたらyは２増えると考えて2つ目の点を見つけます

今までのグラフとの違いは、2つの点がグラフの格子（縦線と横線の交わったところ）を通らないことです。目分量というか、だいたいこのあたりと思えるところに点を打つことになります。



この1番目の方法は、このあたりであろうという場所に点を打つ方法なので、学校の先生によっては間違いであるという人もいます。

2つ目の、誰からも文句の出ない方法は、次のようなやり方です。

グラフを書くとき、xもyも整数になる点を見つけます。
x＝１から順に式に代入して、yも整数になる場合を見つけていきます。

この式だと、x＝１のとき、y＝１になります。
x＝２のとき、yは分数になるからだめ。
x＝３のときもyは分数でだめ。
x＝４のとき、y＝３になってくれます。

これで2点、（１,１）と（４,３）が見つかりました。
この2点を通る直線を書けば正解です。




2点さえ見つかればグラフが書けることを確認して、今日の学習は終わりです。

mathematics １次関数（２）（変化の割合）

「１次関数とは何か」で理解した、
（１）最初にある数量があり、そこから決まった割合で増えたり減ったりしているものを１次関数という
（２）１次関数はy＝ax＋bという式で表される
（３）aは決まった割合で増えたり減ったりしている量（xが１増えたときのyの増える量）、bは最初に存在する数量（x＝０のときのyの量）である
の続きです。


「変化の割合」の意味

１次関数y＝ax＋bのa、「決まった割合で増えたり減ったりしている量」、「xが１増えたときのyの増える量」を、数学では『変化の割合』と呼びます。

例えば、y＝３x＋２だと、y＝ax＋bでa＝３のときですから、この関数は「３ずつ増えていく」、さらに厳密に言うと「xが１増えるとyは３増える」、つまり変化の割合は３であるということです。

では、y＝３x＋２でxが４増加するとyはいくら増加するかと聞かれたら、３ずつ増えるものの４倍だから３×４の１２だということになります。

別の例でもう一度確認しておきます。y＝−２x−３だと、２ずつ減る、つまり−２ずつ変わるから変化の割合は−２です。
もしxが５増加したときyはいくら増加するかと聞かれたら、−２の５倍、すなわち−２×５の−１０増加する、が答えです。

ここまでのまとめ
１次関数y＝ax＋bで、aにあてはまる数を「変化の割合」という
「変化の割合」の意味は、xが１増えたらyはa増えるという意味である
だから、１次関数y＝ax＋bでxがn増えたら、yはa×n増える


「変化の割合」を求める公式

では、xが３増えたとき、yは１２増えることがわかっている１次関数があるとします。このときの変化の割合はいくらになるでしょうか。

「変化の割合」とは、「いくらずつ増えるか」さらに詳しく言うと、「xが１増えたら」＋「yはいくらずつ増えるか」ということです。xが３増えて、そのときyは１２増えたわけですから、xの１増加分にあたるyの量は４のはずですね。

このときの式が肝心で、なぜ４という数が出てきたかといえば１２÷３で４だったからです。
xが３増えたときyは１２増えた、xの増加量が３のときyの増加量は１２であった、このとき変化の割合を求める式は１２÷３、つまり変化の割合＝yの増えた量÷xの増えた量、すなわち変化の割合＝yの増加量÷xの増加量。
以上より、変化の割合を求める公式ができました。
変化の割合＝yの増加量÷xの増加量




です。

以上、ここまで、ほとんどわかりにくいことは出てこなかったと思います。ところが、実際の問題を解く段になると、非常に出来が悪くなります。教えるほうもなかなか上に書いたように詳しく説明する時間の余裕がない、問題を解く中学生もきちんと意味をわかったうえで問題に取りかかる心の余裕がない。
もう一度、上で説明したことを見直してみてください。見直せたら、次のような問題を考えてみましょう。


問題１
１次関数y＝−６x＋１の変化の割合はいくらか。

解答
１次関数y＝ax＋bで変化の割合はaのことですから、答えは−６です。


問題２
１次関数y＝２x＋７でxの増加量が６のとき、yの増加量はいくらか。

解答
yは２ずつ増える、xが１増えるごとにyは２ずつ増えるわけですから、xが６増えたらyは２の６倍、２×６＝１２、増えるはずです。答えは１２。


問題３（変化の割合とは関係ない問題）
１次関数y＝２x＋７でxの値が６のとき、yの値はいくらか。

解答
皆さんが問題２と混同して間違える問題です。
「増加量」と「値」では全く問題の意味が違います。この問題では単純に「xの値が６」と言っているだけですから、y＝２x＋７のxのところにx＝６を代入するだけです。答えはy＝２×６＋７でy＝１９となります。
「数学の問題文ではすべての言葉に意味がある」、「値」と「増加量」をしっかりと区別してください。


問題４
y＝ax＋１で、xの値が３増加するときyの値が１５増加した。aの値を求めなさい。

解答
１次関数y＝ax＋bのa、変化の割合を尋ねる問題です。

変化の割合とは、xが１増えるごとにyがいくらずつ増えるかと言う意味である、xが３増えたらyが１５増えたということは、xが１増えるときのyの増加量は５のはず、だから変化の割合は５、よってa＝５ということになります。式は１５÷３＝５です。

あるいは、変化の割合＝yの増加量÷xの増加量、




の公式を覚えていたら、



と求めることもできます。

最後にまとめの問題です。


問題５
１次関数y＝２x−３で、xが１から４まで増加するとき
（１）xの増加量を求めよ
（２）そのときのyの増加量を求めよ
（３）変化の割合を求めよ

解答
（１）
xの「増加量」という言葉で困惑する人が出てきます。「増加量」でびびらないように。
要するに、「増加量」＝「いくら増えたか」です。１から４までで「いくら増えたか」と言われたら、誰だって３とわかります。答えは３です。

複雑な数字が出てきても簡単に解けるように、公式化しておきましょう。
１から４になったわけだから答えは３ですが、どういう式だったのでしょうか。当然、４−１＝３ですね。後で出てきた４から、先に書いてあった１を引いたわけです。
先に出てきたxだからそのxを



と表します。
後に出てきたx、２番目に出てきたxは



です。
ここで、


と、公式をしっかりと覚えておきます。

（２）
xのときと同じように考えなければいけません。

ところがyはどこにもまだ書いてありません。だからyがいくらからいくらになったのか、求める必要が出てきます。
手がかりは、式のy＝２x−３と、「xが１から４まで増加する」という語句のみです。yがいくらになったかを知りたいわけですからy＝２x−３に代入するしかありません。
代入するのは、「xが１から４まで増加する」と書いてあるので、x＝１と、次にx＝４です。

y＝２x−３にx＝１を代入して、y＝２×１−３＝−１、
y＝２x−３にx＝４を代入して、y＝２×４−３＝５
これで、yが−１から５になったことがわかりました。

「yの増加量」はいくらか、つまり、yは「いくら増えたか」、−１から５になったのだから６とわかりますが、やはり後々のために公式化しておきます。

先に出てきたyを



後の２番目に出てきたyを



ここで式は


５−（−１）、すなわち６
よって６です。

（３）
頭脳明晰な人は次のように考えます。
「変化の割合」とは、y＝ax＋bのaのことである。式がy＝２x−３だからaにあたる数は２、答えは２。

あっさりしすぎですね。こんなに簡単でいいのだろうかという疑いもわいてきます。しかし、もちろんこれで正解です。（１次関数では、この問いのように、ちゃんと言葉の意味をしっかりと理解しておけば難なく解けるということがよくあります。）

しかし、もう一つの解き方もできないといけません。
上で出てきた、


を使う解き方です。



この問題５が一番重要ですから、類似問題でわかったかどうか確認してください。


問題６
１次関数y＝０.５x−４で、xが１から４まで増加するとき
（１）xの増加量を求めよ
（２）そのときのyの増加量を求めよ
（３）変化の割合を求めよ

解答
（１）４−１＝３
（２）x＝１のときy＝−３.５、x＝４のときy＝−２、
−２−（−３.５）＝１.５
（３）


より、


よって１／２または０.５

または、変化の割合はy＝ax＋bのaのこと。y＝０.５x−４でaにあたる数は０.５、だから０.５。

mathematics １次関数とは何か（１）（１次関数を本当にわかるために）

中学校の数学で、最も重要で、しかも子どもたちにとってわかりにくい単元は、１次関数です。入試でも必ず大問として応用問題が出題されます。

わかりにくい単元ほど、最初に、「なぜそうなるのか」の部分が理解できていないと、応用問題は解けません。逆に、１次関数とはどんなものなのか、初めにしっかりと概念、基礎が理解できていたら、難しそうに見える発展問題も案外簡単に解けてしまいます。

今日は１次関数の基礎の基礎、「１次関数とは何なのか」を考察します。

比例と１次関数

最初何も入っていない水そうに、１分間に３リットルずつ水を入れていきます。
x分後の水そう内の水の量をyリットルとします。
yをxを使った式で表すと
y＝３x
y＝axの形になったので、これは中１で習った比例です。

最初に５リットルの水が入っている水そうに、１分間に３リットルずつ水を入れていきます。
x分後の水そう内の水の量をyリットルとします。
yをxを使った式で表すと、最初に５リットル入っていてそこから３リットルずつ増えていくので
y＝５＋３xとなるはずですが、文字の項を先に書いて
y＝３x＋５
これが１次関数です。

最初が０で、そこから決まった割合で増えていくのが比例、最初に既にいくらかの量があって、そこから決まった量ずつ増えていくのが１次関数です。

このとき、式は、最初に存在している数をb、決まった割合で増える量をaとして、y＝ax＋bの形になります。
これが１次関数の一般式（どんな１次関数でもこの形になる）といわれるものです。

長さ１０cmのろうそくがあります。このろうそくは１分間に０.５cmずつ燃えて短くなっていきます。x分後のろうそくの長さをycmとすると、yはどんな式で表されるでしょうか？

最初にある数量があって（１０cm）、そこから決まった割合で（０.５ずつ）減っているから
y＝１０−０.５x
文字の項を前に出して
y＝−０.５x＋１０
となることが容易にわかると思います。

この場合も、最初にある数量が存在し、そのあと決まった量ずつ増えたり減ったりする関係が成り立っているから１次関数であり、y＝ax＋bでa＝−０.５、b＝１０にあたる１次関数といえます。

これまでのまとめ
（１）最初にある数量があり、そこから決まった割合で増えたり減ったりしているものを１次関数という
（２）１次関数はy＝ax＋bという式で表される
（３）aは決まった割合で増えたり減ったりしている量、bは最初に存在する数量である


表で考える１次関数

左の表で表された関数の式を考えてみましょう。
最初、xが０のときy＝−２であり、xが１増えるごとにyは３ずつ増えています。
最初に決まった量の−２があり、その後同じ割合で３ずつ増えているから、bが−２、aが３の１次関数といえます。
したがって、式はy＝３x−２です。

左の表だと、式はどうなるでしょうか。

今まで、「最初の数量」という言い方をしてきましたが、この表で最初の数はy＝１ではありません。実は、今まで「最初に存在する」と言ってきたのは、４つの例すべて、「x＝０のとき」です。
この場合、最初に存在する量にあたるのは、x＝０のときのy＝３です。

さらに、この表のyは１ずつ増えていますが、だからといって「決まった割合で増える量」が１だとは言えません。xを見てください。xが２増えるごとにyが１増えています。
今までの例で、決まった割合で増える量とは、すべてxが１増えるごとにyがいくら増えているかを表していました。だからこの表でも、xが２増えるごとにyが１増えているということは、xが１増えるときのyの増える量は１／２、つまり０.５だということになります。

したがって、この表のxとyの関係を表す式は、b＝３で、a＝１／２、
つまりy＝１／２x＋３ということになります。

次のように修正しておきましょう。

（１）１次関数はy＝ax＋bという式で表される
（２）aは決まった割合で増えたり減ったりしている量（xが１増えたときのyの増える量）、bは最初に存在する数量（x＝0のときのyの量）である

では、左の表ではx、yの関係はどんな式で表されるでしょうか。
x＝０のとき、y＝１ですから、最初の量、bは１です。
次に、xが２増えるごとに、yは４ずつ減っています。ということは、xが１増えるごとにyは２ずつ減っている（言い方をかえれば−２ずつ増えている）ことになりますから、決まった割合で増える量、aは−２ということになります。

答えは、y＝−２x＋１です。


以上が、１次関数の基礎の基礎、これから１次関数を学ぶにあたり、すべての問題の基礎になっていきます。