発想力脳トレメソッド ねこパズル&Seek10 現代図書 2013 出版  

 五年後、センター試験が考える力テストに代わるそうです。
学校教育の中では受験志向で全く顧みられなかった考える力の教育 実学。
どうやって学校教育の中で『考える力』を育むかという所の話が跳んでいます。
センター試験に象徴されるように、リテラシーを決めて人の脳力をものさしで計ろうと
する発想が変わらなければ、考える力テストも無意味なものになってしまうと思います。
 だから、どうやって評価するかと言うことを中心に考えるのではなく、どうやって学校
教育の中で『考える力』を育むかという立場から話をしてみたいと思います。

これは、昨年夏スペイン旅行で偶然見つけた魔方陣です。

クリプトグラム33

criptgrama

 ガウディーの設計で日本でも有名なバルセロナのサグラダファミリアの受難のファサード
入り口脇の壁面にありました。

junan1[1]

キーホルダーのおみやげなども売っていてかなり有名な魔方陣のようです。
詳しくはこちらをご覧下さい。
http://hw001.spaaqs.ne.jp/art32bd/criptograma.htm

sagurada1
 
考える力の教育という観点で見た時に、この魔方陣は表向きはキリスト教の
教育のために作られたものですが、少し深読みをしてみると実は子供達の考
える力を教育するために作られた脳トレメソッドではないかと考えられます。
 子供の頃、教会でこの魔方陣の話を聞いて300通り(※1)以上の33になる組み
合わせを遊び感覚で探した子供達の考える力はどれ程鍛えられたか。何も
していないときよりはるかに向上しているに違いありません。
 そして、これは別にキリスト教の勉強になったわけではなく『考える力』という
脳力が向上したと言う事なのです。
 つまり、『考える力』というのはこれまで視覚化出来ていないのでその1点に
着目した教育法などはありませんがキリスト教世界ではこのような形で教育さ
れていた1つの実例ではないかと考えています。
 そして、これは『考える力』というものが、一つのメソッドとしてトレーニングす
れば鍛える事が出来る脳力分野であると言う事を示していると考える事が出
来ます。
※1 この300という数については今確認作業をしていますが、どうやっても
90くらいの組み合わせしかないようです。これをさらに縦横対角線十字架四つ角
等ある程度意味のある組み合わせに限ればその半分以下かも知れません。
また暇なときにやってみます。
4/23 速報
今日は時間があったのでやってみました。
 結論から言うと4つの数をとりだしてその和が33になる組み合わせは
88通りという結果が出ました。これから詳細を書いていこうと思いますが300以上
という数字は出てきませんでした。
4/24
 確認を兼ねて日本数学協会の会員ページみんなの広場に投稿したところ謎が解けました。
300通り以上というのは16個のマスから取り出す数を4個と限定せずにとにかく和が33に
なる組み合わせを数えた結果だそうです。
 4個と限定した場合は88通りという組み合わせと言うことで意見の一致を見ました。
 さて、それではこの問題を解決するためのアプローチですがどうすればよいでしょうか?
問題の意味を理解していくつあるか分からない解を探すために相当頭を使って考えたでしょう。
このクリプトグラムの話を聞いたスペインの子供達はワクワクしながら色々なアプローチで考え
たに違いありません。結果的にすべての解を見つけることが出来ても出来なくても子供達の考
える力はこのクリプトグラム33によって鍛えられたのではないかと考えられます。
 この組み合わせを見つけるためには色々なアプローチが考えられると思いますが今回私が
使った手法はモンテカルロ法と呼ばれる方法で、円周率を乱数の点で求める手法です。
ネット上にはこんなページもありました。皆さんも是非お試し下さい。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA014765/pi/montecalro.html
 では、これから具体的なやり方に入ります。
先ず、4×4の16マスに1から16のナンバリングをして16個の数字から重複しない4つの乱数を
作ります。その乱数が対応しているマスの数の和を求めて、それが33かどうかをチェックします。
試行回数を分母・和が33になった回数を分子としそれに16から4つ取り出す組み合わせの総数
1820を掛けると和が33になる組み合わせの数を求めることが出来ます。この方法では試行回数
が多いほど答えの精度は上がって来ます。
 答えは整数なので1820×100=182000回程度試行して出て来た組み合わせの中から重複する
パターンを消した結果答えは88パターンになりました。

16masu
クリプトグラム33には10と14が2度使われていて12と16がないため

データはマスの番号で扱っています。

 NO.マス1マス2マス3マス4 
1451213
2141316
671216
4571315
546813
65121416
710121516
827912
91356
1045910
11561012
1218916
13181013
1428914
15371015
16471013
17241112
1815913
19161016
209101314
216101315
2236815
2338914
24351215
25561314
26341012
27131213
283469
2947916
302478
31261114
3213910
33581015
34671011
3578911
3612911
37691516
38361014
3912910
40231415
41481216
4245911
432469
44891315
4558912
46161116
4726815
48451516
49241012
5078910
51681416
525678
53581115
54271015
55481011
56781516
5713911
5837912
591256
60271115
61121213
6215716
63781213
64361114
656111315
665101114
673478
689101112
69251215
707101416
71471113
72341112
73241314
74261014
7511121516
76371115
77561112
78121516
791234
80181113
8113141516
82691213
8325714
84341314
85131516
867111416
8735714
889111314

 33になる組み合わせは上記の88通りあります。

 次のページで魔方陣に戻してパターン図を作ります。
88パターンあります。

 この中から縦横対角線などある程度意味のあるパターンに名前を付けていくと面白いと思い
ますが、半分の40通りくらいは名前が付くのではないかと思います。この魔方陣はスペインで
は子供達の考える力を鍛えるためにもすばらしい教材になっていたのだろうと考えています。

4/25
 クリプトグラム33の解読が完了しました。4つの数の和が33になる組み合わせは全部で88通り、
そのうち80通りはシンメトリーや対など何らかの意味のあるパターンで名前を付けてみました。
PDFで公開中!
次はクリプトグラム32を作ってみようと思います。
4/29 試作品が完成しました。

89105
213116
137111
931010

クリプトグラム32試作品
10が3つありますが,縦横対角線中央四つ角対面4ブロックなどのパターンで32になります。

ねこパズルのご購入はこちらから

魔方陣に戻してパターン図を描きます。
そのまま載せられないようなのでPDFで載せます。
全部で88パターンA4版3ページに掲載してあります。
http://hw001.spaaqs.ne.jp/art32m-k/cript3388.pdf

 サグラダファミリアはガウディーが設計して完成まであと15年くらい
かかるという話ですが、クリプトグラム33は誰が作ったのでしょうか。
昔からキリスト教の教育のために使われていたとすれば、誰が作ったか
分からないと言うことなのでしょうか?
このクリプトグラム33を調べていて色々面白いことに気付きましたが、次は少し制作者
の気持ちに思いをはせてみようと思います。
 このクリプトグラム33の制作者はキリスト教の教育の一環として、キリストが磔になった
33歳というメモリアルな数字を教育する目的で制作したと言うことには異論はないと思いま
す。
 このクリプトグラム33を調べてみると4つの数をとりだしてその和を計算すると33になる
組み合わせが88通りありましたが、実は32や、34になる組み合わせの方が数が多いの
です。では、なぜこの数の組み合わせを作者は使ったのでしょうか?4×4の魔方陣では1
から16までの数を1つずつ使うという本来の定義がありますが、この1から16の組み合
わせでは33になる組み合わせはどのくらい存在するのでしょうか?
調べてみると81通りありました。88通りとそれほど大きな違いはありませんね。
 では、なぜ魔方陣の定義に反してまではじめの写真に出ているクリプトグラム33の数字の
組み合わせにこだわったのでしょうか?
 クリプトグラム33には1から16までの数の内12と16がありません。その代わり10と14が
2つずつあります。 これが、謎を解く大きな鍵になります。
 なぞなぞではないのですぐに次に進みます。
 1から16までの総和は17×8=136です。この16個の数を使ってたとえば横4つの和を
4行すべて33にしようとすると33×4=132なので4余る、つまりすべての行の和を33に
することは不可能であることが分かります。同様に縦の列、2×2の4ブロックについてもす
べてを33にすることは不可能であることが分かります。
 4つの数をとりだして和が33になる組み合わせは80通り以上あるにも拘わらず縦横・
4ブロックすべて33と言う条件は実現できないことが分かります。
 だから、制作者は縦4列、横4行、2×2の4ブロックを33にするために1から16までの数
の内12と16を消してその代わり10と14を2つずつ入れる事によって総和を4減らして132
にしたのだと考えられます。それにより縦4列、横4行、2×2の4ブロックを33にする事が可能
になります。
 したがって、作者は33になる組み合わせがいかにたくさんあるかと言うところには拘らず
縦4列、横4行、2×2の4ブロックを33にして33という数の不思議さを演出することを第1の
目的としてこのクリプトグラム33を作ったと考えられます。
 また、4×4の魔方陣で定義にしたがって1から16までの数を1つずつ使った場合は縦4列、
横4行、2×2の4ブロックが34の魔方陣が出来て、使う16個の数の総和SによってS/4が
整数であれば縦4列、横4行、2×2の4ブロックがすべてS/4になるクリブトグラムを作ること
が可能である事も分かります。
5/1
 5月になってしまいましたがクリプトグラム33の研究はどんどん進んで今日はまた面白い発見
をしました。クリプトグラム33自体があまり数学的にメジャーなテーマとして取り上げられたことは
ないようなので、これが数学的に重要な発見かどうかは分かりません。

私の研究テーマは学校教育の中で読み書き算盤に象徴される日本の教育の概念の中で想定外で
あったために出来ていない『考える力』の教育をパズルを使って学校教育の中に取り込んでいきま
しょうという研究です。

 クリプトグラム33作成の元になったと考えられる4×4の魔方陣を発見しました。
でも、パソコンをつかって発見したわけではありません。人間の論理的思考力で発見しました。
 サグラダファミリアのクリプトグラム33作成の元になったと考えられる4×4の魔方陣です。
1から16までの数を1回ずつ使っているので正式な魔方陣です。

     4×4魔方陣
    クリプトグラム33の原型4×4の魔方陣

 クリプトグラム33と同様に縦横対角線4ブロックなど4つの数の和がすべて34になっています。

 *なぜこの魔方陣がクリプトグラム33の元になったと考えられるかについての解説です。

    criptgrama   4×4魔方陣
        クリプトグラム33              魔方陣34
 
  ① クリプトグラム33の16個の数字を小さい順に列べ1から順番に番号を付けます。
      1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10,11,13,14,14,15
    1-1番 、2-2番、・・・ 10-10番、10-11番、11-12番、12-13番
    14-14番、14-15番、15-16番
  ② 次に右の魔方陣の各マスの数に対応する番号の数を右の魔方陣のマスに代入すると
    左のクリプトグラム33になります。
  従って制作者は始めに魔方陣34をつくりそれを原型としてクリプトグラム33を制作したと
 考えられます。
  調べてみると魔方陣34の4つの数の和が34になるパターン数は86でクリプトグラム33より
 2つ少ないですが、これは同じ数がないためではないかと思われます。

 先に書いたように、34から33へはトータルで4だけ減らせば出来るので、どのマスから-1す
るかだけ考えれば良くパソコンなしでも簡単に作る事が出来るのです。

 試しに.クリプトグラム31をパソコンアプリなしで今、魔方陣34を原型として作ってみると簡単に
できました。手作業でもほんの数分で作ることが出来ました。

   curiputo31       4×4魔方陣
       クリプトグラム31                 魔方陣34原型
    16個の数字は
    1,2,3,4,5,6,7,8,8,9,9,10,12,13,13,14
  1-1番 、2-2番、・・・ 8-8番、8-9番、9-10番、9-11番、10-12番、12-13番
    13-14番、13-15番、14-16番
   クリプトグラム33からはトータルで-8、完全に一致しています。
  この後25くらいまでの数はこのように魔方陣34原型として1下がる毎にトータルで4減らして
  みるとクリプトグラムを機械的に作ることが出来る事が分かりました。

5/2
 今日は34から4までのクリプトグラムを手作りしてみました。
パソコン作問プログラムは使わず機械的に4つの数字を-1していく方法で1時間くらいで完成し
ました。この方法で35以上任意の数のクリプトグラムも自由に簡単に作ることが出来ます。
 
     私のart32m-kギャラリーのテーマクリプトグラム32はこんな感じです。
        cript32     kuri32
                   ギャラリー特製クリプトグラム32

   先日上に載せたパソコンの試作品クリプトグラム32よりはるかに美しいと思いませんか?
    人間の論理思考力の勝利ですね。わたしのHPの扉に使うことにしました。

5/6 またまたクリプトグラム33について面白いことを考えてしまいました。追加します。

4ptn

 クリプトグラム33制作者の心情を考えながら進めた論理的思考展開いかがでしたか。ここに
来てやっと私が好きな数学と美術の関係が見えてきたので楽しくなってきました。この原型は180度
回転するとデューラーの銅版画メランコリアⅠと言う版画に描かれている魔方陣と同じになることが
分かりました。この原型があまりに美しくシンメトリーな配置で作られていたので作者はクリプトグラ
ム33の作成を依頼されてこの原型をつくりそれを変形したのではないかと考えて見ましが、もしか
すると、メランコリアⅠを180度回転させてから-4して作ったのかも知れません。制作者が採用した
案は16,15,12,11から-1した物ですが、その方法は全部で4通りあるのになぜその案を選ん
だかも考えてみました。13と、14はその中に残して置きたかったからか、他の方法では数字の並び
が美しくなかったから等々・・。

皆さんもご自身の感覚で選んでみて下さい。

『ねこパズル&Seek10』は1問1問がこのような原型の魔方陣をベースにして作問されており378問
すべてが異なる原型を持っています。『万が一理論』だから可能になった脳トレメソッドです。

5/3
  クリプトグラムのお話は昨日作った34から4までのクリプトグラムを公開しておしまいにしよう
と思って いましたが午前二時にさらに新しい可能性を発見してしまったのでもう少し書きます。

 せっかくの4連休初日なのに午前2時から頭がまわっています。クリプトグラム33の原型を発見
して任意の数のクリプトグラム作成法を開発しQEDにしようと思ったら、また来ちゃいました。スー
パークリプトグラム33の作り方。でも、この連休は絵を描かないと展覧会が・・・悩む!一つだけ行
くかな出来ました。サグラダファミリアのクリプトグラム33を超えるスーパークリプトグラム33です。
縦横対角線の他、真ん中の十字架が33になっています。
               kuri55super2
 確認できますか?
 5つの数字の和が33になる組み合わせがどのくらいあるかまだ調べていませんが、四隅と中心、
中心部の*など探してみると面白いと思います。今回は33で作りましたが論理的には、5以上
任意の数で作ることが出来ます。
 
 このスーパークリプトグラム33を作るための原型となる魔方陣が実は昨年10月に現代図書から
出版した『ねこパズル&Seek10』です。数字パズルの最初の本は2007年4月に出版しました。
このMS55+Xをたった1問解いて出来上がる答えの5×5の魔方陣がクリプトグラムの原型として
使えることに気が付きました。この原型1つを使うだけで5以上の任意の数のオリジナルクリプトグ
ラムを手作りすることが可能です。
 ねこパズルはすべて1問1問異なる原型の魔方陣をベースにして作問されています。『万が一理
論』とパソコンを使って、ねこパズルを作ったのは私ですがクリプトグラムをこんなにも軽々と作れる
事が出来るとは気が付きませんでした。今朝の新たな発見です。
 MS66Xも同様に、ねこパズルはすべて1問1問異なる原型の魔方陣をベースにして作問されて
いますので、たった1問の答えを原型として使うだけで6×6のさらにすごい超スーパークリプトグラム
33も簡単に作ることが出来てしまうと言うことです。
 だから、上の図のスーパークリプトグラム33も5つの数字の和が33になる組み合わせを考えて
原型に代入だけで誰でも数分でオリジナルのスーパークリプトグラム作ることが出来るのです。
連休なのでMS66Xも作ってみました。
   kuri66super33   kuri66super332
    MS66Xで作ったクリプトグラム33
  簡単に確認してみて下さい。
  縦横対角線の他、右のように6ブロックも6個の数の和が33になるMS66X原型を使って
います。
 使う数字の合計が33になるようにするだけでいくらでも作れます。また、6以上任意の数の
クリプトグラムを6個の数字の和を合わせるだけで作ることが出来るのです。
              kuri66super331
                MS66Xで作ったクリプトグラム33

 そして、この数字パズルの奥深さをもっと存分に味わい尽くすために開発したSeek10を使えば
このパズルが持っている人間の考える力を十分に引き出すためのトレーニング効果が期待でき
その脳力を評価テストによって点数化して客観的に評価することが出来るので、学校でもこのねこ
パズルを教材として使えば『考える力』を教育することは十分に可能であると考えています。

 国に気づいて頂ければ一番簡単なわけですが、何しろ読み書き算盤に象徴される日本の教育の
概念に『考える力』の教育は想定外なので、これも『考える力』が教育できていない重大な一因だと考
えています。もう気づいた人から始めるしかありませんね。

 読み書き算盤・ねこパズル!
http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_sb_noss_1?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=%82%CB%82%B1%83p%83Y%83%8B 

 ここまでお読み頂いたあなたは相当魔方陣に興味をお持ちで数学にはまる素質は十分だと考えら
れます。是非Seek10 30分で5問の考える力評価テストに挑戦してみて下さい。
http://hw001.spaaqs.ne.jp/art32m-k/Seek10.pdf

 先日の朝日新聞に国際数学オリンピックに出場する日本代表の高校生の話が載っていましたが、
数学の魅力にはまった原因は、子供の頃お母さんがパズルにはまっている姿を見て興味を持った
のがきっかけだったそうです。 おかあさん! まず、あなたから始めてみませんか?

 そして、先生方。先ず、あなたのクラス・教科から始めてみませんか?
 (小テスト等の作成ライセンスは教材採用でライセンス提供します。)
http://hw001.spaaqs.ne.jp/art32m-k/#nekopazuru
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おしまい