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さて、素数は何個あったかな?
理論上は∞まで素数が現われます。適当な数でやりましょう。
ちなみに、100までの最大素数は97です。
2017.7.18
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 夏休み自由研究 不思議な絵を描いてみよう! リーマン予想QED 
 このブログは今月末に予定している「素数と魔方陣」の出版に先駆けて世界最大の数学未解決難問リーマン予想を証明する不思議な絵を描いて見ようというテーマで書いています。
小学4年生くらいから現役の数学者の先生までどなたでも、挑戦してみてください。2015.8.11から書き始めて夏休みが終わる前8/30に終了する予定です。
 果たして、絵画という新概念のアプローチと数学のフラクタル理論を使ってリーマン予想の証明までたどりつけるでしょうか?乞うご期待!!!(表現がちょっと古い昭和感覚)

 8/11
これから描く絵はぬり絵です。
 描き方
1.画用紙とクレヨンや絵の具等の画材を用意します。用紙は横長で使いましょう。
2.画面の2/3くらいの大きさになるように100マス計算のような10×10のマスを描きます。
  マスの数は多ければ多いほど面白くなりますが、その分描くのが大変になりますので自分で適当に調整して描いてください。

3.アートとしてより美しく描きたい場合は色画用紙を使ったり、あらかじめ好きな色で下塗りをしてください。
  線の描き方は自由ですが、定規等は使わずに自由な線を引いた方が個性的で味のある絵になります。

4.100マス描けたらこれから塗り絵の作業に入ります。
  一番下の横10マスを下地とは別の色を使って塗りつぶしましょう。
  色の選び方は自由です。下地と区別が付けばOKです。

5.下から2行目の10マスは左から一つおきに塗りつぶします。
  (言葉の説明  ーーーー 横の列を行と呼ぶ事にします。)

6.下から3行目の10マスは左から3番目のマスを塗りつぶします。
  次に3の2倍の6番目、3の3倍の9番目のマスと順番に間違えないように塗りつぶしてください。

7.下から4行目の10マスは左から4番目のマスを塗りつぶします。
  次に4の2倍の8番目、4の3倍の12番目のマスと順番に間違えないように塗りつぶしてください。
  10マスなので12番目はありませんね。100マス以上に挑戦してみたい方はこの調子で続けます。

8.5行目以降も同じように繰り返します。5をn、1行のマスの数をmとおいてみると塗りつぶしのルールは
  下からn行目のmマスは左からn番目のマスを塗りつぶします。
  次にnの2倍の2n番目、nの3倍の3n番目のマスと順番に間違えないように塗りつぶしてください。
  倍率は2,3,4,5倍と自然数で増えていきます。

9.10000マスに挑戦する人もそれ以上のマスでもすべてこのルールで塗りつぶしていけばOKです。

10.それでは絵が完成するまでちょっと休憩。

2015.8.11
つづく

2015.8.14

11.それではそろそろ各自独創的な絵が描けたでしょうか?
私も描いてみました。こんな感じです。色は一色でも何色使っても自由です。
たくさん使った方が絵としてはカラフルできれいですね。

burogu11

それでは、絵の方はこれで完成ですのでこれからこの絵を使って素数の配置の仕組みを
調べてみましょう。

12.自然数を使って下図のように一番下の行の左から右に順番に番号を振ってみます。

burogu13

13.7番目の所を上に見ていくと黄緑の1の上には7までの間に塗りつぶしのブロックが
   ありません。これが素数です。
   1と自分自身以外に約数がない数という素数の定義に合っているので7は素数だと
   言うことが出来ます。
14.そんな見方で素数の定義に従って10まで見ていくと、2,3,5,7番目が素数である
   ことがわかります。
15.4の所を見ると1と4の間に2が入っていますので、4は素数ではありません。
   2は4の約数です。
   一番下の1と一番上のnの間に何か入っている場合、その数はnの約数です。
16.だから、このような描き方で絵を描くと絵の中に素数の配置がすべてこんな形で見え
   てしまう不思議な絵を描くことが出来ます。

17.面白いと思った人は100でも10000でも描いてみて下さい。∞まで描けばすべての
   素数の配置がわかります。

18.この描き方がオイラーの公式を使ったビッグバン宇宙の菅数論を使った描き方で
   言い換えれば、素数はオイラーの公式に従って配置されると言うことが出来ます。

 では、自分で描いた絵で確認してみて下さい。使ったのは自然数のルールだけです。

この事実に着目してみるとなぜ自然数のルールだけで自然数の中に隠れていた素数が

見つかってしまったのか?と言う点にリーマン予想を解く鍵がありそうです。

 その答えは簡単に説明すると左端から右に向かうのは時間の流れで単位は特に規定し

ませんが、時間tをあらわす1,2,3・・・と言う数字と自然数nを表す1,2,3・・・と言う数

が横軸(時間軸)上に重なるように工夫したためです。

この工夫を式で書くと

正弦波交流の半周期 π ラジアン を (π/n)t と置くことによって

 π=(π/n)t               t/n=1

 ∴  n=t

だから、人間が見ても素数だと簡単に見つけることが出来るようになったと言うことです。

 これで、この方法を∞に続ければ素数のすべてはこの時間軸の数直線上に人間が見

てもわかるように現れる事が証明できましたので、リーマン予想で求めようとした法則性

に対する謎は「オイラーの公式に従っている」 という結論で解決したことになります。

(この方法は現在素数を見つけ出す唯一の方法として知られるエラトステネスの篩という

 言葉で表現された方法と全く同じだからです。 ただ違うのはこちらは数式で表すことが

出来たと言うことです。)

 では、なぜリーマン予想はゼータ関数で素数の配置を最後まで証明出来ないのでしょ

うか?

 それは、ゼータ関数を使ったアプローチを選択したため関数計算の宿命とも言うべき∞

の壁に阻まれたからです。ゼータ関数からアプローチした登山隊はすべて8合目あたり

で遭難しています。

 そろそろ別の登山道を探して別のアプローチを考えるべき時が来たと言うことでしょう。
 

2015.8.14
2015.8.22

 出来上がった絵を縦方向を圧縮してみるとこんな物差しのような絵になります。
https://makershub.jp/make/989
bandicam 2015-06-07 11-57-22-135
bandicam 2015-06-07 11-57-44-526
 この物差しは15×15まで描いて縦方向を圧縮して作った素数定規です。1と自分自身以外に約数を持たないという素数の定義に従って順に見ていくと赤くなっている数字のところでこの素数の定義が成立していることが確認できます。 素数です。
 一番下の青と一番上の青の間に何も入っていない所です。青が入っているところはその数の約数で、素数の定義を満足していないので素数という名前はもらえません。 一番最初にそれに当てはまるのが4です。間に入っている青は2で2は4の約数です。したから2段目を横の見ていくと6,8,10,12,14とこの後偶数に2の繰り返しが入ってくるので4以降の偶数は2という約数を持つことになり素数にはなれません。


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 これが、素数誕生のメカニズムのすべてと言うことに気付きましたか?後はこの方法で∞まで描いても同じ事が言えるので素数はこの仕組みに従って誕生していくことがわかると思います。4まで描けば充分素数のすべてを表していることになります。

素数44
               素数誕生のメカニズム

 
 これが、素数誕生のメカニズムのすべてを表している素数アートです。
別にビー玉である必要はありませんが、算額として絵馬にするために作りました。
この他にも三角形の高さや扇形の角度など自然数を何か物理的な物に置き換えて繰り返し並べるだけで素数の存在はこのように私たち人間の感覚で目で見てわかるような形で表れていることが分かります。
 このような素数の求め方は、エラトステネスの篩という方法でリーマン予想以前からよく知られていて、現在、素数を求める唯一の方法として使われていますので、リーマンも素数の階段がどこに現れるかは、この方法で素数を探して確認していたと思います。
 そして、この方法によればすべての素数を見つけ出すことが可能であることもご理解頂けると思います。なぜなら、この方法が素数の定義をそのまま表しているからです。
 では、リーマンは素数のどんな謎を解明しようとしていたかご存じでしょうか?リーマンが解明しようとしていたのは、どの数が素数か否かではなく、自然数の中に不規則に配置される素数の配置には何か法則性があるのか否かを解明し素数の配置がどのような法則に従って配置されているのかという数学的な公式を探していた訳です。それがゼータ関数の基本波に倍振動を重ねると言うリーマンのアプローチでは∞まで計算しなければ証明できないために途中で挫折して、このアプローチで行けば素数の法則性が見つかるはずだとしてリーマン予想を残したと言うのがこれまでの流れです。
 だから、リーマンが解明しようとしていた物はこれですべて解明できたと言って良いはずですが、残念ながら日本にはリーマンが何を求めていたのかを全くご存じない数学研究者が多いようで、これはエラトステネスの篩という方法とまったく同じだと言って一蹴されてしまいます。
 この不思議な絵の描き方は私が考案しましたが、それはエラトステネスの篩からではありません。上の物差しにも描いてあるようにオイラーの公式を一工夫した公式を使っています。つまり素数の配置はこの公式に従っていると言うことが出来ます。リーマンが探し求めていた公式です。

    オイラーの公式に一工夫加えます。

    e ^ i θ = cos θ + i sin θ  (オイラーの公式)
 
     の θ=(π/n)t  ( t=時間 n=自然数 π=円周率 ) と置いて

  すべての素数の配置を表す公式  (ビッグバン宇宙の菅数論の公式)

    e ^ i (π/n)t  = cos (π/n)t  + i sin (π/n)t 
               t=0→∞  、  n=1→∞

 ここでした一工夫が今回の不思議な絵が描ける大発見につながっています。
    それがθ=(π/n)t  ( t=時間 n=自然数 π=円周率 )です。
θというのは複素平面上を回転する単位ベクトルの回転角です。この回転角180度(半周期)を1と置くと
 180°=1 回転角はラジアンという単位で表すのでθ=πラジアンになります。
  つまり 
     π=(π/n)t       t/n=1    ∴ n=t 
  となり 
 時間軸t と 自然数nが重なって 横軸の時間軸が自然数の数直線と重なってその数直線上をみれば人間がみても感覚的にわかるように素数の配置が見えたというわけです。この場合、正弦波交流の半周期を自然数の1と置き、時間tと同じにしたことでこのように素数の配置を確認できるようになり、素数の定義をそのまま可視化できエラトステネスの篩と同じ事を言っていると確認できたわけです。
 このグラフは横軸に時間tと自然数nをとりsin(π/n)tを n=1から10 t=0 から 11まで描いた物です。

図10  数直線上に描き出された自然数1~10の波

         不思議な図の描き方の元になったグラフ

時間tの単位は1(S)秒ですが、この仕組みを考えてみると自然数の1対応する正弦波の半周期が決まればその時間tは1秒でなくても、0点からスタートしてその周期が2倍3倍4倍・・・・・の正弦波を重ねていけば時間軸上に素数の配置が現れていると言うことが出来ます。 ただこの場合人間の感覚で見た目でわかるような形でないために気付かなかっただけです。

 なぜ、リーマン予想でもいくつかの素数点を見つけることが出来たのか?についてゴムひもを使って考えてみたいと思います。
           これは、先程の素数定規です。
gomuhimos

 素数定規はオイラーの公式に従った回転ベクトルの先端の奇跡が描き出す正弦波によって素数の配置が描かれています。これを0,1のあとは13まで素数点だけゴムひもに書き写しました。
 それを伸ばしたり縮めたりしてみます。
 丁度、NHK教育テレビの朝の番組HooK BooK Rowののりで

 フックブックローの乗りで行ってみよう!
2,3,5,7,11,13・・ ♪~~~伸ばしても縮めても素数の配置は同じです~~~♪ イッケ ブック ロー~~~♪。

夏休み自由研究 不思議な絵を描いてみよう!

 ゴムひもに描かれた素数の配置は伸ばしても縮めても変わりません。11と13が入れ替わったりしないことはわかると思います。伸ばした時と縮めた時で違うのは 赤で描いた0から1までの自然数1に相当する長さです。

 つまり、素数の配置は自然数1に相当する物が決まれば決定され、下の3本のゴムひものように縮小・拡大のフラクタルな関係にあることがわかります。菅数論では一工夫してオイラーの公式のθを(π/n)tと置いたために時間軸と自然数の軸が重なって素数定規のように人間が見てもわかりやすい形で素数の姿を見える化できましたが、素数定規でこの1に対応する物を2倍の2cmまで引き延ばしたとしても素数は2cm×2倍=4cm、3倍の6cm、5倍の10cm、7倍の14cm、11倍の22cm、13倍の26cmの点は素数点になることがわかります。
 逆に、1に対応する長さを1mmとしてオイラーの公式を適用すれば、2mm,3mm、5mm,7mm,11mm、13mmの点に素数点が現れてくることがわかります。
 これが、フラクタルな関係で素数の配置はオイラーの公式によって配置され1に相当するものが決定すれば一通りに決まります。

2015.8.23
2015.8.24

 リーマン予想について

 ζ(s) の自明でない零点 s は、全て実部が 1/2 の直線上に存在する。

呪文のような1文ですが1/2と言う数つまり 0.5 という数に着目して下さい。

 これはたびたび再放送されている白熱教室『素数』でソートイ教授が言っていたお話ですがリーマンはガウス先生が考えた素数の階段をゼータ関数を倍振動という形で重ね合わせて、テレビでは100倍振動まで重ねていく波形の変化が映し出されていました。振動数を増加させると言うことは周波数をあげると言うことですが、正弦波の高調波をいくつも重ね合わせることで角張った方形波を作り出すことが出来ることは電気の世界ではよく知られている話です。ゼータ関数の波は複雑な素数の階段を近似するために考えられた物のようなので単なる正弦波というわけには行きませんが、話を単純化するためにこの際一つの正弦波と考えてみましょう。

先ず10倍まで重ねた時を考えてみましょう。
 基本振動の周波数を1Hzとしてその10倍振動までの正弦波を重ねます。
考え方としては基本振動1Hzの10倍で最大周波数は10Hzになりますので、このf=10Hzの正弦波の半周期は1周期が1/10なのでその半分で1/20(秒)になります。この波を自然数1の波としてこれに半周期が2倍、3倍・・・・10倍の正弦波を重ねていくと下のグラフのように0から10/20つまり0.5までの時間軸上に0から10までの素数が現れていることがわかります。
zu1
  横軸の0.05を自然数1とすれば 2,3,5,7のそれぞれ0.05倍   0.1, 0.15, 0.25, 0.35の点に素数点が現れていることが確認できます。これは前述のフラクタルゴムひも理論の通りです。
 この0.5の点を20倍の10まで引き伸ばせば不思議な図の描き方の元になったグラフと一致して2つのグラフが縮小拡大のフラクタルな関係にあることがわかります。
 また、これによってリーマン予想のアプローチでもゼータ関数ではなく基本振動に倍振動を重ねていくという手法によっていくつかの素数点を見つけることが出来ることがわかります。

 では、次に基本振動の100倍まで重ねた時を考えてみましょう。
 最大周波数100Hzの半周期は1/200(S)になります。この波を自然数1の波としてこれに半周期が2倍、3倍・・・・100倍の正弦波を重ねていくと、0から100/200つまり0.5までの時間軸上に0から100までの素数が現れていることがわかります。

 この関係を最大倍振動周波数をn として一般化してみましょう。

 最大周波数 n Hzの半周期は1/2n(S)になります。この波を自然数1の波としてこれに半周期が2倍、3倍・・・・n倍の正弦波を重ねていくと、0から n/2n つまり0.5までの時間軸上に0からnまでの素数が現れていることがわかります。

( 倍振動をどんどん重ねていくとその最大周波数nまでの素数が時間軸上の0から0.5の間に0からnまでの素数点が現れます。0.5は1/2、時間軸は複素平面上の実軸です。)

 最後に最大周波数 ∞ Hzまで倍振動を重ねることが出来たとすると
 最大周波数 ∞ Hzの半周期は1/2∞(S)になります。この波を自然数1の波としてこれに半周期が2倍、3倍・・・・n倍の正弦波を重ねていくと、0から ∞/2∞ つまり0.5までの時間軸上に0から∞までのすべての素数が現れていることがわかります。
          ∴ リーマン予想は正しいという証明になります。
 なぜなら、これによって0から0.5までのたった0.5(S)の時間軸上に現実に現れているすべての素数点はオイラーの公式で0から∞までの間に表された素数点とフラクタルな関係にあり、0.5を∞まで引き延ばせば完全に一致するからです。
 リーマン予想が150年以上も証明できなかった最大の理由は、倍振動を∞まで重ねてゼータ関数の計算で求めることが事実上不可能だったためです。



2015.8.26
 この∞の壁に挑戦したのがビッグバン宇宙の菅数論です。菅数論を単位分数まで拡張すると多くの数学者の前に立ちはだかっていた∞の壁を乗り越える秘策オイラーの環が完成します。∞の数までの振る舞いをこの環の中に閉じこめ、1/∞という数の振る舞いも0から2までの間で完結していることが確認でき、リーマン予想を証明することが出来ました。最大周波数を∞とした時その周期は1/∞で半周期が1/2∞となりますが、これに半周期が2倍3倍4倍、・・・、n倍、・・・、∞倍と言う正弦波を重ねれば、2/2∞、3/2∞、4/2∞、・・・・、n/2、・・・・・、∞/2∞となり、フラクタル理論によってこの中にすべての素数点が現れ、最後の項は∞/2∞となっていますので、これは数学的には分子の∞と分母の∞は同じ物と考えることが出来ますので∞/2∞=1/2と言う解を得ることができます。
 リーマン予想に呪文のように書かれていたあの1/2です。
リーマンは予想でしたが、こちらはオイラーの公式とフラクタル理論によって論理的に導き出された事実です。
オイラーの環について詳しくはこちらのブログでお読み下さい。
リーマン予想とオイラーの環(単位分数の新概念)  - 素数誕生のメカニズム

2015.8.30

 今日で夏休みも終わりなので自由研究
夏休み自由研究 不思議な絵を描いてみよう! リーマン予想QED 
のまとめをします。

 素数はどのような法則にしたがって配置されるのかはこれまでその法則性が見つからないので数学の世界では未解決難問とされていましたが、実は小学生が絵にも描けるような法則性が見つかりました。
オイラーの法則です。これにちょっただけ工夫をしてやれば人間が見てもすぐにオイラーの法則にしたがって配置されている事がわかるようになります。それはなぜかというと、そのひと工夫でオイラーの公式が素数の定義をそのまま表すことが分かったからです。そのひと工夫がエラトステネスのふるいと同じことを言っているだけだといわれたビッグバン宇宙の菅数論です。
 これによって素数はオイラーの公式にしたがって配置されるという証明が出来ました。

 繰り返しになりますが、菅数論の一工夫によってオイラーの公式で素数の配置を表すことが出来るという事がわかったわけですが、人間には気付かなかっただけでオイラーの公式を使えば自然数を正弦波の半周期に置き換えて重ねるだけで時間軸上に素数は配置されているのです。菅数論の場合は自然数1を半周期が1秒の正弦波と置いてその周期を2倍3倍・・・と重ねたために自然数と時間の軸が重なって人間が見てもわかるようになっただけのことで、基本の自然数1に当たるものを何に設定しても素数の配置はその時間軸上に現れていることになります。これがオイラーの公式によって描き出されたグラフのフラクタル性です。
 リーマン予想の場合は最大の倍振動周波数をどこまで重ねるか決まれば、このフラクタル性によって最大周波数までの素数の配置を見つけることが出来ましたが、自然数1に相当する周波数を∞にしてその半周期1/2∞を1としてこの周期が2倍3倍・・・・という正弦波を∞倍まで重ね合わせれば∞/2∞=1/2となりわずか0から1/2つまり0.5の間に0から∞までのすべての素数点が現れている事がわかります。
               ∴ リーマン予想は正しい

 ただし、倍振動を重ねるというアプローチで周波数∞Hzまで重ねて計算することは現在のコンピュータをもってしても不可能なため、これまで証明されずに未解決難問として残っていたという事です。

 このお話はこれで終わりです。

このお話を詳しく解説した本素数と魔方陣の本を出版しました。

菅野正人著  「素数と魔方陣」 出版
       2015.9  リトルガリヴァー社
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おわり
2015.8.30

リーマン予想 証明完了! - 発想力教育研究所 素数誕生のメカニズム http://blog.livedoor.jp/art32sosuu/archives/42033644.html

リーマン予想の実部1/2は調和解析の基本波に倍振動を重ね合わせるという手法によって素数の定義が成立し必然的に表れた物である。基本波の周波数を∞Hzとし自然数倍周期で1から∞まで重ね合わせれば∞は相殺されて0から1/2までの時間軸上にすべての素数点が表れる。
リーマン予想QED 2015.12.13


 
世界最大の数学未解決問題 リーマン予想の証明 
今完成してyoutubeにUPしました。ご覧ください。
 
 
2015.11.10


リーマン予想を証明する本「素数と魔方陣」