フラクタル自然数の１を定義して自然数nのn上数列の階差を調べて見ると自然数nの冪乗数列には階差の中に一定の定数項があるため、任意の２つの数の和と答えになる数の所属する集合が永久に交わらない数の集合が定数項の分だけ出来る。自然数の３乗以上の数列(3乗数列)では、足し算が成立しない。
つまり、数列の中から任意に選んだ２つの数の和が、同じ３乗数以上の数列の中に存在していない。と言う現象が現れる。これがフェルマー定理である。5乗数列ではn！＝５！＝５×４×３×２×１＝１２０の定数項が存在しているが、この数はガロア理論の5次方程式の解の公式の数とも一致している。冪乗数列階差定数項の定理の存在は冪乗数列を調べることによって容易に証明できる数学的事実である。

以下に、その論論文を公開した。

   ２０１７年月刊Ｉ／Ｏ　５月号掲載　原稿

　エクセルと計算尺で挑むフェルマー定理の証明

発見！べき乗数列に謎の数、ｎ乗数列の階差数列に潜む定数（ｎ！）　　 ■菅野正人

　フェルマー予想が、１９９４年にアンドリュー・ワイルズによって証明された事は承知の上で、フェルマーの定理について別解を提案してみたいと思う。宇宙の真理は単純なはず、解読困難論文５００ページでは長すぎる。宇宙の真理なら３ページもあれば十分だろうと考えてみた。自然数のべき乗は何乗しても自然数の枠を越えないはずなので、フェルマーの定理も、1次元的な数直線上で、自然数の振る舞いに着目してアプローチすれば証明出来ると考えた。ちなみに、昔懐かしい計算尺の2乗メモリで2本の定規を作り、ずらして行けば自然数解が，すぐにいくつか見つかる。当然のことだが解は全て、自然数を２乗した、平方数列の中にある。この、べき乗数列に着目して、エクセルを駆使してｎ乗数列の階差数列を調べてみると、階差数列には、ｎ！の定数項が含まれていることを発見した。今回は、この発見を元に３ページでフェルマーの定理の証明に挑戦してみたいと思う。

 ｎ乗数列の階差数列定数項はｎ！
自然数のべき乗で出来る数列を１乗から順に考えてみる。

フェルマー定理１
 
当然のことだが、階差数列は定数１になっている。次に２乗数列を見てみよう。
フェルマー定理２

 　２乗数列（平方数列）では、階差数列２に定数２が現れている。
 フェルマー定理３

３乗数列（立方数列）では、階差数列３に定数６が現れている。

 フェルマー定理４
４乗数列では、階差数列４に定数２４が現れている。
　ここまで来れば、このべき乗数列の中に潜んでいる定数項がｎ！らしいという予想がつくが、それよりも重要なことはべき乗数列の中に定数項が潜んでいるという事実である。これによって、フェルマーの定理が証明出来る可能性がある。では、５乗数列以降は先に定数項を予想してみる。

５！＝１×２×３×４×５＝１２０になる。
フェルマー定理５

予想通り、５乗数列（立方数列）では、階差数列５に定数１２０が現れている。

次の６乗数列は予想は１２０×６で７２０。

　フェルマー定理6
　　
 
　ここに現れる定数項について、数学的に考えてみると、階差数列は前後の数との差を表しているので
２乗数列の場合は
ａ＾２－（ａ－１）＾２＝ａ＾２－（ａ＾２－２ａ＋１）
　＝２ａ－１となり
次の階差数列で
　２ａ－１－（２（ａ－１）－１）＝
　　　　　２ａ－１－（２ａ－３）＝２
　　　　　　となり、定数項２を得る。

３乗数列以降、以下同様に
１乗数列の定数項　　　　　　１
２乗数列の定数項　　　　　　２
３乗数列の定数項　　　　　　６
４乗数列の定数項　　　　　２４
５乗数列の定数項　　　　１２０
６乗数列の定数項　　　　７２０
・ 　　　　　　　　　・
・ 　　　　　　　　　・
・ 　　　　　　　　　・

∴　ｎ乗数列の定数項は　ｎ！　となる。　

　ｎ乗数列の階差数列には、ｎ番目の階差数列が定数項になり、その値はｎ！になる。と言う法則性が存在していることが分かる。
フェルマー定理7

　冪乗数列の定理
 ｎ乗数列にはｎ回目の階差に定数項ｎ！が潜んでいる。
自然数は階差1の自然数列ですが、この定理で考えれば、自然数はべき乗数列の集合の中の一つの数列で、1回目の階差が定数項1！の１乗数列であると考えることが出来ます。　

　この定理は自然数とは何かを定義付ける数学上の発見と考えることが出来ます。



フェルマーの定理
ｎ次方程式　ｎ＝３以降には
　　　　　Ｘ＾ｎ＋Ｙ＾ｎ＝Ｚ＾ｎ　　
を満足する自然数Ｘ，Ｙ，Ｚの組み合わせは存在しない。


菅野正人

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