全ての正多角形、正多面体はフラクタル自然数1(単位ベクトル)の繋ぎ合わせによって宇宙空間に唯一の大きさと形でその姿を現している。


【素数と魔方陣 フラクタル&トポロジー ビッグバン宇宙の菅数論で近未来数学の扉を開く数学書】ハンドメイド、クリエイター作品のマーケットプレイス Creema https://www.creema.jp/item/5074195/detail


今回の新多面体を解く!では全5種と言われるプラトン立体に加えて、ビッグバン宇宙の菅数論から見出した第6番目の正多面体、ケプラーの星形正多面体 小星形12面体についてフラクタル自然数1単位ベクトルによる数論と幾何学のつながりについても解き明かして行く事にする。



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ビッグバン宇宙の菅数論から見出した単位ベクトルの次元を繋ぐリーマントポロジーラインとは、単位ベクトルを2等辺三角形の底辺と置いた時の底辺の垂直2等分線(水色の直線)をさしている。


正4面体の数理

リーマントポロジーラインで正4面体を折り畳む

3次元の正四面体は折り畳むと∞にフラクタルな正三角形を描きながら、底面の正三角形になる。

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   正4面体を底面が正三角形の正三角錐と考えれば、リーマントポロジーラインで2次元の平面に折り畳む事ができる。
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3面の二等辺三角形(正三角形)にはそれぞれ、単位ベクトルを底辺とした垂直2等分線が存在している。

立体を折り畳むとは
正4面体の角錐部分は、このリーマントポロジーラインの任意の点と直交する底面と平行な平面でスライスし上下を反転して重ね合せる事によって折り畳む事が出来る。

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      2分割折り畳み
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 リーマントポロジーラインの1/2で折り畳んだ写真

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  5分割折り畳み

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    10分割折り畳み

 このように、正4面体はリーマントポロジーラインの任意の点で折り畳むことができ、折り畳む点と直交する平面上には底面の正三角形とフラクタルな図形が描き出されていることがわかる。
 これを、リーマントポロジーライン上の任意の点で繰り返せば底面の正三角形とフラクタルな図形を無数に描きながら正四面体は底面の正三角形まで 折り畳む事が出来る。

これが、次元毎にフラクタルな単位ベクトルの次元を繋ぐリーマントポロジーライン の存在によるものである。

2次元正三角形にもリーマントポロジーラインが存在しているので、折り畳むと単位ベクトルになる。
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単位ベクトルはフラクタル自然数1(単位ベクトル)なので、正4面体は完全に単位ベクトルの定義によってリーマントポロジーラインが単位ベクトルの次元を繋いで描き出される立体である事がわかる。

これが、リーマントポロジーラインによる、単位ベクトルー正三角形ー正4面体の次元のつながりである。
 
正六面体の数理
正6面体とはサイコロの形などとも呼ばれる立方体の形である。
一見すると、二等辺三角形が何処にも見当たらないので、正四面体のようにリーマントポロジーラインで簡単にフラクタル単位ベクトルとの関係を証明出来そうにないように見えるが、正6面体を先に学習した球体関節線分多面体で考えてみれば、たくさんの二等辺三角形が見える化して、リーマントポロジーラインも見えるので、正6面体とフラクタル自然数単位ベクトルのつながりも証明できる。

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 4位相単位ベクトルの繋ぎ合わせで正六面体が形作られているのがわかるが、それだけでは立方体の形を保つ事は出来ない。立方体の形を保つためには、4位相単位ベクトルで囲まれた六面の正方形の対角線にピタゴラスが発見した√2倍の長さのフラクタル1次元の単位ベクトル(透明な単位ベクトル)を入れて、4色のフラクタル2次元単位ベクトルを正方形の形に配置させる必要がある。

したがって、立方体は、直角2等辺三角形二面で作られた正方形六面で形作られた正多面体であると言える。言葉を変えれば、直角2等辺三角形12面体と言えるだろう。

正六面体の折りたたみを考えるともう一つリーマントポロジーラインとの繋がりがみえる。

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立方体はこの様にちょっと低めのピラミッドが6個集まった形と考えることができる





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その中の一つをリーマントポロジーラインで折り畳んで見ると

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    2分割

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     5分割

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   10分割

  ∞分割して折り畳めば、∞にフラクタルな正方形によって描き出された正方形になる。
この正方形はフラクタル4位相単位ベクトルの繋ぎ合わせによって描き出された正方形である。

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 これで、フラクタル自然数1(単位ベクトル)と正六面体の繋がりがリーマントポロジーラインで折り畳むことによって証明できた。
ここで、注目すべき事は、単位ベクトルのノルムである。
フラクタル2次元の正方形の1辺である4位相単位ベクトルのノルムはxーy座標軸によって1の目盛りが刻まれている。これが、上図の正方形定規だが、この中の自然数nのグラフを見るとY=Xなのでその長さは正方形の対角線の長さとなり、xーy座標軸で誰かが暗黙のうちに定義した2次元の単位ベクトルのノルムより√2倍長い事がわかる。
これまでの数論言われてきた、単位ベクトルのノルムは次元に関わらず1であると言う常識とは大きく異なり、フラクタル次元で自然数を考えるとフラクタル自然数1単位ベクトルのノルムは次元毎に異なっている事がわかる。

正六面体の場合はその√2倍のフラクタル1次元の単位ベクトルをフラクタル2次元の4位相単位ベクトル正方形の対角線に挿入することによって、1次元単位ベクトルを底辺とし、2次元4位相単位ベクトルを斜辺とする直角2等辺三角形を描くことによって安定した正方形の形を描き出しているので線分だけで正六面体の形を描き出す事が出来ている。


正八面体の数理        2021/02/20

正8面体は正4面体と同じ様に球体関節線分多面体で作ってみると、2次元の4色単位ベクトルだけ12本繋ぎ合わせれば、単位ベクトルのノルムを適当に決めるだけで、宇宙空間に唯一の大きさと形でその姿を現わす。

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3本ずつある4色の単位ベクトルは、6つの頂点に重複する事のないただ一通りのトポロジーによって数論と幾何学図形を繋いでいるのが分かる。

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この正八面体を描く出す4位相(色)単位ベクトルの空間配置のトポロジーを使うと
この球体関節線分八面体を使って、手を使って考える面白いトポロジー脳トレパズルを作る事ができる。

https://www.creema.jp/item/10324169/detail

 正八面体を折り畳む
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正八面体の1/2について考えると、底面が正方形で斜面が正三角形のピラミッドの形(正4角錐)になっているので、正六面体の6つのピラミッドのように、リーマントポロジーラインで∞分割して折り畳めば、無限にフラクタルな正方形を描きながらフラクタル2次元の正方形になる。

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   2分割
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   5分割
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    10分割