2016年03月09日

数学の苦手の人が知らない正しい高校数学勉強法トップページ(目次)


現在、ほぼこのブログは放置してます、ご了承ください。

@更新情報@

2016/3/9
ひさびさに気が向いたのでブログ更新(記事:入試マニアの独り言~2016年京大数学(理系)~)、でもやっぱり記事の更新はしないだろうなぁ…



 私は、理系で数学を得点源にして大学に入学した、というくらいに高校数学は大学入学当初はそれなりの得意科目だった。ただ、本当に頭のいい奴のように学力コンテストや数学オリンピックででるような難問や東大京大で捨て問になるようなものまで解けてしまうほどの数学天才ではなく、むしろ大学に入って早々に学問としての本物の数学に触れた時に、その抽象的な概念に辟易としてしまい、速攻で放り投げたほどの数学弱者で、決して頭が良いわけでも、数学のセンスがあるわけでもない、単なる凡人である。しかし、今でも東大京大東工大模試では理系数学だけは偏差値を60を取れるだけの自信はある。なぜなら、“高校数学”に関しては自信を持った数学の勉強法を自分で確立して、その中で培った“経験”だけが今でも残っているからである。だから、自分の経験から、自信を持って高校数学については言おう!

私の言う高校数学の勉強法を実践すれば100%高校数学が苦手でなくなるはずである! それどころか、難関大学でも得点源になる数学力が身に付くはずだ!

まあ、こういうネットにかなりオイシイこと書いてある場合、それを簡単に鵜呑みにしてはいけない、というのがネットをやるうえで常識なわけであるが(笑)……どうせ、今苦手で何も手の打ちようがないなら、だまされたと思って試してほしい。
 私の提唱する勉強法がインチキだったら、恐らく数学は苦手なままだろう。しかし、だからと言って何もしなかったらやっぱり数学は苦手なままなのである。だったら、マイナスになることはない。もし、私の提唱する勉強法がホンモノだったら、これを見ているあなたは絶対得をするのである!というわけで、試しに私の話を信じてはもらえないだろうか?


 ただ、いきなり、そんな話をしてもやはり説得力を持たせることは不可能であろう。だから、かつての昔の私の数学の成績のお話をしておこうと思う。実は、高校2年生の時に駿台予備校の『高2レベル東大模試』というものを受験したことがある。名前だけはすごく難しそうだが、実際のところはただの高2生向けの駿台全国模試である。しかし、私はそこの数学で6点しか得点出来なかった。10点満点の小テストではない。100点満点の試験でもない。なんと200点満点である。はっきり言って、ゴミカスである!でも、こんなやつが、最終的には東大や京大模試で数学に関してだけは十分な合格点を取れるようになった。その話を聞いてくれたら、ちょっとはこいつを信じてみようって気持ちになってくれるのではないだろうか?

※以下をこのブログの目次にして、随時記事を上げていきます 

(1)そもそも、数学ってどんな科目なのか?  

(2)数学で必要な知識をつける勉強法~数学苦手を克服へ!
 

(3)数学で思考力をつける勉強法~数学の楽しさを実感へ!
 

(4)コラム:餅は餅屋?参考書のチョイスはとっても大事! 

(5)高校の数学の授業はどう受けるべき? 

(6)センター数学は小手先テクで乗り越えろ! 

(7)知っていれば一瞬で解ける!?2014年入試出題の典型問題

(8)コラム:文系受験生こそ数学が合否を決める! 

※高校数学についてこういうこと知りたい!といったことがございましたら、この記事のコメント欄にお書きください。何か私が記事に出来そうな内容でしたら、せひ、そのテーマを採用させていただきたいと思います。

質問・勉強相談ページ
記事についての質問や、その他勉強法の質問、相談はこのページへ!

新コーナー:記事主自作数学問題!
記事主の自作の入試レベルの数学問題。お暇な時に、よろしけば!

@自己紹介@
 田舎の公立高校の卒業。現役の時、一番かっこよさそうという理由で、学力は全くないのに日本最高学府の東京大学の理科Ⅰ類に特攻。もちろん、ブービー賞受賞レベルの低得点で無事ふるい落とされ、浪人を始める。ただし、予備校というものが基本的に好きじゃないので、宅浪。このとき、高校時代にサボってた(当時の物理Ⅱの選択範囲)原子物理の章を読み面白かったので、俺は21世紀のアインシュタインになると決意し、理論物学を志し京都大学理学部を志望する。しかし、宅浪時代にいろいろなアニメにハマってしまい、結局勉強量がたらなかったのか、京都大学の理学部の“不合格者の首席”となるという貴重な体験をする。東京の某W大学とK大学は受かっていたので、一時期高田馬場に下宿を決めるまでするも、基本的に田舎者なので、東京の大都会に圧倒され、さらには下宿の狭さに一気に嫌になり2浪を決意。しかし、さすがにもう一年を宅浪は不味いと某K塾に進学。しかし、やっぱり予備校は好きではないので、僅か2か月中退(笑)。しかし、幸いなことにうちの親父も昔浪人中にK塾を中退した経歴を持つので、何も言われず、また好きなように勉強できる宅浪をはじめる。このころから、長年の経験が生きるようになっていたのか、入試のカラクリわかるようになり、今までせいぜい最高でB判定しかでなかった京大模試で、以降A判定しか出なくなり、冊子掲載も数回経験して、入試は頭脳ではなくカラクリを知ることが鍵を握る、と思い始める。このあたりから、“大学入試マニア”の異名を自称する(笑)。結果、受験三年目にして京都大学理学部に見事余裕合格する。そして、思い始めたことが確信に変わり、今、入試マニアとして、こんなブログを書くに至る。
 ちなみに、やはり頭脳面は大したことないので、ちょっとでも難しい理論的な話はてんでダメで、大学では入学早々ニュートン力学で物理に躓く他、数学も全然理解できず、一時期数学アレルギーを発症する。しかし、そんなんで途方に暮れていた中、大学三年生の時、分子・細胞生物学に出会い、生物知識ほぼ0から今では生物マニアになりつつある。



@おまけ@ 

実は、こんなブログを書いてしまうくらいなので、私はかなりの大学入試マニアだったりする。なので、暇つぶしでこんなものまで作ってしまった。よかったら、ごらんください(笑)

2014年京大理系数学模擬問題

2014年京大文系数学模擬問題

入試マニアの独り言~2014年東大数学(理科類)~

入試マニアの独り言~2014年京大数学(理系)~

入試マニアの独り言~2016年京大数学(理系)~
 
入試基礎レベル数学試験問題(by暇人京大生)

誰も教えてくれない難関大学入試の攻略法!
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daisaku309 at 19:32|PermalinkComments(27)

入試マニアの独り言~2016年京大数学(理系)~

 もう2年近くぶりのこのブログの更新ではないだろうか?白状すると、このブログ書き始めたころみたいに暇人でなくなったから更新しなくなったというのも確かに嘘ではないのだが、去年の入試数学は東大(理系)も京大(理系)も解いたのだ。しかしながら完答できた問題が見事に一つもなかった。15年京大理系①は、青チャートの基本例題レベルの話であり、大数の難易度評価もAランクであった。そんな問題があったのにである。
 2年くらい前から、実験科学系の専門課程に入って、分野の関係上ほとんど数学に触れていなかったから劣化したのだろうと思ったが、それにしてもAランクも解けない…うん、今後は二度と入試数学を解くのはやめよう。どうせ、あ、俺頭悪くなったなあ、と落ち込むだけだから…。 
 というはずであったのだが、やはりマニア気質は完全には抜けないもので、結局、今年もまた問題解いてしまった。そしたら、そこそこ解けたので、じゃあ、久々に記事を書くか!となったわけである。 まあ、つまるところ、都合がいい時だけ記事を書いているのだが、趣味でこのブログはやっているので許してほしい。

 さて、本題であるが、2016年京大理系数学(問題はこちら)。 巷でも易化というのがもっぱらの評判であるが、私の感想も易化であると思う(去年1完も出来なかったというのを言い訳するために去年が難しかったっていうわけじゃないです笑)。しかしながら、近年の京大数学の、標準レベルで受験生の差が付きやすい、という傾向は特に顕著であったと思う。つまり、今年は数学で失敗は出来なかった、と考えられる(他の科目は見ていないけれども…)。


微分と極限。最近の京大は前半にやさしい問題を置くのを徹底しているし、30点問題だからたぶん標準問題だろう、と初見では予想して解いてみた。その通りで、定石通りに解くだけで、極限を求めるのもややこしいテクニックは不要。とりあえず、ネイピア数eの定義をちゃんと勉強していたらできたはず。これは落とせない。

(などとえらそうに書いておいてみたけれども、やはり劣化でしょうか、私は(1)の微分を間違えてしばらく悩んで、なんとか途中でミスに気付いたが、(2)は上で述べたようなことを解いているときにもすでに思っていたのに、結局極限を求められる形に変形できず撃沈。やはり、日ごろから数学に触れていることがいかに大事かということがわかりますね)


巷で最も話題になっている問題。問題文もシンプルで、素数p,qを用いてできる素数p^q+q^pをすべて求めよ、といういかにも受験生が嫌いそうな問題。試験場で捨てた人も多い気がする。しかし、 この問題は実は難問ではなく、一番差が付きそうな問題である。なぜか?

受験数学を長年の勘だけで乗り切った私からすると、この問題をみたら次のような事が頭に浮かぶ。

その①
とりあえず実験すべし!

すべて求めよ、とある事から90%、p^q+q^pは有限個しかなく、しかもあってもせいぜい数個であろう、と見当が付く(必ずそうであるとは言えないが)。逆を言えば、とりあえず適当なp、qを代入する“実験”をすればp^q+q^pが素数ではないハズレがたくさん見つかるはず。そのハズレを分析して、なぜ素数がp^q+q^pが有限個なのかを予想出来る場合が多い。まずはあれこれ言わず手を動かしてみるのが合格への鍵?

その②
素数ときたら、2または3以上の奇数と考えよ!

この手の問題の場合、2は唯一の偶数の素数である、というのが強力な条件となっている場合が少なくない!今回も、p,qがともに奇数であるとp^q+q^pは2より大きい偶数≠素数になってしまう。そこで、まずp,qは片方が2であるとすぐにわかってしまう(試験場では緊張のためなかなか気づけないかもしれないが、それでもその①のように実験していれば分かるはずである)。

その③
素数に限定した議論はするな!素数をすべて含む整数で議論せよ!

もう今の受験生にはかなり古くなってしまったので、知らない人も多かったかもしれないが、この問題の途中で私が思い出したのは2006年京大理系前期④であった。問題の主旨は、素数nに対してn^2 +2が素数となるのはn=3のみであることを示せ、という事である。この問題では、nが3より大きい素数ならば3の倍数ではない、ということを利用して、n=3k±1と置く。すると、n^2 +2は3より大きい3の倍数になってしまうので素数にはなりません、という証明をすると解ける。
ここで重要なのは、素数の絡む問題を議論をする際には、素数に限定した話をしない様にすべき時があるということである。そもそも素数の一般の形なんか京大の天才数学者たちにも分からないので、素数に限定した議論をするのは極めて難しいことなのだ。そこで、例に挙げた06年の京大の問題であったように、3以外の素数は、3で割り切れない数にすべて含まれるということで、素数について議論をする代わりに3で割り切れない数で議論をするのだ。これならば(n=3k±1のように)一般の形に書くことは極めて容易であり、この一般の形でいえたことは、当然その部分集合である3以外の素数でも言える、というような議論の仕方をするのである。
その①で実験すると、p=2、q=5以上の素数とすると、p^q+q^pは3より大きい3の倍数≠素数となることが予想できるはずである。このとき、実際に証明するためにはq=5以上の素数ではなく、q=6で割るとあまりが±1となる数(これは2でも3でも割り切れない数すべてを表すので5以上の素数をすべて含む!)で議論を行う。すると、このことの証明は簡単にできるはずである。

以上のように、一見手の付けようがない問題に見える本問であるが、解法のポイントはある程度決まっている。そこでこのようなポイントに着目できたかどうかでまず差が付き、さらにそれぞれのポイントを正確に論証できたかどうかでも差が付く。そういう意味で今年の京大理系数学のカギを握った問題であっただろう。



問題だけ見ると、具体的数値はなく一般の四面体の話をしており、なんとなく抽象的な感じがして一瞬怯んだ受験生も多かったかもしれない。しかし、それは完全に見かけ倒しである。この問題は外心の定義さえ知っていれば中学生の算数の話にすぎないのだ。教科書等でも似たようなシチュエーションを多く見かけるので、 すぐに方針は立てられたと思う。これは短時間でスパッと片付けたい。個人的にはなぜこの問題が35点なのかはよくわからないが(どう考えても②が35点だろ!と思う)、京大数学だから、しかも35点問題だから、と無駄に身構えすぎて方針を見失った人もいたかもしれない。どんな状況でも惑わされず、冷静に本質を見抜ける力が重要だ


この問題も大いに差がついた問題のように思う。図形Dの条件が仰々しく、更にDがy=zの平面内の図形であるという珍しい設定に、図形Dのイメージがわかず戸惑ったかもしれない。しかし、回転体の問題は定石通り、回転軸に垂直は平面で切った図形を考えればよい。結局はよくある線分を回転させたときに、線分が通過する領域の面積を積分すればよいという話に過ぎないのである。しかし、積分(体積)は高校数学でも終盤に学習し、受験期には(特に現役生は)まだ十分慣れていないということが多い為、慣れた人とそうでない人で大いに出来が違ったことと考えられよう。そういう意味で差が付きやすい問題であったと思う。

(などとえらそうに書いておきながら、しばらく数学がご無沙汰だったためか私も定石をすっかり忘れて、とりあえずDのイメージは出来ていたのに、なぜか回転軸に垂直な平面で切る!ということが全く浮かばず、積分までたどり着けなかった。いやはや、やはり数学はしばらくやっていないと勘が鈍っちゃっていけませんな笑) 


問題文が長くて嫌になるが、ちゃんと読めば、話自体はそれほど複雑なテーマではないことがわかるだろう。漸化式を立てて確率の問題を解くという作業には受験生は慣れているから、多くの人が漸化式は立てられたはずである。なお、動点Xの存在する場所は6パターン考えられるが、実際にはx座標だけに着目して考えればよい。x座標は0または1または2であるから、これらそれぞれの場合の確率の和は1である、というごく当たり前の関係式を使って漸化式を解いていけば答えは出すことができる。漸化式を解く際にややこしい計算はほとんどないので、多くの受験生は完答できたと思われる。この問題は落とせない。
余談だが、x座標が0になる確率と2になる確率の極限は2/7、1となる確率は3/7となる。nが非常に大きければ、最初のx座標が0であったということの意味は薄れ、x座標が0である確率も2である確率も同様になり、さらにx座標が1となるよりは確率は低い、というのは直感と一致するはずだ。このようなチェックをすれば解答に自信が持てる、あるいはミスに気づけるようになるかもしれない。

⑥ 
問題を少し弄ってすぐに私の長年の勘が捨てろといった(笑)。後から、ズルして河合塾のホームページで解答を見たが、その勘はやはり当たっていて、高度な話ではないが丁寧に一つ一つしてやらなければならないことが多く、時間が掛かりミスをしやすい問題であったように思う。 早々にズルしてしまったので、問題の詳細を考察するのはやめておくが、大事なことは、もそも京大数学では全部の問題を完答するには、簡単な年であっても、頭の回転と字を書くスピードが相当速くない限り、時間が足りないのが普通である、ということを理解しておくべきということだ。したがって、試験場において問題の取捨選択が重要である。入試対策としてはこういった選球眼も身に着けておくようにしよう(やはり、数学の問題にたくさん取り組めばこのような選球眼は“長年の勘”として自然と身につくものである)。


以上が今年の京大理系数学のマニアの感想である。難易度は大学への数学風(A基本、B標準、C発展、D難問)に書けば

①B②B(≒C?)③A④C(≒B?)⑤B⑥C

といった感じ。全体で①、③、⑤の3完がボーダー、ぷらす②or④の1完でまずまずといったところでしょう。 

daisaku309 at 19:29|PermalinkComments(0)

2014年08月06日

(8)コラム:文系受験生こそ数学が合否を決める!


 以前、京大の文系を志望している受験生のために、実際の京大の文系学生にちょっと情報提供をお願いして、得点開示がどんな感じだったかを聞いたことがある。その、結果分かったことがあった。それは、文系学生でも国語は大してできているわけではなく、聞いてみたら京大模試で平均切ることがあったような学生も少なからずいた。しかし、合格した学生は、ほとんどが数学と英語の成績が高く国語や社会で稼いだという学生はあまり存在しなかった。確かに、傾向として、文系学生は英語が好きな人が多いような気がするのは、私の経験上その通りな気がしたので(これは、あくまで主観的なイメージに過ぎないが…)、英語の点数が高いのは自然にそうなるだろう。しかし、文系学生が数学好きが多いかというとそれはやはり違うような気がする(実際、京大生の文系学部生で数学が好きでない学生は案外多いという印象である)。ということは、京大文系に入ってきた“元受験生”たちは、入試で合格するために、特に勉強して数学の力をつけて入学してきたということであって、逆を言えば数学の力をつけられなかった人は合格せず入学は出来なかったのではないだろうか、ということが推測できた。すなわち、文系入試は数学こそが合否を決める、ということである。


 このブログの紹介文にも書いたように、 最難関レベルの東大文科でも模擬試験などでは国語の試験で満点は基本的に出ないで、比較的低い点でも高偏差値が出るようなデータが大手予備校などで行われているものにたくさん存在している。昔、駿台模試か何かで、科目ごとの標準偏差を見たことがあるが、国語だけダントツで低くく、逆に数学は比較的高かったように思った覚えがある。標準偏差は、正確な言い方ではないが、早い話が小さければ小さいほど点数が上がったときに偏差値が上がりやすく、逆に大きいほど点数が上がってもなかなか偏差値が上がりにくい、という性質を持つ値である。一方偏差値は、これも感覚的に言えば、その点数を取るための難しさを表していると言っていいだろう。だから、基本的に模擬試験では、素点だけではなく偏差値も算出されるのである。以上のことから、言えるのは、国語は点数をあげるのが難しく数学は点数をあげることは容易である、ということである。入試の合否は各教科の偏差値の平均といった値ではない、決めるのはあくまで各教科の素点の合計点であるのだから、入試で他の受験生と差をつけるということはより高い偏差値ではなく、より高い素点をとるということである。だから、点数をあげることが容易な数学でこそ差が付けやすいことは客観的なデータからも明らかなことなのである。


 また、文系数学というのは、理系数学と違い難問の出題は稀であり、一部の難しい問題を出す大学を除いて、ほとんどが基本から標準レベルまでの出題しかないように各大学の作問者は抑えた出題をするのが通例である。 例えば、東大などの文理共通の問題を出す大学でも、文系の問題の方が理系の問題より、誘導を丁寧にしてあったり、最終的に要求される答えのレベルが易しい水準であることがほとんどである。なので、このブログの勉強で一例で示しているチャート例題→1対1対応の演習例題の勉強(記事(2)の勉強)までできていれば、かなりのレベルの大学でも対応できてしまう。さらに、このブログの記事(3)のレベルまで勉強を完成させられれば、本試験で全完(満点)も目指せるレベルになってしまうことも稀ではない。それも、理系とは範囲が違い数Ⅲまで対策をしなくていいので、かなりその負担は軽いといえる。 そう考えれば、数学ほど文系入試で得点源にしやすいお得な科目は存在しないのである!実際、文系でもトップレベルの受験生たちは、並の理系学生なんかよりはるかに数学ができるので、模試なんかでも上位層は満点がたくさんいて、数学で最も実力差を見せつけているように模試の成績資料を見たときに感じたのが私の印象である。


 しかしながら、やはり、一般的な文系の学生さんは数学は苦手だったり好きではなかったりが大半であろう。しかし、だからと言って、数学から逃げてはいけない。考えてみよう!実際に社会や英語を好む文系学生さんは数学を好む学生さんよりはるかに多いとは思わないだろうか?ということは、好きなことへの勉強はやはり誰もが率先してやるので、全体の平均点はやはり高くなってしまうのである。それこそ、東大京大一橋などの難関大学では、文系受験生で一定の水準以上の実力をもつ学生さんは社会や英語は“出来て当たり前”に近い状態にあるのではないか、これは私の勝手な憶測ではあるがそんな気がする。そんな中で、勝負を決めるとしたら、やはりその科目は数学しかないのである。理系の場合、皆が苦手とする国語が差をつけるかというと実はそんなことはないが(そもそも、得意な人の多い文系でも国語はなかなか点を取れない科目なのである、理系が点などそうそうとれるわけがない。だから、みんな低得点で差がつかないので理系では国語は合否を分ける科目には普通はならない)、文系は多くの人が苦手な数学で勝負をしなければならないこれは宿命なのである。いかに、得意じゃない数学を攻略したかが入試の勝敗を決めるのだ。


 だが、私が、このブログを書いている理由は、世間の高校生や受験生の皆さんは実は数学ってどう勉強したらいいのか、それをなかなか世の指導者は教えてくれなく、困ってしまい、しまいには数学はもともとの才能の問題で諦めるしかない、そんな風に思ってしまう人も少なくないように感じたからであって、実際はそんなことはなく、正しい方法で勉強をすれば誰でも必ず数学は出来るようになる!そのこと伝えることにある。だから、ここの記事を読んだことをきっかけに、数学の正しい勉強法はどんなものか、一度考えてみて、それで今は数学の苦手な人が、数学を“得点源にしやすいお得な科目”に変身させられるようになることができれば……と思う。 私は思う。数学ほど、正しく勉強すれば誰でも伸ばせて試験で強力な武器になる、だけれども多くの人がそれを知らないでそんな武器をみすみす使い逃している、そんな科目はないと。だからこそ、せっかく、このブログを読んでくださった人には、そんな強力な武器を使いこなせるようになっていただきたいと思う限りである。


 数学が嫌いな人も、最初の間は少し辛抱して苦しい数学の勉強を正しい方法でやってみよう。そうしたら、必ず数学はできるようになって、嫌いではなくなり好きになる。そうしたら、そんな数学は楽しく学べてかつそれが志望校への希望になってくる。そうしたらきっと受験勉強は楽しいことになること間違いなしである。ファイト! 

daisaku309 at 21:00|PermalinkComments(11)