2005年08月26日 19:05 [Edit]

よーく考えよー分銅は大事だよー

夏休みももうすぐ終わりですね。宿題終わりましたか?

明日ホラ経由で見つけた問題を紹介します。

with MOCHA LATTE - 小正裕佳子先生の日記
上皿てんびん(腕が2つあって、左右の皿に物をのせられる秤)があります。 これを使って、1グラムから40グラムまでなら何グラムでも(1グラムごとに)量れるように するためには、おもりは最低何個必要でしょう?また、そのおもりは何グラムでしょう?

ここでは、

明日は明日のホラを吹く-Tomorrow, I'll give you another big talk-:最小限必要なおもりの個数
さて、こちらは大人なのだから(笑)一般化のことも考えてみよう。

というわけで一般化したケースを考えてみる。自分で考えたい人は、「続きを読む」をクリックしないように。


この問題のミソは、天秤だということだ。この特徴をまとめてみる。

  1. ある分銅一個に注目すると、「計量物側に置く」「その反対(分銅側)に置く」「置かない」という3つの状態がある。
  2. A.より、n個の分銅がある場合に可能な状態は、3^n種類であることが導かれる

あとは、3^n個の状態が

  1. それぞれ単一(unique)、すなわち別の分銅の組み合わせにならず、
  2. かつ1gきざみになるには

どうしたらよいか考えればよい。

ある分銅の組み合わせで、すでにNgまで測れることがわかっているとする。それでは分銅を一個加えて、N+1gを測るにはどうしたらよいか?もちろん1gはOKだが、a.の条件を満たさない。それでは既存の分銅を全て計量物側に置いた場合、分銅側には何gの分銅を置いたらよいだろうか?

答えは2N+1である。ということは、分銅を加える場合のルールは、それまで持っている分銅の重量の合計にに2をかけ、1を足せばいいということになる。これを、1gの分銅から続けて行けば、必要な分銅がわかるというわけだ。それではやってみよう。

最も重い分銅分銅の合計次の分銅
111*2+1 = 3
31+3 = 44*2+1 = 9
91+3+9 = 1313*2+1 = 27

分銅の重さが3のべき乗になるという規則性が見えて来た。あとは数学的帰納法を使って、これが任意の場合にあてはまるかを証明すればいい。

n=1の場合
2n + 1 = 3 = 3^1 (自明)
n=k+1の場合
Σa^r = (a^(r+1) - 1) / (r - 1) *0 なので
Σ3^k = (3^(k+1) - 1) / (3 - 1) = (3^n - 1)/2
∴ 3^n = 2Σ3^k + 1 [Q.E.D]

こんなもんでいかがでしょうか>小正裕佳子先生

この問題、すぐにわかったのだけど、証明を書くのにちょっと手こずってしまった。すこし脳のしわの間にはいったほこりがとれた気分。

Dan the Ex-Tutor of Math


  1. この公式、日本で普通に習うのはいつ?中卒にはちょっとそこんとこがわからん。

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この記事へのコメント
よく見て下さい
おかしいです
Posted by OSS at 2009年12月07日 13:58
お見事。

日本では高校2年生ではじめて
ベクトルや行列など代数の基礎と、
数列や微積分(有限)など解析の基礎をやります。

Posted by bun at 2005年08月26日 21:27