2005年10月23日 19:51 [Edit]

1=2

これから1が2に等しいことを証明する。


  A = B とおく。
両辺にAをかけて
  A^2 = AB
両辺からB^2を引いて
  A^2 - B^2 = AB - B^2
両辺を因数分解すると
  (A-B)(A+B) = B(A-B)
両辺を(A-B)で割って
  A+B = B
A = B より
  B+B = B
  2B  = B
両辺をBで割ると
  2 = 1
よって1は2に等しい。

安斎育郎氏の人はなぜ騙されるのかにのっていた例題。あなたはこれのどこがおかしいかすぐに気がついただろうか。

Dan the Deceive(r|d)


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この記事へのコメント
A=Bなんでしょ?
なら、
(A-B)(A+B)=(A-B)

0=0にならないとおかしくない?
Posted by 黒 at 2009年01月18日 03:22
駜綺医茹ャcс荐惹荐篋吾潟<潟
荀c

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Posted by 吾c潟 at 2008年04月07日 01:28
誤植を訂正します。

(誤)>命題0が成立するとき、命題2が真であることに貢献しているのは
(正)>命題0が成立するとき、命題1が真であることに貢献しているのは
Posted by まわりみち at 2006年02月10日 23:48
命題0: A = B
命題1:(A-B)(A+B) = B(A-B)
命題2: A+B = B

●命題0が真であるとき、命題1は真である。
●命題1が真であり、かつ命題2が真であるための条件は、A=0。
●命題0が真であり、かつ命題2が真であるのは、A=0の時のみ。

ある命題が成立する根拠を明確に捉えないとき、
一般論を語る欺瞞・誤理解が混入する危険性を如実に表していますね。
命題0が成立するとき、命題2が真であることに貢献しているのは
命題1の左辺と右辺に存在する(A-B)の項(=ゼロ)。
そのことを考慮せず両辺を0で割る、つまり論理の飛躍という誤謬を
おかすことで、Aの値に条件を付さず、一般論としてA+B=Bという
虚偽が導きだされる。

悪意と虚偽を導出するロジックの結びつきは多くの被害をさまざまのレベルでこの世界に存在している気がする。
Posted by まわりみち at 2006年02月10日 23:41
安斎氏は「数式による証明」という手段を用いましたけれど、
我々は、とかく専門家が専門用語で小難しい理屈を並べれば
何となく解った気になってしまう、という悪癖を持っていると思います。
語られている内容の表面をなぞるだけの知力があれば尚更の事。
自分が馬鹿であることを認められずプライドというカーテン越しに物事を見て、
本質を見失った表面だけの正しさを信じてしまう、
そんな軽薄な「頭のよさ」への批判を安斎氏は述べたかったのだと
私は理解したのですが、どうでしょう。

この問題を巡ってみて、何となく「分割のパラドックス」を思い出しました(^^;
Posted by 銀河鐵道の乗車人 at 2005年11月26日 22:40
数学は得意ではないので数学的な正しさの事とかはわからないのですが、
どうもしっくり来なかったので、今更ですけれど…

この問題の前提として「A = B とお」かれているので、
 A^2 - B^2 = AB - B^2 = 0
という解がこの時点で求められます。
つまり、
 0 = 0
という解が出た時点で後に繋がる証明への道は既に絶たれてしまっているのに、
記号を用いることであたかもそうでないかのように装い、
 1 = 2
という証明を為したかのように見せかけているだけなのではないでしょうか。
Posted by 銀河鐵道の乗車人 at 2005年11月26日 22:40
てけてけさんのコメントはA=Bと言う仮定がA≠Bであるにもかかわらず仮定されていることを指摘しているように読めます。
しかし、最初のA=Bはとりあえず真と仮定して出発することは可能です。

一方A=Bと初めに仮定している以上、A−Bで両辺を割るのは必ず誤りです。
両辺をゼロで割る以前に両辺が0=0になっているという指摘ですが、
解が0になる二つの式を等式で結ぶことも、ゼロになる式で因数分解することも数学的に間違っていませんので
あくまで証明方法として不適になるのは「0で割った瞬間」であると考えます。

経路に誤りがあるので「百歩譲っても」1=2は証明されたことになっていません。
僕が指摘したかったのはその点です。
Posted by Youth at 2005年10月25日 22:55
これこそまさにミスリーディングである。いや恐らく小飼氏はそこまで考えてこのエントリーを書いた訳ではないだろう。だがにもかかわらずこれだけ騙される、いや誤解する人が出てくるのだからいやはや全く。これならいっそ「1=2なんて成立する筈が無い」と論理もへったくれもなく主張した方がまだましだ。やはり「騙されるのは頭のいい人」だという事なのだろうか……。

最後に余談だが、てけてけ氏の論は「百歩譲って」証明自体は正しいとみなしても「1=2」というのは「A=Bという特殊な条件下でのみ」通用する特殊解であって一般解ではない、という論理学的な話なので別に間違った事は言っていない。数学的に「問題を解こう」としたYouth氏とは端から目指す場所が違うというだけの事だ。

3連投申し訳ない。
Posted by とおりせがたさんしろー at 2005年10月25日 05:26
また「A-B=0」だと気付いているのならば(A-B)(A+B) = B(A-B)の時点で両辺に0が掛かっている事を指摘するのが道理であるはずだ。なのになぜ間違っているのは「その式を更にA-Bで割る」部分だと思ったのか。答えは簡単、割り算が足し算や引き算より「胡散臭い」からだ。

そもそもこの式は正確な答えを聞くまでもなく「間違っている」事が明示されている。そしてこの計算の中で感覚的に最も「解り難い=怪しい」のは因数分解、次に割り算だ。だが前提はともかくこの因数分解そのものには何らおかしな点が存在しない。となると次は割り算という事になる。そして「A-B=0」である事に気付く。だから「頭のいい人」は順当に考えて「A-Bで割る」のがおかしいと結論付ける訳だ。
Posted by とおりせがたさんしろー at 2005年10月25日 05:21
やれやれ、頭の良い人間いや日本人がいかに騙されやすいものであるのかよく分かるコメント欄だ。

「A-Bで割る、ということは0で割ること」は厳密には正解とは言えない。既に書いたがこの計算はA^2 - B^2 = AB - B^2の時点で0=0になっている。つまり両辺を何で掛けようと割ろうと(それが0以外の数字でも)0=0である事は変わらないのだ。
Posted by とおりせがたさんしろー at 2005年10月25日 05:20
>てけてけさん
最初のA=BというのはA=Bな任意の実数であって、1や2ではないです。
任意の実数の因数分解と式の変形から最終的に1=2が取り出せるというのがこの証明の意図ですよ。
Posted by Youth at 2005年10月24日 22:28
satou30さんが正解ですよね。

この証明を理解する知能の無い人を騙すことは出来ないというのは真ですけど、この例って知能が高いから騙されているのではなくて、定義を曖昧にしたまま理解した気になっているから騙されているのでは?
Posted by Youth at 2005年10月24日 22:22
数式だから分かりやすかったのですが、社会学の分野で
(社会科学についての訓練をうけていない、たとえば)理系出身の研究者が
とつぜん政治や貨幣について語るときに、よく陥る誤謬や錯覚ですね。

「だから、○○は××である。」と、あたかも理路整然と結論付けられたときに
もしも腑に落ちない点があれば、その原因は大抵
「それはあくまでも『A=Bとおく。』と仮定をしたからですよね?」

「ええ『○○は××である。』ですよ。
 『○○は△△である。』し『○○は●●である。』し……のと同じくらいに」
です。

(あと一つ、『××は○○である。』と言うことで
 あたかも『○○は××である。』ことを証明したかのように語る、という
 錯覚もよくありますが、上掲の式とは微妙に関係がうすいので端折ります。)
Posted by てけてけ at 2005年10月24日 15:12
百歩ゆずったとしても、これらの式から証明ができてしまうのは
あくまで
「『A=Bとおく。』と仮定をした場合に限ってのみ
 (「1は3に等しい。」とも「1は4に等しい。」とも……とも言えて
  しまうのと、おなじくらいに)
 『1は2に等しい。』と言えてしまう」
です。
Posted by てけてけ at 2005年10月24日 15:11
両辺からBの二乗を引いた時点で0=0になってるから因数分解しようが何で割ろうが両辺が等しいのは当たり前。
Posted by とおりせがたさんしろー at 2005年10月24日 12:36
一回目では、割るところが怪しいな〜。って感じだけで、ここがヘンとはわかりませんでした(^^;
ホンマに工学士か?俺。
Posted by ひろ at 2005年10月24日 02:13
わたしも、satou30の意見。
A-B=0
なので、A-Bで割る、ということは0で割ることを意味する。
実数は0で割ることができないことと矛盾する。
よって

(A-B)(A+B) = B(A-B)
両辺を(A-B)で割って
A+B = B

というところが誤りだと思います。

高校の数学を思い出しました。

さらに、A,Bが行列だとすると
AB not eq. BA
なので、因数分解も違ってくるかも。

人に騙されるのは確かに嫌なことかもしれませんが、
騙されるのを恐れるあまり、人を信じられなくなることは
もっと寂しいことかもしれません。

相手がどういう意図でその言葉を吐いたか、
ということを理解しようとすれば、私はいいと
思います。
Posted by sushi at 2005年10月24日 00:48
☆ヤンキー日本を変える☆
のカズマです(^^)
よいブログですね。これからもちょくちょくお邪魔させてください(^^)
Posted by 中谷一馬 at 2005年10月23日 21:44
よくわからんけど・・・。
直接比較できないもの同士の計算のように見えるなぁ。
Posted by panics at 2005年10月23日 21:34
>両辺を(A-B)で割って
0で割っています。
Posted by satou30 at 2005年10月23日 20:39
>A = B より
が変。
A=Bを証明しようとしているのに、それを使ってる。
Posted by アキラ at 2005年10月23日 20:23
A=B
ゆえ
A−B=0
Posted by ノーネーム at 2005年10月23日 20:14