2006年07月01日 21:10 [Edit]

コマネチ大学数学科第11講

今週は忙しかったのでさっきやっと見終わったコマネチ大学数学科。かけ声も、"Cogito Ergo Sum"から"αριθμοι κυβερυουν συμπαν "に代わっていた(スペルチェックきぼんぬ)。

今回は、アインシュタインが新聞に出したというこの問題。

   AーーーーーB
 /\        /\
CーーD ーー EーーF    
 \   \ /    /
   \   G    /
     \/\/
      HーーI
右のAからIまでの9の頂点に、
1から9までの数字を入れ、
7つの三角形の頂点の数の合計が同じになるようにしなさい。

問題そのものはそれほど難しくないのだが、今回はさすがのコマ大生たちも力押しではなく頭を少し使っていた。なにしろ総当たりでやったとしたら、9! = 362,880種類の組み合わせを試さねばならないのだ。

とはいえ、この程度であれば電脳なら力押しで解ける。以下はperlで解く例だ。

#!/usr/local/bin/perl
use strict;
use warnings;

sub permutate{
    my ($head, $tail) = @_;
    if (@$head){
        for my $h (@$head){
            my @main = grep { $_ ne $h } @$head;
            permutate([ @main ], [$h, @$tail ]);
        }
    }else{
        check(@$tail);
    }
}
sub check{
    my ($a,$b,$c,$d,$e,$f,$g,$h,$i) = @_;
    return unless $a + $c + $d == 15;
    return unless $b + $e + $f == 15;
    return unless $d + $e + $g == 15;
    return unless $g + $h + $i == 15;
    return unless $a + $b + $g == 15;
    return unless $c + $e + $h == 15;
    return unless $d + $f + $i == 15;
    print "A=$a,B=$b,C=$c,D=$d,E=$e,F=$f,G=$g,H=$h,I=$i\n";
}
permutate([1..9], [])

私のMacBook Proでは14秒弱ほどで全回答を出した。

それで、エレガントな解法。

実は、この7つの三角形は、3x3の魔方陣の各辺および対角線にあたる。だから、今回の問題は魔方陣を解くことと同義になる。

魔方陣とこの図形と魔方陣の対応には、以下の三つが考えられる。

ABG
CEH
DFI
FID
BGA
EHC
HCF
IDF
GAB

しかし、魔方陣の鏡像もまた魔方陣、90度回転させたものもまた魔方陣。というわけで可能な組み合わせは24通りになる。具体的に全て列挙すると、以下のとおり。

今回は問題は簡単だったが、時間と難易度のバランスから行くと絶妙だったと思う。ちゃんとエピソードがあるのもよい。というわけでそのエピソードの種本をアフィリエイトに張ってみた。

それにしても、番組の面白さと比較して番組ホームページのつまらなさが目立つ。

薫日記: コマネチ大学は続く(らしい)
ホームページに解答を載せてくれ、という要望も多いようだが、いろいろと問題があって難しいみたいだ。

その分私のblogの順位が上がるのはいいのだが、せめてblog化してTBを受け付けるようにしないのだろうか?視聴者の質から考えても炎上はまずないだろうし。数学もWebも、自由と発展性こそその魅力なのだが。

Dan the Auditor


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1〜9の数字を1回づつ使った3×3の魔方陣は、回転・対称を除くと1つしかない。以前、ニフティで数学者の前田先生に教わった証明は以下だ。 →→→ →→→ →→→ まず1+2+3+4+5+6+7+8+9=45になる。魔方陣の性質から上辺、中央、下辺の3つの数字の横方向への和はどれも等しい
洛書の魔方陣【北斗柄の占いについて思うこと】at 2006年07月01日 22:13
この記事へのコメント
北斗柄さま、ご指摘ありがとうございます。(って、番組へのご指摘ですよね・・・)収録前に解説内容を確認するんですが、いざ、しゃべり始めると、肝心なポイントが抜けていたりします。カルチャーセンターとかならその場で指摘されて答えるんですが!


小飼さま、このホームページはスタッフも参考にさせていただいております。今後もビシビシお願いいたします。ホームページは、かなり複雑で、金銭的な問題などが発生するようです(汗)放映でカットした解説部分などを掲載すれば面白いと思うんですけどねぇ。
Posted by 竹内薫 at 2006年07月04日 15:58
Coroさん、じゃなくてGoroさん、
あ、ほんとだ。直しました。
Dan the Typo Generator
Posted by at 2006年07月02日 17:46
Gogitoはタイプミス?
Posted by ごろー at 2006年07月02日 11:50
ご存じかと思いますが、文中で触れていませんのでネタフリ程度に。

3x3に限らず、魔法陣は全て端の1行をまたは1列を対側に移動しても魔法陣になると言う性質があります。
それを使うと3x3では、全ての解は1通りの解のバリエーションと言う形で表現できたはず。

魔法陣そのものをスクリプトに溶かせるなら、nxnでは何個の解があるのかと言うところを求めさせると面白いと思うのですが・・・
Posted by Youth at 2006年07月02日 10:48
3×3で1〜9までの数字を全て1回づつ使う魔方陣は、対称・回転を除くとユニークだという話が抜けているような。
Posted by 北斗柄 at 2006年07月01日 22:12