2007年01月06日 05:00 [Edit]

コマネチ大学数学科第一回M-1グランプリ回答篇

というわけで、 前回問題を紹介しておいたので、今度はその回答篇。


第一ラウンド - 計算問題

は、すでに以下に回答していらっしゃる方がいるのでそちらを参照。

見ての通り、直感力が試されるQ5とQ10を除けば、解き方をちょっと工夫すればあっという魔に解けるというのがポイントです。ちなみに私ですが、二進数がらみの問題は見た瞬間に解けました。残りも何とか暗算で解けましたが、西本君のスピードにはさすがに叶いません。が、女子東大生チームよりは早かったかな。

第二ラウンド - 図形問題

これは、「大きな一つの正方形」の一辺の長さが√5であることに気がつけばすぐ解けます。√5をどうやって作るかですが、これは正方形二つからなる長方形の対角線を使えばOK。

具体的な切り方は何種類もありますが、普通は1:2:√5の直角三角形を4つ切り出し、それを四隅において、真ん中に残った小さな正方形を置くと思いますが(詳しくは上記のガスコンさんのページ参照。Flashで解説!)、最速のマス北野の回答は、

薫日記: コマ大M1グランプリ閉幕
2問目は、マス北野の電光石火の正解が印象的だった。

とほんとに感動的で、ハサミは二カ所にしか入れていません。誰か図にしてちょんまげ(ガスコンさんのFlashにもない)。

最終ラウンド

で、問題の最終ラウンドですが、番組における正解は、9段でした。

考えかたとしては、最小の四面体を棒6本を使って作り、これを積み上げて大きな四面体を作り、この四面体の段数を数えるというものです。最小の四面体は166個出来ますが、この四面体165個でちょうど9段の四面体が出来て、最少四面体1個と棒4本が余ります。詳しくは、やはりガスコンさんのページを参照のこと。

が、これはあまりに模範解答だと思います。

司会のガダルカナル・タカさんも引用していた

Mathematik - Wikipedia
Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit. -- Georg Cantor

にもとります。

問題をもう一度よく見ましょう。「四面体を四面体に積め」とは一言も書いてないですし、また出題者も言っていないのです(一応録画を見て確認しました)

薫日記: コマ大M1グランプリ閉幕
(今回は、設問が複雑になりそうだったので、コマ大チームの取り組みを見てもらって、問題を理解してもらいました。)

というのが「デモ」と見なせなくもないのですが、私はこれを「問題の理解」ではなく、「誘導尋問」と見ました。

任意の積み方がOKだとすると、まず最初に思いつくのは、「166段」というものです。上にそのままのっけちゃうわけです。そのままだと乗っからないから、三角柱のガワを用意して、また最小の四面体もそのままでは詰めずに(横から見ると<<という具合に)重なってしまうので、(横から見ると><となるよう)互い違いに。

しかし、これではまだコマ大の問題としては甘いのでさらに考察してみましょう。正四面体の底辺を張り合わせた形を考えてみます。これは上で述べた「互い違いに」積み上げた時に自然と発生する形です(これは6面体ですが、正式名称は知りません)。底辺の分が重なっていますから、余分な棒を抜いてこの形を作ると、棒9本で1「ペア」が出来上がります。棒が千本あると、このペアは111個出来てあまりが1。そして一つのペアで2段になりますから、答えは222段、となるわけです。

間違いないっ:-)

総評

いつもの授業よりも一段半簡単だったと思います。CMも入れて60分ということを考えるとやむえない面もありますが、折角60分あったので、いつもの授業よりも難しい問題をたった一問だけ出すというのもありだったのでは。

皮肉にも、CMの質はいつもよりよかったです。いつもはサラ金と新曲のCMばっかしだからなあ。

こうやって書いていて気がついたのですが、コマ大ってまだ証明問題は出してませんよね?聴講しそびれた授業も結構あるのですが、「たけしのコマネチ大学数学科 - Wikipedia」を見た限りではなさそうです。これって今後のヒントになるのでは?これなら、美しさだけを採点の対象に出来るので結構いけると思います。

Dan the Auditor Thereof


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404 Blog Not Found:コマネチ大学数学科第一回M-1グランプリ回答篇 ●FINAL ROUNDの問題1000本の棒を使って正四面体を作り、積んでいくと、何段になるでしょう? 小飼弾さんの回答は、正四面体165個(990本の棒)を積み上げると、正四面体1個と4本の棒が残る。この最後の1個を...
■小飼弾さんの回答篇【ガスコン研究所】at 2007年01月07日 20:48
この記事へのコメント
MILLYさんの回答は段でないような。
Posted by takahiro4 at 2007年04月24日 19:45
正四面体や正四面体x2の六面体を直接重ねるのは無理があるでしょう(^-^;)
僕が考えたのは、正四面体x3(正四面体4つでできる二段の大きな正四面体の下の一段の部分、棒18本)を55段重ねて(以上990本)、てっぺんに正四面体を一つ乗せて56段、残った棒は4本、です。
横から見るとこんな感じでしょうか。

△△

△△
なんとか自立するかと。
Posted by aoi at 2007年01月16日 17:09
6本で4面体1つ、それのどこかの面に3本を繋いで1つとすれば、
(1000 - 6) / 3 = 331 余り 1
よって332段が正解に違いありませんっ。
無重力で積むことにしておけば倒れないでしょう。
Posted by Milly at 2007年01月09日 13:53
最終ラウンドについてなんですが、そもそも数学的に積むとはどのようなことなんでしょう?千本の棒がそれぞれ同じ長さであるとして若干あまらせて四面体を作れば真上に立てることもでき、さらにその隙間にも四面体があるわけだからかなりの量になります。これ以上やっても話が終わりませんのでこのくらいにしておきます。
Posted by たくと先生 at 2007年01月08日 18:44
小飼さんの発言は、いつも「ひねり」があって興味深いです。

M1グランプリでは、お笑いのアンガールズ、シャカ植松といった面々も参加するということで、問題選定が難航しました。
最終問題は、もうちょっと毛色の変わったものでもよかったと思いますが、ターミネーター西本の参戦で、レベルを高くすると、彼だけが解いてしまい、番組自体がなりたたなくなる危険が出てきたため、あの問題に落ち着いたのです。

うーん、ご指摘のとおり、証明問題も出したら面白いと思います。(なにかいいのがあればですが!)

今後も、叱咤激励をお願いいたします。
Posted by 竹内薫 at 2007年01月07日 02:02
ラウンド2の問題は中学3年生でピタゴラスの定理の導入によく使う問題ですね。
Posted by 地蔵菩薩 at 2007年01月06日 19:39
はじめまして
竹内薫さんのブログから来ました
図形問題ですが
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/warlockex/lst?&.dir=/723d/ac68&.src=bc&.view=l
こんな感じではないでしょうか?
Posted by WarlockEX at 2007年01月06日 15:11