2007年06月13日 19:30 [Edit]

√2√2√2...

見る可算、じゃなかったミルカさん、仮定しなくてもとけまっせ。

[結] 2007年6月 - 結城浩の日記:ルートの無限入れ子クイズ

ミルカさん「先生、この数式の値が《ある正の値に収束する》ことは仮定してもいいんですか?」

ヒント。

以下の値は?

4∛4∛4...

ついでにこれも。

8∜8∜8...

[結] 2007年6月 - 結城浩の日記
彼「数列の極限値を求める問題とみなす。一般項の形を考えて、その極限を調べる。…だから、定式化するとこうかな」

この彼の定式化をさらに進めると、わかりやすいかな。

数列〈an〉が、

a1 = a1/r, a2 = (a * a1/r)1/r, a3 = (a * ((a * a1/r)1/r))1/r

で与えられているとき、limn → ∞anを求めよ。
ただし、r > 1, a > 0

ね、これなら収束するかどうかも自明でしょ?

Dan the Diverging Mind


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この記事へのコメント
このての問題は、乗数のところが足し算になるという性質を使ったらよいよ。
つまり、

a_1=2^(1/2) ... a_n = 2^(sum ( (1/2)^i, i=1...n))
だから、 a_inf = 2 (limit (sum ((1/2)^i, i=1..n) ,n→∞)
じゃないのかな。
Posted by 通りすがり2号 at 2007年06月15日 02:54
収束することを直感的に理解させるには
y=xとy=√(2x)のグラフを描くのが分かりやすいと思います。
Posted by 簡単に at 2007年06月14日 12:02
ああ,r にしなくていい n まで r に…
Posted by 通りすがり at 2007年06月14日 09:51
2が上界で単調増加だから収束.
初項が\sqrt{2}だから収束値は0より大.
極限の存在がいえて始めて二乗できて
(存在しなかったら計算できない)
二乗して2が極限(上限).

弾さんの定式化で一般項を求めてしまうのも簡単でいいですね.
まじめにやるなら数学的帰納法か漸化式の出番.
Posted by 応募者A at 2007年06月13日 23:58
kraqueyさん、
そうでした。というわけで直しました。
Dan the Diverging Mind
Posted by at 2007年06月13日 22:59
最後の定式化された問題で、
数列の序数と累乗根の両方でnを使ってますけど、
別の記号にしたほうがいいのでは?
Posted by kraquey at 2007年06月13日 21:20
一瞬で解く、というのは2乗するということなのでしょうかね。
x=√2√2√2...
x^2=2√2√2√2...=2x
x=2,0

0じゃないことはどう説明したらいいんでしょうか・・・
Posted by ス at 2007年06月13日 20:41