2015年12月03日 19:30 [Edit]

「「0÷0=」を実行すると「エラー」になる理由」を見て割り切れない気持ちを抑えられない理由

やはりblogにも書いておこう。SNSだけでは割り切れない気持ちが抑えられないので。

iPhoneアプリ「計算機」で「0÷0=」を実行すると「エラー」になる理由 - ねとらぼ
「計算機」アプリに限らず起こるもの。このように「0」で割ることを「ゼロ除算」と言い、割られる数をxとすると「x/0」と表すことはできるものの、これが何の値と結びつくのかは現時点で数学的に定義されていないため「成立しない」とされている。計算機などで「0」で割ると「エラー」と表示されるのはそういった理由からだ

違う、違うんだ。


数学は定義してないから成立しない、んじゃないんだよ。

数学できちんと除算を定義した結果、その定義の中にゼロ除算がどうしても収まらないから「未定義」というより「定義不能」になったの。

ここで除算を定義しておく。

  1. 三つの数 x, y, z があって、
  2. この三つの数は x × y = z という関係にある時、
  3. z ÷ y = x となる演算÷のことを、除算と呼ぶ。

ゼロ除算とは、y = 0。ところがこれを条件bに当てはめると、x × 0 = 0 になってしまうので、そこだけ注目するとxはどんな数でもよくなってしまう。しかしさらに = z の方に注目してみると、zが0以外の場合 = が成り立たなくなってしまう。「どんな数でもOK」は「数」ではないし、「そんな数ない」も「数」ではない。

条件aの「数」を「数と数っぽいけど数ではない±∞という値」と少し拡張すると、zが0以外の場合のゼロ除算も定義できはする。この場合 z > 0 なら z ÷ 0 = +∞, z < 0 なら -∞ という具合に。詳しくは リーマン球面 とか参照してもらうとして、「「0÷0=」と質問したときと「○(0以外の数字)÷0=」と質問したときで異なる」理由が、これ。

しかし∞をもってしても、0 ÷ 0 はやっぱり定義できない。というより、無理やり定義してしまうと今度は÷の定義が壊れてしまう。

でも久しぶりに記事を書いた理由は、本当の数学者たちの発見の劣化コピーを繰り返すことではない。

「数学者が定義していないから」という不当かつ不誠実な態度に割り切れぬ気持ちを抑えられないことを表明しておきたかったからだ。

これら数字の概念や定義は人間が発明したが、まだ全てが定義付けられ解明されているわけではない。今後この概念や定義がどう崩れ、どう変化していくのか

数学者たちは、発明しない。

数学者たちは、発見する。

彼らが見つけた真理は、彼らがそれを見つける以前どころか人類が存在する前から存在していたはずなのだから。

それを「発明」と呼ぶのは、数学者たちの誠意に対する愚弄ではないか。

「数学者が定義していないから」で納得するという態度には既視感がある。「教師に教わるまで」「3x5≠5x3が正しい」とする姿勢がそれだ。

404 Blog Not Found:3x5=5x3
「3x5≠5x3」のダメなところ、それは何より、それが教える側の都合の一方的な押しつけになっていることだ。あたかも「教える」の非可換性は絶対であるかの主張である。
こういう教え方を繰り返すとどうなるか?
ほとんどの子は、自ら正解を探すのではなく、教師に答えを求めるようになる。それは教師に答え合わせしてもらわないと安心できないところまで続く

「数学は自由だ」というのは「無限」にも「大小」があることを発見したカントールの魂の叫びだったか。そんな自由人たちを権威とし、敬して遠ざける態度は慇懃にして無礼と言わず何と言えばいいのか。

これがまだ「3x5≠5x3」を押し付ける教員や教材であればまだ受け入れられずとも納得はする。しかしこれがIT Mediaという媒体に「よく調べたでしょエッヘン」とばかりに寄稿されるともなると看過しがたい。数学者でなくともプログラマーにはなれるが、しかし数学者でもないプログラマーだって除算は使うし使うどころか実装することだってある。数学から見れば「一番小さな無限」である「自然数の個数」よりはるかに窮屈な計算機の上で、ほとんどの場合において z / y ≒ x に過ぎない、数学者から見れば噴飯物の、しかし制約を理解した上であれば数多の問題を解決するに足りる「除算」を。

それにしても権威から自由な人ほど、不自由な人々から権威と崇められ、敬して遠ざけられるのはなぜなのだろう。「私の権威に対する軽蔑を罰するために、運命は私を権威にしてしまった」と嘆いた人にちなんで、「アインシュタイン・パラドックス」と呼びたいところだけど、もう埋まっちゃってるんだよな…。

でもこの「パラドックス」を成立させている責任は、自由人たちにもいくばくかはある。不自由な人々が常日頃は敬して遠ざけている課題を彼らが中途半端に取り上げるだけで、「やっと興味を示してくれた」とばかりはしゃいでしまう。「間違ってるけど興味を示してくれただけで御の字だ」という態度も、もしかして言葉を尽くせば本当にわかってくれた可能性を敬遠してしまったという点では不誠実だという誹りは避けられない。しかし誠実であればあるほど、それにともなうウザさゆえにますます遠ざけられてしまうというのも、ゼロ除算より割り切れない現実。一体どうしたものかね…

Dan the Indivisible


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