怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~

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数学について,私的研究の結果や,役立ちそうな指導法,研究授業のネタや高校数学のちょっと先の話などを提供します。
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連立漸化式 1 3つの手筋

このアプリ,興味ある。
鎌倉大仏なう




さて,今日は,
連立漸化式 1 3つの手筋。

パターンJ

パターン J は連立漸化式。

もちろん,分数形の漸化式に帰着させることもできるし,
z 変換を使うことで最速ではないものの画一的に解くこともできるが,
現実的に高校生が学ぶべき手筋は,以下の 3 つであろう。

3つの手筋

パターン J 「連立 」の解法は,次の 3 種類。

① 等比を作る
  「上-x下」で等比数列となる x を求め,パターン B に帰着させる。

② 1文字消す
  手筋「消したい文字=」,「番号ずらし」で,パターン Gへ。

③ 行列で表す
  学習指導要領からは消えてしまったが,全容を明らかにできる。

最速で解けるのは ① であるが

実際の運用の面で,
最も楽に,しかも最速で解けるのは ① である。

だから,手筋 ① で解ければよいのだが,
センター試験では,② で誘導されることもありうる。

この ② による手筋を学ばず,
センター試験において初見で穴埋めするようでは,
苦労することになる。

もし正解できたとしても,
時間を大きく削られることになり,無傷では済まないはずだ。

よって,① だけでなく,② についても習熟しておく方が望ましい。

ぜひ,試してみてほしい。

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連立漸化式1

分数形漸化式(右辺4項) 14 方程式の名前は?

統計学的にはそうとは限らないんだが,
直感的にはそうなるよね。

シニアライダー




さて,今日は,
分数形漸化式(右辺4項) 14 方程式の名前は?

特性方程式ではないのですか?

  a1 = 3,an+1 = ( 3 an - 4 ) / (an - 2 )
の謎の方程式は  x = ( 3 x - 4 ) / ( x - 2 ) であった。

これは初期値を無視して
「定数で成り立つ一般項(特殊解)を求める」方程式であるから,
特殊解を求める方程式である。

よって,特性方程式ではない。

特殊解を求める方程式の解は固有ベクトルの成分の比

学習指導要領から 2 期連続で行列が姿を消すという,
かなり残念な発表がなされた昨今であるが,
この漸化式については線形代数学なしには全容を明らかにできない。

この漸化式を,分数形とみなしたとき,① - x ② が
等比数列になる x を見つける方程式
  1:( - x) = ( 3 - x ) : ( 2 x - 4 )

すなわち  x^2 - 5x + 4 = 0  が,上の方程式と同値である。

この解 x = 1,4 は,係数行列の固有ベクトルの成分の比である。

固有値じゃないんですか?

① と ② から u,v のいずれか一方をを消して,
隣接 3 項間漸化式に帰着させたとき,
その特性方程式は必ず   x^2 - x - 2 = 0  となる。

これは係数行列の固有方程式に他ならず,
その解 x = -1 , 2 は固有値そのものである。

しつこいようですが,特性方程式ではないのですか?

この,固有方程式 x^2 - x - 2 = 0 は,
隣接 3 項間漸化式における特性方程式そのものであるから,
冒頭の分数形漸化式の特性方程式といってよいだろう。

したがって,漸化式の考察から出てくる 2 種類の方程式
   ア x^2 - 5x + 4 = 0 ,      イ x^2 - x - 2 = 0
について名前をつけるなら
   ア 特殊解を求める方程式 ,    イ 特性方程式
が,妥当だろう。

私が勝手に命名しただけ

これらは,私が勝手に命名しただけで,
数学的,世間的な裏付けがあるわけではない。

ぜひ,試してみてほしい。

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分数形漸化式(右辺4項)14

分数形漸化式(右辺4項) 13 誘導への乗り方

蓋し,名言。
-×-




さて,今日は,
分数形漸化式(右辺4項) 13 誘導への乗り方。

パターンIにおける誘導への乗り方

パターン I は,学習指導要領的に
ノーヒントで出題されることはない。

よって,必ず誘導が付く。

ふつう,誘導が付けば簡単になるはずなのだが,
特に,センター試験においてはそうとは限らない。

数学的な考察について完全に理解し,
すべての手筋をマスターしていたとしても,
本番でとまどうことが少なくないのだ。

今回はこれについて詳しく画像にまとめておいた。

ぜひ,試してみてほしい。

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分数形漸化式(右辺4項)13
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