怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~

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数学について,私的研究の結果や,役立ちそうな指導法,研究授業のネタや高校数学のちょっと先の話などを提供します。
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アステロイド(星芒形)

我が家のツバメがそろそろ巣立ちそうだ。
大きく育った5羽の雛がむぎゅむぎゅで並んでいる。

外界に興味を持ち始めた様子で,
話しかけるとこちらをみて首をかしげる。

無事に巣立ってほしいけど,いなくな
るのは寂しい。
2周目の子育てに入らないかなあ。

そろそろ巣立ち




さて,
今日は,
アステロイド(星芒形)。

アステロイド(星芒形)

原点 O を中心とする半径 a の定円 C1 上を,
半径 a/4 の円 C2 が内接しながら,すべることなく回転するとき,
円 C2 周上の定点 P が描く曲線をアステロイド(星芒形)という。

アステロイドの媒介変数表示は
 x = a cos^3 θ, y = a cos^3 θ

円 C1,C2 の半径の比が 4:1 のときアステロイドになるが,
それ以外の比のときには特別な呼び名はなく,
ハイポサイクロイド(内擺線)と呼ばれる。

今回は図と数式メインにつき,下の画像参照で。

ぜひ,試してみてほしい。

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アステロイド(星芒形)

サイクロイド(擺線)の導入

ハゲを気にしない人は禿げず,
ハゲを気にする人は禿げる。

そして,
ハゲはツルッパゲまではいかず,
ちょうどおもしろいところで止まる。

ハゲ




さて,
今日は,
サイクロイド(擺線)の導入。

サイクロイド(擺線)

円が定直線に接しながら,すべることなく回転するとき,
円周上の定点 P が描く曲線をサイクロイド(擺線)という。

サイクロイドの媒介変数表示は
 x = a ( θ - sinθ ), y = a ( 1 - cosθ )

この図をかいて説明するのは結構面倒であるが,
ある程度ポイントを押さえておくと,楽に導入できる。

導入のポイント


図は下の画像参照。

イメージを雑談で伝える

サイクロイドのイメージは,
自転車走行中にガムを踏んだときの横から見たガムの軌跡。

犬のフンでもよいが,ちょっと汚い。
ただ,汚い方がイメージは強烈。

ちなみに,自転車の
スポークにはさむ反射板の軌跡はトコロイド(余擺線)という。

図のポイント

① 図は大きめにかく。縦幅 50 cm 以上くらい。
② 縦横比「 1:3強 = 1:π 」くらいで豪快にサイクロイドをかく。
③ y 軸とやや離れた円をかく。
  円とサイクロイドの交点は中心よりやや下がよい。 

説明のポイント

ここのくだりは数式と図がメインにつき,下の画像参照で。

ぜひ,試してみてほしい。

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サイクロイド(擺線)の導入

双曲線の媒介変数表示4

藤井聡太四段が
竜王戦6組決勝で勝利し,19連勝。

竜王戦決勝トーナメント進出,五段昇段。
19連勝は歴代単独7位。

次戦は,順位戦で瀬川晶司と当たるか,
棋聖戦か棋王戦かN杯か。


いずれにせよ,
澤田真吾六段戦がポイントとなるだろう。
藤井




さて,
今日は,
双曲線の媒介変数表示4。

双曲線の媒介変数表示4

双曲線 x^2/(a^2) - y^2/(b^2) = -1 (a>0,b>0)
の媒介変数表示は x = a sinht, y = ±b cosht

x の複号が正のとき上半分を,負のとき下半分を表す。
このパラメータ(媒介変数)t も,何を意味しているのだろうか。

詳しくはいつも通り下の画像にまとめておいた。

ぜひ,試してみてほしい。

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双曲線の媒介変数表示4

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