怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~

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数学について,私的研究の結果や,役立ちそうな指導法,研究授業のネタや高校数学のちょっと先の話などを提供します。
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有理関数の積分法 2017 2

廊下に立たせるのは,
授業を受ける権利を侵害する。
のび太が正しい




さて,今日は,
有理関数の積分法 2017 2。

ヘヴィサイド(Heaviside)の展開定理

ヘヴィサイドの展開定理は,
逆ラプラス変換の一般形を与える定理である。

有理関数が機械的作業だけで
部分分数分解可能なことを保証しており,
この部分だけを利用するだけでも大変便利である。

文献によって差異があるが,
その部分分数展開の手法を「ヘヴィサイドの展開定理」,
「ヘヴィサイドの方法」,「目隠し法」などと呼ぶ。

例題と解説と暗算方法については,
下の画像参照で。

無理に暗算する必要はないが,
通分すれば検算できるし,
そのくらいまで習熟しておくと式変形の見通しがよくなってくる。

ぜひ,試してみてほしい。

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有理関数の積分法2017_2

有理関数の積分法 2017 1

日本から
パチンコは消えてほしい。
パチ衰




さて,今日は,
有理関数の積分法 2017 1。

部分分数分解定理

1 つの分数式を
簡単な分数式の和や差の形で表すことを,
部分分数に分解するという。

任意の実数係数の有理式は,
「分子が定数で分母が 1 次式の冪」である項と
「分子が 1 次以下で分母が 2 次式の冪」である項,
および多項式の項に分解可能である。

初手は仮分数 → 帯分数

分子の次数が分母の次数以上であるとき,
分数式の項だけでなく多項式の項が存在する。

まずはこれを割り算で分解することになるのだが,
そうしなければならないことに気付けないと,
いろいろと面倒なことになる。

手筋は「仮分数 → 帯分数」。
分子の方が大きい分数を「仮分数タイプ」と呼び続ける。

こうすると難しめの説明をしなくても,
感覚的に「帯分数タイプ」に直したくなってくる。

微分や数列同様,
積分でもこの手筋はたいへん役に立つ。

割ってからハート形約分する

ここのくだりは下の画像参照。

この変形は,「単に割る」だけでなく
「ハート形約分」をはさむとわかりやすいらしい。

画像右のように
組立除法でそのまま変形するのが標準的だが,
ハート形約分による式変形をはさんであげると評判がよい。


ぜひ,試してみてほしい。

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有理関数の積分法2017_1

ぐるぐる部分積分2017

羽生竜王を
リアルタイム検索するときは,
「羽生 -結弦 -くん」で。

羽生先生の次の目標は,
タイトル100期と最多勝利数かなあ。
羽生の読み方




さて,今日は,
ぐるぐる部分積分2017。

部分積分の公式

部分積分の公式を暗記して,f(x) とか g(x) に
関数を代入して部分積分するのは狂気の沙汰だ。

部分積分の手順をイメージと映像で理解し,
感覚的に計算できるよう習熟させておきたい。

右脳と左脳

右脳はイメージに強く,
左脳は論理に強いといわれている。

部分積分の公式は
左脳だけで処理しようとするとキツイが,
右脳のイメージに頼ると劇的に簡単になる。

過去に紹介した記事であるが,
B5 → A4 の作業とともに,書き直しておくことにする。

詳しくは画像にまとめておいた。

ぜひ,試してみてほしい。

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ぐるぐる部分積分2017
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