怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~

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数学について,私的研究の結果や,役立ちそうな指導法,研究授業のネタや高校数学のちょっと先の話などを提供します。
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はさみうちの原理

今年の流行語は,
報道しない自由ですかね。

報道しない自由




さて,今日は,
はさみうちの原理。

はさみうちの原理は俗称

下の画像の7を「はさみうちの原理」ということがある。
はさみうちは定理でも公理でもなく原理である。

まあ,証明なしに認められる公理ほど自明ではないが,
証明が必要なほど納得いかない定理ほどでもない
ということであろう。

直感的に伝わりやすい用語であり,
古くから使われている用語である。

イメージとことばで伝える

使用頻度が高いのは,下の画像における
7のはさみうちと「6の系」である。

これらのイメージについて,
図形的,ことば的に説明しておくことは,非常に大切である。

ぜひ,試してみてほしい。


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はさみうちの原理

数列の極限の性質

私は,
海老フライが嫌いだが,
海老の天ぷらは大好きだ。
CD




さて,今日は,
数列の極限の性質。

最も重要なのは仮定

数列の極限の性質において最も重要なのは,
2 つの数列がともに収束するということである。

四則演算や極限操作との関係を表す性質であるが,
収束しない数列については,何も述べていない点を,
徹底的に強調しておきたい。

「線形性」ということば


数学Ⅲもそろそろ中盤に入ってきた。
「線形性」ということばを紹介してもよいだろう。

下の画像の性質の1~3は,
線形性ということばによって集約される。

1は3で k = 0 とすれば得られ,
2は3で k = l = ±1 とすれば得られる。

特に,2を加法性,3を斉次性ともいうのだが,
線形性についてのみ触れれば十分である。

そもそも,高校数学においては,
この線形性が成り立たない分野の方が少ない。

線形性が成り立つ演算は非常に素直であり,
大変わかりやすいことを強調しておきたい。

親しみやすいことばに置き換える


線形性について,
板書では「和,差,k 倍はバラせる」と表現し,
読み上げるときは「足し算,引き算,すうじ倍はバラせる」
と表現するとよい。

多少,「厳密さを捨てて,わかりやすさをとる」ことは,
授業の場面において,非常に重要である。

この「数列の極限の性質」は,
「積,商」についてもバラせるわけで,
たいへん素直であるといってよい。

指導者が,数学全体を俯瞰したときの感覚について,
親しみやすい言葉で伝えておきたい。


ぜひ,試してみてほしい。


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数列の極限の性質

0.999…=1?

中国人がどうのこうのではなく,
日本人の感覚は,
世界的に見るとずれているんだろうなあ。
中国人




さて,今日は,
0.999…=1?。

極限をとると<がになる

極限の指導において,
いわゆる「はさみうちの原理」を導入する際,結構面倒なのが,
「極限をとると < が≦になる」ということである。

「0.999… = ?」と問う

おもむろに「0.999… = ?」と板書し,
生徒に問う。「0.999… は,いくつだろうか?」

生徒に雑談をさせれば,
まあいい感じにざわつくはずだ。

その隙に次の三択を板書する。

ぐ 0.999… = 1
ち 0.999… = 0.999
ぱ 0.999 = 0.999…9

時間があれば,いきなり正解から
「0.999… = 1 だと思う人手を挙げてください」と,攻めてみる。

大抵の勇気のない生徒は,周囲の反応を見てから,
損害が少なくなるように意見を決めるため,
数人がぱらぱらと手を挙げるだけにとどまるだろう。

多くの生徒が, 3 つとも手を挙げない,
というパターンが多いはずだ。

予定に反して,いきなり大人数が手を挙げた場合,
「0.999… = 1 だと思う人は起立!」
などとハードルを挙げればよい。

時間がなければ,
GCP 方式で「グーチョキパー」を全員に挙げさせる。

全員が考察に参加し,いい感じに教室が暖まってから,
正解とその理由を説明すると効果的である。

記号「…」の意味

記号「…」は「極限」を意味する。
「0.999…」という数は,絶対に 1 にはならないが,
限りなく近づく目標のような値はあって,それは 1 である。

この,限りなく近づく目標値「1」のことを極限値といい,
0.999… = 1 と表すのだ。

このとき,ず~~っと 0.999…9<1 であるが,
極限では 0.999… = 1 である。

つまり,「極限をとると < が≦になる」のだ。

ぜひ,試してみてほしい。


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999…=1?

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