怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~

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数学について,私的研究の結果や,役立ちそうな指導法,研究授業のネタや高校数学のちょっと先の話などを提供します。
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sinx/xの極限は循環論法?4

民事のトラブルに警察は介入しない。

人が殺されてからでないと,
動けないし,そもそも動かない。

そんな給料はもらっていない。
どこかの警備員とまったく同じだ。

殺されてからでは遅いんだけどなあ。
警察




さて,今日は,
sinx/xの極限は循環論法?4。


その発想についていけません

前々回の後半の部分積分で,
通常の発想では到底気付けそうもない式変形をしている。

しかし,これは
上半円の不定積分の公式の証明の発想と同じであり,
上半円の積分を直角三角形と扇形に
分割しているだけなのだ。

直角三角形と扇形に分割する

ここは数式多めにつき,下の画像参照で。

結局,前々回の式変形は,
このこと(画像参照)を主張しているだけなのである。

部分積分に持ち込むのは定番の発想

ここも数式多めにつき,下の画像参照で。

逆双曲線関数にちなんだ不定積分の公式の証明でも
後半の式変形と同様の手筋を用いる。

定番の発想ということであろう。

ひ,試してみてほしい。

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sinx/xの極限は循環論法?4

sinx/xの極限は循環論法?3

突如出てくる,しんたろう。

問いが,
「何時間何分」ではなく「どれくらいですか」と,
やや抽象的なのがポイントなのか。

解けない




さて,今日は,
sinx/xの極限は循環論法?3。


逆三角関数に他ならない

前回の単位円の弧長 θ は
逆三角関数 Arcsinb に他ならない。

先頭の大文字はなんですか?

逆正弦関数 Arcsinx の
先頭 3 文字 Arc は弧長を意味する。

一般に,逆正弦関数は多価関数であり,
普通の関数とは異なる。

これを回避するために,
-π/2≦x≦x/2 の部分で定義したものを主値といい,
頭文字を大文字にすることが多い。


逆正弦関数を微分してみる


ここは数式多めにつき,
下の画像参照。

逆正弦関数を紹介するよい機会と捉える

このような話題を紹介すると,
自然と逆正弦関数を扱うことができる。

ひ,試してみてほしい。

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sinx/xの極限は循環論法?3

sinx/xの極限は循環論法?2

ジョンとかマイクとか,
ものすごい人数いるんだろうなあ。

ジョン




さて,今日は,
sinx/xの極限は循環論法?2。


弧度を y 座標で表現する

数学Ⅲの教科書には,
曲線の長さの公式が与えられている。

まずは,半径 1 の円の弧度 θ,
すなわち弧長 θ を,y 座標で表現する。

詳しくは,下の画像参照。

扇形の面積を弧度 θ で表す

ここは,ほぼすべて数式であるから,
画像での提供のみとする。

ひ,試してみてほしい。

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sinx/xの極限は循環論法?2
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