階差数列で一般項を求める際,
n≧2 のとき…,n = 1 のときにも成り立つ」
という記述は必須である。

しかし,教科書,問題集,参考書,入試問題,……
などでいろいろと解いてみても, n = 1 のときにも成り立つ
ものにしか出会ったことがないという方が多いことだろう。

これが,S_n から a_n を求めるタイプの問題であれば,
n = 1 のときは成り立たない,という例がすぐに見つかる。

たとえば,S_n = n^2 + 1 のように,S_0≠0 であれば,
n = 1 のときだけ成り立たない。

階差数列で,「 n = 1 のときは成り立たない」という例はあるのだろうか?


【例題】次の数列の一般項を求めよ。
  1,1,2,3,4,5,6,……

解答例は,下記画像参照。


この例を挙げると,
「もとの数列 { a_n } が場合分けされていてずるい」
などとよくわからないことを言われることがあり,
まったく意味が分からないのだが,
意味がわからない



a_n = |n-3/2|+ 1/2 と 1 行で表現することもできるから,
これが「 n = 1 のときは成り立たない」という例に他ならない。

一般に,元の数列が,
絶対値やガウス記号や極限のない十分素直な n の多項式や
等比数列である場合には,n = 1 のときも成り立つ。

n = 1 のときは,階差数列の公式のΣが 
n = 1 から 0 までの和になってしまって意味がなくなるから
n≧2 のとき」を書かなければならない,
という主張もよく聞くが,それだけが理由ではないのである。


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