面白い問題を見つけたので^^

kongo-mondai


の根号を外してください。

答え読む前に…ワンクリックお願いします♪
人気ブログランキングです^^

↓答えはこちら↓
さて、解答の方針ですが、当然、強引に計算したりはしません(^^;)
ものすごい桁数になりますからね、、しかも計算結果が大きめの素数を因数に含んでいたりするとアウトです。

したがって、別の方針を考えねばなりません。

様々な方針があると思いますが、ここでは、この問題を一般化して考えてみましょう。

これは人によって違うと思いますが、私はこの問題のように、ちょっと規則があっていかにも大きな数を扱うことになりそうな問題に出会うと、すぐ一般化しようと思います。すなわち、

kongo2


として、この数列の一般解を求めることはできないか、考えてみます。
この数列の一般解を求めることができれば、n=100の場合として、問題の答えが求まりますし、また他のnの場合についても、一般解を公式として、すぐに根号が外せることになります。

とりあえず規則性を見つけるために、n=1,2,3,4の場合を具体的に考えてみましょう。順番に求めてみると、

kongo4









となります。

この段階では等差数列にも等比数列にもなっておらず、他にも特に規則性は見当たらないので、階差数列を求めると、

kongo5




となります。

階差数列は 2k+4 という式にならっているっぽいので、n≧2の場合

kongo6



となりそうです。これはn=1の時も成り立っていますので、任意のnについて、この式が成り立ちそうです。実際、

kongo-tasikame










ですから、求めた一般項が正しいことがわかります。

従って、n=100を代入すると、

kongo7







となり、根号が外せました。

出てきた答えを見てもらうとわかると思いますが、これは小さい素因数を含んでいませんので、直接計算していたのでは答えが出る可能性はほぼ0です。

ところが一般化して考えると、簡単な数列の知識を元にして、解くことができました。(他の解き方もありますが、少々、直感に頼らざるを得なくなるところがありますので、この解き方を採用しました。)

家庭教師などをしていると、「一般化」とか「抽象化」とかいうものが、今ある問題を余計に難しくすると思って敬遠する生徒さんが多いように感じますが、たまには一般化した方が問題をラクに解ける場合もあります

それに今回の問題では、一般化することで、

kongo2


が必ず整数値を取る、という事実も一緒に知ることができました。

このように、一般化して考えることで、目の前の問題が明解に解け、知ろうとしていた以上の結果を得られる、というのは、大学で数学をしていても度々目にするプロセスです。

あなたが何か難しい問題にぶち当たって、一通り試行錯誤してみてもうまく行かなかった時、「一般化してみる」ということも、一つの方法として取り入れてみてはいかがでしょうか^^


答えがわかってスッキリ!って方は、ワンクリックお願いします♪
人気ブログランキングに飛びます。