ビュッフォンの針と呼ばれる問題です。


問題----------------------------------------------------------------------------
 B罫のノートと罫線幅の半分の長さの針を用意する。
 針をノートに落とした時、針がノートの罫線と交わる確率を求めよ。
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*B罫のノートとは、罫線幅が6mmのノートです。
*従って用意する針の長さは3mmです。
*また、針は罫線が引いてある範囲内に落とすものとします。


この確率、どのくらいになると思いますか?


求め方の詳細については、微積分学と確率論の基本的知識(と言うほど大げさなものではありませんが…)が必要なので、追記部分に回しますが、実はこの確率、1 / π になります。

「円の直径から円周の長さを求める」という動機のもとで生まれてきた円周率が、こんなところにも出てくるなんて、ちょっと不思議じゃありませんか??

この問題の他にも、πというのは、およそ円とは関係のないように思える、実に様々な場面で登場してきます。その究極は、複素数の累乗を考えてたオイラーが導いた、数学で最も美しいといわれる「オイラーの公式」ですね。勿論、πという数字の定義から、(私の知る限り)このような問題も突き詰めていけば全てちゃんと円に関連した事柄に辿りつくのですが、様々な場面で現れ、一見違うと思われる分野のものを結びつけるという威力から、私はπという数字にすごく興味があります。

これからもπの面白い性質を、ちょくちょく紹介していきますね^^



今回の「ビュッフォンの針」の問題に関しては、更に面白い性質があります。この問題で、試行を数回行ったくらいでは当然、πとの誤差は大きいものになりますが、試行の数をそれまでの10倍の回数にすると、πとの誤差がそれまでの1/(√10)になるという規則性も見つけられているようです。

正月の連休、暇だなぁ〜と言う方は、試してみてはいかがでしょうか?^^;



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ビュフォンの針の問題の証明はこちら→
それでは証明です。

落とした針の中点Mから、最も近い平行線までの距離を x、またMから最も近い平行線におろした垂線と針のなす角(非負最小角とします)を θ とおきます。

すると、0≦x≦3、0≦θ≦π/2 となりますから、
標本空間の面積は 3×(π/2) = 3π/2 です。

このうち、針が交わる範囲は x≦(3/2)cosθ であり、この領域の面積は

bufon1














ですから、求める確率は

bufon2







となります。



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