今日、こんな問題が未解決であることを知りました。
分割問題------------------------------------------------------------
「５」を自然数の和で表すことを考えると、
５＝１＋１＋１＋１＋１
５＝２＋２＋１
５＝２＋１＋１＋１
５＝３＋２
５＝３＋１＋１
５＝４＋１
５＝５
の、７通りあります。
（和の順序は考慮しないこととします）
このように、ある自然数を自然数の和で表すことを
分割と呼び、表し方の数を分割数と呼ぶ。
ｎの分割数をｐ（ｎ）で表す。
例えば、ｐ（５）＝７である。
この時、ｐ（ｎ）はどのように表されるか？
-----------------------------------------------------------------------
…これ、ホントに未解決なんですかね？＾＾；
最近数学オリンピック予選問題でたくさんの組み合わせ問題を解いてたので、問題を見て『解けるんじゃね？』って思い立ち、すぐに解いてみました。
ｎをいくつに分割するかで場合分けすると、以下の式が成り立ちます。
これはまぁ自明だと思います。更に、右辺の各項については以下のようになることが導けました。証明は少し長くなるので割愛しますが。。
ただし、右辺第二項は、n-k＜k の時は０です。
これを用いて、任意のｐ（ｎ）について計算することができます。
…と、ここまではまぁ来れて、任意のｐ（ｎ）の計算も実際にできます。しかしこの漸化式（と言うのかわかりませんが）を解いてｐ（ｎ）をexplicitに表すのは出来ませんでした。n-k っていうのをどう扱って良いかわからず。。恐らくこの部分が未解決なんでしょうね。
色々検索してみたら、だいたいのサイトの管理人の方が私の導いたところまでは導いているようでした＾＾；上の式を使ってExcelなどでｐ（ｎ）を計算させているところもあって面白かったですが、やはりこの漸化式を解くに至っているサイトは見当たりませんでした。
ということで、上の漸化式を解き、ｐ（ｎ）の公式を導けた方は、数学誌などに投稿すれば有名人になれますよ☆
よろしければワンクリックお願いします＾＾→人気ブログランキング
分割問題------------------------------------------------------------
「５」を自然数の和で表すことを考えると、
５＝１＋１＋１＋１＋１
５＝２＋２＋１
５＝２＋１＋１＋１
５＝３＋２
５＝３＋１＋１
５＝４＋１
５＝５
の、７通りあります。
（和の順序は考慮しないこととします）
このように、ある自然数を自然数の和で表すことを
分割と呼び、表し方の数を分割数と呼ぶ。
ｎの分割数をｐ（ｎ）で表す。
例えば、ｐ（５）＝７である。
この時、ｐ（ｎ）はどのように表されるか？
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…これ、ホントに未解決なんですかね？＾＾；
最近数学オリンピック予選問題でたくさんの組み合わせ問題を解いてたので、問題を見て『解けるんじゃね？』って思い立ち、すぐに解いてみました。
ｎをいくつに分割するかで場合分けすると、以下の式が成り立ちます。
これはまぁ自明だと思います。更に、右辺の各項については以下のようになることが導けました。証明は少し長くなるので割愛しますが。。
ただし、右辺第二項は、n-k＜k の時は０です。
これを用いて、任意のｐ（ｎ）について計算することができます。
…と、ここまではまぁ来れて、任意のｐ（ｎ）の計算も実際にできます。しかしこの漸化式（と言うのかわかりませんが）を解いてｐ（ｎ）をexplicitに表すのは出来ませんでした。n-k っていうのをどう扱って良いかわからず。。恐らくこの部分が未解決なんでしょうね。
色々検索してみたら、だいたいのサイトの管理人の方が私の導いたところまでは導いているようでした＾＾；上の式を使ってExcelなどでｐ（ｎ）を計算させているところもあって面白かったですが、やはりこの漸化式を解くに至っているサイトは見当たりませんでした。
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はじめまして。
組み合わせ数学に興味を持ったようですね。
整数の分割問題は簡単そうで実は非常に奥が深いです。
実際の値(どれだけの個数があるか)を求めることも重要ですが、最近では、その分割を非常に高速に求める(数ではなく、具体的に1つ1つがどんな形をしているか)ような研究も行われています。
漸化式を解いて求めるという方法もありますが、
母関数という概念を使って求める方法もあります。
母関数を使うと(無限個の和ですが)非常にすっきり書けます。
無限個なのでexplicitと呼ぶことはできないでしょうね。
この問題の参考文献として日本語のものを：
「組み合わせ数学入門」C.L.リウ著、伊理正夫、伊理由美共訳、共立全書 の2.5節
英語のでは定番、Knuth本ことThe art of computer programmingのVol.4, Fascicle 3、7.2.1.4節あたり。