最近、記事に対したくさんのコメントをいただけて、とても嬉しいです＾＾
記事に関連する事柄や興味深い話題などを教えていただいて勉強したり、記事の不適切な点や疑問点を指摘していただいて記事を改善したり、励ましのメールを貰ったりと、どのコメントも皆、私自身の成長と、より良いブログ作り、そして次の記事を書く際の大きな原動力につながっています☆☆ありがとうございますm(_ _)m
さて、今回はそのコメントを通して、私が昔の記事で「これどうなんでしょう？」と問題提起したことに対する明快な証明を教えていただいたので、紹介しようと思います。
一週間ほど前に、四色定理について紹介しました。
四色定理とは、『どんな地図でも、４色あれば、隣接する領域の色が異なるように塗り分けることができる。』というもので、近年コンピュータを使って証明された定理です。
ただし、「どんな地図でも」とありますが、これは我々が見ている通常の地図、すなわち二次元に描かれた地図に限定した話です。
そこで、三次元の地図や一般の次元の地図は何色で塗り分け可能なのか、そもそも解決されているのか、という疑問を記事の最後に書いていたのですが、この疑問に対して、 かも ひろやす さんが答えてくださいました。
-----------------------------------------------------------------------------
三次元地図の場合、何色用意しても
塗り分け不可能な地図が存在する。
-----------------------------------------------------------------------------
つまり三次元地図を塗り分けるために「これだけあれば十分」という上限は存在せず、言ってみれば"∞色"必要になるわけです。
証明は構成的で、大変明快です↓
【証明】
任意の自然数ｎに対して、ｎ色必要な地図を具体的に構成します。そうすると、何色用意しても、それより多くの色が必要な地図を描けることになりますから、上記の内容が示せることになります。
まず、底面が１×１の正方形で高さがｎの直方体を２ｎ本用意し、そのうちｎ本を横に、ｎ本を縦に並べます。
例えば、ｎ＝５の場合は以下のようになります。
（描くのが下手なので図が少しいびつですが、全て同じ直方体だと思ってくださいｗ）
図のように横に並べた直方体たちと縦に並べた直方体たちがそれぞれ一つずつできるわけですが、これらを点線に沿って連結します。
すると、上の段の一行目にある直方体と下の段の一列目にある直方体は１×１の正方形で接していることがわかります。（以下の図参照）
（図の紫の部分で接しています）
この、上段一行目と下段一列目を合わせて、一つの「国」とみなします。上段一行目と下段一列目は接しているのですから、この国は飛び地を持っていません。この国を仮に「国１」としましょう。
同様にして、上段二行目と下段二列目を合わせて「国２」を作ります。（以下の図参照）
こうして、「国１」から「国ｎ」までができますが、これらはどの２国も、互いに接しています。（←これは想像してみてください。）
従って、このような地図は、ｎ色必要です。
よって、主張は示されました。■
この事柄から学べることはたくさんあります。
・学べること〜その１〜
三次元で既に"∞色"必要だということが示されたわけですから、四次元以上でも当然、"∞色"必要だということがわかります。
・学べること〜その２〜
二次元の彩色問題である四色問題は、古くから知られていたにもかかわらずずっと未解決で、コンピュータという最新の技術を使ってようやく証明されました。
これに対し三次元の彩色問題は我々の頭の中だけでこれほど単純に、解決することができました。そしてその帰結として、三次元以上の彩色問題が一気に解決できました。
幾何学ではよくあることですが、高次元を考えることが必ずしも難しいことではないということがわかります。低次元の話の方が難しくなることが、今回の例の他にも多々存在します。
高次元は我々がイメージしづらいのでどうも難解に感じられますが、低次元に比べて自由に色々できるので、比較的簡単に解決できることも少なくないのです。そのイメージを、今回の証明を通して何となくわかっていただけたかと思います。
・学べること〜その３〜
これまで触れてきませんでしたが、零次元と一次元の彩色問題について考えましょう。
零次元というのは「１点」ですから、塗り分けるには一色必要であり、また一色あれば十分です。
一次元というのは「直線」ですから、塗り分けるには二色必要であり、また二色あれば十分です。（考えてみてください）
ここで、ｎ次元地図を塗り分けるために必要な色の数を ａn とおきます。
すると、今考えた零次元と一次元の彩色問題と、四色問題から、
ａ0＝１, ａ1＝２ , ａ2＝４
であることがわかります。この並びと、次元に関する話であることから、何となく私は、
ではないかと予想していたのですが、上で紹介したことから、実際は
であることがわかりました。この数列を書き下すと
-----------------------------------------------------------------------------
1 2 4 ∞ ∞ ∞ ∞ …
-----------------------------------------------------------------------------
となります。
「あ、こういうの、どこかで見たな」とそろそろ思われた方も居るでしょう。これは前回、ウィトゲンシュタインのパラドクスで述べた警鐘の、良い例になっています。
しかも今回は、この数列は明らかに「デタラメ」ではなく、我々が決めた「彩色問題」のルールにのっとって考えていった結果出てきた数列なのです。こういう「意味のある数列」も存在するということです。
（もっとも、「1 2 4」という三項を見ただけでは「次は 8 になりそう」という予想もそれほど説得力があるわけではありませんが。。）
超伝導の実験をしたことのある方などは実感があると思いますが、自然科学にはこのように「いきなり何っ？！」と思えるようなことがしばしば現れます。この数列もその一例であると言えます。
どのような状況も予想して問題に取り組む、そのような姿勢が必要だな、と、今回私は再認識させられました＾＾
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さて、今回はそのコメントを通して、私が昔の記事で「これどうなんでしょう？」と問題提起したことに対する明快な証明を教えていただいたので、紹介しようと思います。
一週間ほど前に、四色定理について紹介しました。
四色定理とは、『どんな地図でも、４色あれば、隣接する領域の色が異なるように塗り分けることができる。』というもので、近年コンピュータを使って証明された定理です。
ただし、「どんな地図でも」とありますが、これは我々が見ている通常の地図、すなわち二次元に描かれた地図に限定した話です。
そこで、三次元の地図や一般の次元の地図は何色で塗り分け可能なのか、そもそも解決されているのか、という疑問を記事の最後に書いていたのですが、この疑問に対して、 かも ひろやす さんが答えてくださいました。
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三次元地図の場合、何色用意しても
塗り分け不可能な地図が存在する。
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つまり三次元地図を塗り分けるために「これだけあれば十分」という上限は存在せず、言ってみれば"∞色"必要になるわけです。
証明は構成的で、大変明快です↓
【証明】
任意の自然数ｎに対して、ｎ色必要な地図を具体的に構成します。そうすると、何色用意しても、それより多くの色が必要な地図を描けることになりますから、上記の内容が示せることになります。
まず、底面が１×１の正方形で高さがｎの直方体を２ｎ本用意し、そのうちｎ本を横に、ｎ本を縦に並べます。
例えば、ｎ＝５の場合は以下のようになります。
（描くのが下手なので図が少しいびつですが、全て同じ直方体だと思ってくださいｗ）
図のように横に並べた直方体たちと縦に並べた直方体たちがそれぞれ一つずつできるわけですが、これらを点線に沿って連結します。
すると、上の段の一行目にある直方体と下の段の一列目にある直方体は１×１の正方形で接していることがわかります。（以下の図参照）
（図の紫の部分で接しています）
この、上段一行目と下段一列目を合わせて、一つの「国」とみなします。上段一行目と下段一列目は接しているのですから、この国は飛び地を持っていません。この国を仮に「国１」としましょう。
同様にして、上段二行目と下段二列目を合わせて「国２」を作ります。（以下の図参照）
こうして、「国１」から「国ｎ」までができますが、これらはどの２国も、互いに接しています。（←これは想像してみてください。）
従って、このような地図は、ｎ色必要です。
よって、主張は示されました。■
この事柄から学べることはたくさんあります。
・学べること〜その１〜
三次元で既に"∞色"必要だということが示されたわけですから、四次元以上でも当然、"∞色"必要だということがわかります。
・学べること〜その２〜
二次元の彩色問題である四色問題は、古くから知られていたにもかかわらずずっと未解決で、コンピュータという最新の技術を使ってようやく証明されました。
これに対し三次元の彩色問題は我々の頭の中だけでこれほど単純に、解決することができました。そしてその帰結として、三次元以上の彩色問題が一気に解決できました。
幾何学ではよくあることですが、高次元を考えることが必ずしも難しいことではないということがわかります。低次元の話の方が難しくなることが、今回の例の他にも多々存在します。
高次元は我々がイメージしづらいのでどうも難解に感じられますが、低次元に比べて自由に色々できるので、比較的簡単に解決できることも少なくないのです。そのイメージを、今回の証明を通して何となくわかっていただけたかと思います。
・学べること〜その３〜
これまで触れてきませんでしたが、零次元と一次元の彩色問題について考えましょう。
零次元というのは「１点」ですから、塗り分けるには一色必要であり、また一色あれば十分です。
一次元というのは「直線」ですから、塗り分けるには二色必要であり、また二色あれば十分です。（考えてみてください）
ここで、ｎ次元地図を塗り分けるために必要な色の数を ａn とおきます。
すると、今考えた零次元と一次元の彩色問題と、四色問題から、
ａ0＝１, ａ1＝２ , ａ2＝４
であることがわかります。この並びと、次元に関する話であることから、何となく私は、
ではないかと予想していたのですが、上で紹介したことから、実際は
であることがわかりました。この数列を書き下すと
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1 2 4 ∞ ∞ ∞ ∞ …
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となります。
「あ、こういうの、どこかで見たな」とそろそろ思われた方も居るでしょう。これは前回、ウィトゲンシュタインのパラドクスで述べた警鐘の、良い例になっています。
しかも今回は、この数列は明らかに「デタラメ」ではなく、我々が決めた「彩色問題」のルールにのっとって考えていった結果出てきた数列なのです。こういう「意味のある数列」も存在するということです。
（もっとも、「1 2 4」という三項を見ただけでは「次は 8 になりそう」という予想もそれほど説得力があるわけではありませんが。。）
超伝導の実験をしたことのある方などは実感があると思いますが、自然科学にはこのように「いきなり何っ？！」と思えるようなことがしばしば現れます。この数列もその一例であると言えます。
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