コメントで保さんから質問をいただきました。面白い解き方ができる問題なので、問題と解答を紹介しようと思います。

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難問だと思いますが、ヒントとしては、式の形を見て三角関数のある公式を思い浮かべることができれば解決の糸口が見えてきます。


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↓解答はこちら↓

まず、xの値が決まれば(1)よりyの値が一意に決まり、そうすると(2)よりzの値が一意に決まるので、連立方程式を満たす異なる実数xが8個あることを示せばオッケーです。

さて、ヒントで述べた三角関数の公式とは、cosの二倍角の公式

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です。もし、x=cosθとおくことができれば、(1)からy=cos2θ、(2)からz=cos4θ、(3)からx=cos8θとなりますから、解くべき方程式はcos8θ=cosθになります。これを満たすθは8個あることがわかりますが、そのコサインの値がそれぞれ異なれば、問題の方程式を満たす実数xが8個あることがわかります。そうすると、最初に述べたことから、問題の方程式は異なる8つの実数解を持つことが示せます。

ここで、そもそもx=cosθとおけるのかどうかという問題が残っています。こうおくことができるということを示すためには、|x|≦1を示しておけばオッケーです。

以上をまとめて解答にすると、以下のようになります。

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