縦nマス、横nマスの正方形に1からnの2乗までの数字を1つずつ配置し、縦・横・斜めいずれの和も同じになるようなものを魔方陣と言います。


縦1マス、横1マスの魔方陣(これを「1×1の魔方陣」と呼びましょう)は単に1を配置するもののみですからあまり面白くありません。

2×2の魔方陣は作ることができません(証明は簡単なので興味のある方は考えてみてください)。


3×3の魔方陣が意味のある最小の魔方陣です。

3×3の魔方陣はその存在が古くから知られており、呪術などでは数の神秘的な関係を表すものとして用いられています。

例えば九星占術で知られる九星は、洛書と呼ばれる以下の魔方陣が起源になっています。

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また、以下の魔方陣は西洋数秘術サトゥルヌス魔方陣(土星魔方陣)と言われるものだそうです。【参考文献:wikipediaの魔方陣の項目】

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上記の2つの魔方陣は見かけ上、違って見えますが、上の魔方陣を180°回転させてやると下の魔方陣になり、本質的には同じ魔方陣であることが見てとれます(もちろん、呪術的な意味ではなく数学的な意味で、です)。

このように回転や反転で同じものに重なるような魔方陣を、型が同じという意味で「同型」と呼びましょう。

実は、3×3の魔方陣は、同型を除くとただ1通りしか存在しないことが知られています(証明は追記部分で述べます)。すなわち、3×3の魔方陣を作ったとしたら、それを適当に回転・反転させてやることで上の魔方陣に重なります。

ということで、3×3の魔方陣はよくわかりました。


次に4×4の魔方陣を考えてみましょう。

4×4の魔方陣も結構歴史が古く、19世紀に着工し現在未だ建設中であるスペインの教会、サグラダ・ファミリアの壁に以下のような正方形が装飾されています。

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これは10と14がそれぞれ2度ずつ使われているため我々が今考えている「魔方陣」の定義に沿うものではありませんが、縦・横・斜めの和が33の正方形になっており、この装飾が施された時代に魔方陣が考えられていた根拠になるものだと思います。

実は4×4の魔方陣は同型を除いて880個存在することが知られています。これは手計算でも一週間くらい頑張れば数え上げられそうですし、先ほどプログラムを組んで計算させたところ数秒で答えが出てきました。


5×5の魔方陣は、同型を除いて275,305,224個(約2億7千万個)存在することが1973年に証明されました。証明はコンピュータを使って全て数え上げるというものです。


さて、ここからが未解決の部分です。

6×6の魔方陣ですが、同型を除いて何通り存在するか、実は未だにわかっていません。コンピュータシミュレーションなどで約1700京個〜1800京個程度存在しそうだ、という評価は出ていると聞いたことがありますが、きちんと数え上げられてはいないそうです。


こういう問題の解決策としてまず思いつく素朴な方法が「条件を満たすものを余すことなく数え尽くせば良い」というものだと思いますが、1800京個(或いはもっと多く)存在するものを1つ1つ数え上げるのは厳しいということが誰の目にも明らかです。

そこで次に思いつく方法が、5×5のときのように「プログラムを組んでコンピュータにやらせれば良い」というものですが、この方法も6×6の魔方陣に対しては(少なくとも現在のところは)適用できません。というのも、最新のコンピュータを使ったとしても数えるものが多すぎて時間がかかりすぎてしまうからです(この辺の詳細は追記部分で評価してみようと思いますので興味のある方はご覧ください)。

従って、この問題には何らかの理論的解決が望まれるわけです。

「理論的解決」というのは、6×6魔方陣の個数をバッチリ決めてしまえればもちろん一番良いですが、そうでなくても、例えば賢い数え方を考えて数え上げのスピードを飛躍的に上げる、というのでも十分注目されると思います。スーパーコンピュータで数か月で数え上げられるくらいにできればもう解決と呼んで良いのではないかと個人的には思います。

こういう問題は問題自体は小学生でも理解できると思われるので、興味のある方は考えてみてください。解決できればこの分野に名が残ることは間違いないと思います。


更にもっと一般に、6×6以上の大きさの魔方陣について、それぞれ同型を除いて何通り存在するかを決定する公式なども知られていません。これも併せて考えてみると面白いと思います。


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以下、3×3魔方陣がただ1通りに決まる理由と、6×6魔方陣がコンピュータを使っても難しい理由を説明したものを貼っておきます。興味のある方はご覧ください。

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←この細長いのをクリックすると新たなウィンドウ(またはタブ)にファイルが表示されます。ちょっと重いです。最初は小さくなっているかもしれませんが、画像にカーソルを合わせてクリックすると拡大されたものが表示されると思います。


このファイル内の評価は魔方陣の扱いに特に慣れていない私が最も素朴に思いつくやり方で数え上げたり計算したりしたものなので、詳しい方がいらっしゃったらアドバイスいただければうれしいです。