20170806-34




1: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:15:17.181 ID:2omcWIV00
無限の部屋があるホテルに、無限の客が泊まって満室の状態で
1人泊まりにきました。
既に泊まっている全員に隣の部屋に移動してもらうことで、
その人は泊まることが可能になりました

数学者って頭の良いバカなの?
もう意味不明なんだけど

ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス(ヒルベルトのむげんホテルのパラドックス、Hilbert’s paradox of the Grand Hotel)とは、集合論で無限集合を認めると、有限集合の場合と全く違った奇妙な事態が起こることを示すパラドックスで、ダフィット・ヒルベルトによって示された。論理的・数学的には正しいが、直観に反するという意味でのパラドックスである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス




2: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:16:13.550 ID:OkBhAyNO0
隣に移ってもらううちに何か月も何年も掛かってるから、そのうちに誰かチェックアウトしたんだろう




3: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:16:42.296 ID:k15Y2p4l0
平屋かよ




5: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:18:11.455 ID:uWCFvzaza
パラドックスっていうのは前提が間違ってることの総称だよ




6: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:19:34.018 ID:/XU7KouEa
>>5
なるほどな




7: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:20:32.659 ID:qS6wTCFXa
>>6
騙されるな




9: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:23:19.423 ID:/XU7KouEa
>>7
ポイントはあってるじゃん




11: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:25:09.597 ID:2omcWIV00
>>5
これは無限の説明であって
前提はあくまでその説明の為のものだから
前提間違ってるけど、答えはあってるってこと?




71: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:43:33.796 ID:nZ5c3Rb80
>>5
パラドックスの中には
何もかもが正しいが感覚的に受け入れがたいだけのものもある
誕生日のパラドックスとか




8: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:23:13.330 ID:T0bua2hz0

20170806-30


20170806-31

20170806-32




10: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:24:46.371 ID:EMoTrVcF0
無限の部屋があるホテルに、無限の客が泊まって満室←これが間違いな




13: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:29:58.196 ID:/XU7KouEa
>>10
そうそう無限に部屋があるホテルは満室にならない




14: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:31:25.632 ID:TrBfsxUx0
>>13
でも客も無限にいるんだよ?
そもそも無限と無限+1って何が違うのアホなの




15: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:32:16.946 ID:2omcWIV00
>>13
ここでいうパラドックスは
満室なのに1人泊まれてしまう
っていうものだから
満室なのは曲げちゃいけないんじゃね?




16: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:33:59.151 ID:/XU7KouEa
>>14
∞+1=∞ だが

>>15
無限はそもそも満たされない




21: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:37:20.062 ID:2omcWIV00
>>16
それだと
常に満室じゃないから
1人追加で泊まることは普通に可能だから
パラドックスじゃなくて
ただの前提が間違っただけの文になっちゃうんじゃない?
そういうのとはものが違う気がするんだけど




24: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:39:57.565 ID:/XU7KouEa
>>21
有限の集合で使える概念が無限の集合には適用されないねって話だよ




27: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:43:35.414 ID:2omcWIV00
>>24
つまりこのパラドックスは
満室は無限では使えないことを説明してる問題ってこと?
それって証明であって、パラドックスになるの?
パラドックスの定義がいまいちわからんから、
なんとも言えないんだけど




30: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:47:41.646 ID:/XU7KouEa
>>27
ぎゃく‐せつ【逆説】

1 一見、真理にそむいているようにみえて、実は一面の真理を言い表している表現。「急がば回れ」など。パラドックス。
2 ある命題から正しい推論によって導き出されているようにみえながら、結論で矛盾をはらむ命題。逆理。パラドックス。
3 事実に反する結論であるにもかかわらず、それを導く論理的過程のうちに、その結論に反対する論拠を容易に示しがたい論法。ゼノンの逆説が有名。逆理。パラドックス。


今回は2の意味のパラドックス




31: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:50:19.193 ID:1gEoDH4mM
>>30
違うぞ
数学的には証明できる
結論に矛盾はない




33: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:52:49.206 ID:/XU7KouEa
>>31
命題と結論が矛盾してる事を証明したって表現でいいかな




32: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:52:29.157 ID:ccyAw6wN0
>>30
この場合は1じゃないかな




35: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:53:51.163 ID:/XU7KouEa
>>32
1になるんかな
そもそも命題が矛盾なんだけどそこはどうなん




12: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:28:58.957 ID:1gEoDH4mM
A={a0,a1,……}なる集合はNと対等
ここでA∪{a}なる集合を定義域、Aを値域とする写像fに対して
f(an)=a[n+1]
f(a)=a0
と定めればfは全単射
したがって対等の推移性からA∪{a}もまたNと対等




17: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:34:26.157 ID:2omcWIV00
>>12
俺の数学力は中学生にも劣るんだぜぇ?
全然わからねぇ




26: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:41:29.254 ID:1gEoDH4mM
>>17
集合っていうのは物の集まりで、例えば何が集まってるかというのが集合の要素
例えばaとbが要素のときは、{a,b}という、{}って箱の中にa,bが入ってる感じ
写像っていうのは集合の要素の間の関係
例えば{a,b}と{1,2}の関係を、1とaに関係があるとしたいならf(1)=aという形で表す

集合が対等っていうのは、集合と集合の間に全単射写像が存在すること
全単射写像は要素と要素の関係に漏れがないということ
{1,2,3}と{a,b}では写像を探しても1個あまりそうな気がするじゃん これは対等にはならない
このなかで、{1,2,……}と無限人をa0,a1,……と名付けた場合の{a0,a1,……}、ここに一人aさんを追加した{a,a0,a1,……}が全部対等、つまり漏れがないように割り振れるってこと




34: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:53:07.165 ID:2omcWIV00
>>26
なんとなーく掴めた気がする
1,2のあとには無限に続いてて、
それに対応するa0,a1の前にaを追加しても
a1以降も無限に続いてて
全部対応してるから、答えはあってるってことか




38: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:59:13.780 ID:1gEoDH4mM
>>34
そう
無限だと上手く関係が作れる 




18: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:35:34.881 ID:/XU7KouEa
満たされるってのは有限範囲のみ適用される概念で
無限の集合にはないの




80: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:03:49.190 ID:h1m29Suz0
>>18
あるよ




81: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:04:38.645 ID:/XU7KouEa
>>80
教えて




87: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:11:43.033 ID:h1m29Suz0
>>81
満室=どの部屋を指定されてもその指定されたひとつの部屋を確かめるとそこには客がいる状態

これと、「これ以上客が泊まれない状態」とは本来違うわけね。有限ホテルがたまたまその2つが一致するし、現実には有限ホテルしか見たことないから直感に反してあり得ない!って思っちゃうけど。一種の現実バイアスですね




88: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:17:11.234 ID:/XU7KouEa
>>87
つまり無限に部屋のあるホテルに満室を定義出来ない
になるんだよね?




90: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:19:12.354 ID:h1m29Suz0
>>88
ならないし、>>87の1文目がズバリその定義だよ




92: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:23:25.983 ID:/XU7KouEa
>>90
どうやって確かめたらいいのか教えて




95: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:33:04.850 ID:h1m29Suz0
>>92
確かめ方は、その部屋まで歩いて行って、ノックして返事が返ってくるかを確認するでいいのでは?




96: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:34:45.263 ID:/XU7KouEa
>>95
無限に部屋があるから無限に確認が終わらないよ




109: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 16:05:52.731 ID:h1m29Suz0
>>96
物語に出てくるホテルが実際にそのような状態になっているのかどうかの証明は、客が入って来た時の状況などが記述されていないので、物語を外から読んでる人は証明ができない。
でも、例えば、偶数足す奇数が奇数であることを、全部の数の組み合わせを目の前で検算しなくちゃそれが示せないわけではない。偶奇の話は数学的帰納法使って有限時間内で証明が終わる。
無限ホテルも、そのような構造の客の受け入れ方をしたのであれば、「どの部屋を指定しても人が居る」の証明はできる。
この物語ではその証明は問われてないし前提がないので、「そういう状況」だったというだけで、その状況自体は定義不能じゃないのですね




19: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:36:33.127 ID:emfRs/4vM
みんなが隣の部屋に移ってもらわなくてもいいんじゃないのか?




22: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:38:22.660 ID:/XU7KouEa
>>19
これは有限範囲の中での手法で無限に泊まれると言うことを証明しただけ
つまり満室にならないよねってこと




25: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:41:09.297 ID:emfRs/4vM
>>22
難しいことはよく分からんのだけど隣に移ってもらってってゆう部分は何の意味もないってこと?
無限の部屋があって全員隣の部屋に移動した意味のとこなんだけど




29: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:45:33.670 ID:/XU7KouEa
>>25
数学的表現を文字にしただけじゃね?
有限の満室は「もう泊まれない」って意味と同義だけど
無限の満室は「もう泊まれない」ではない
つまり「無限の満室」は「有限の満室」と違う

って流れ




20: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:36:58.949 ID:ccyAw6wN0
「0.999...=1」を認めるなら
「無限の客室が満室になること」も認めなければならない




37: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 13:58:30.716 ID:/XU7KouEa
やってることは
1 無限の集合が満たされた状態を仮定
2 演算などで仮定が成り立たない(矛盾)となる事を証明

この順じゃないの




40: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:02:37.108 ID:1gEoDH4mM
>>37
>>12の証明を見ても分かる通り、背理法は使ってない
現在の数学では無限の要素を持つ集合は認められてるからあえて仮定する必要がない




42: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:05:02.744 ID:D7QfL1zaK
数学関係なくて無限という語句の意味の問題でしかない




43: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:05:49.683 ID:ccyAw6wN0
「満室のホテルに宿泊客を追加できる」という結論は
現実の世界、つまり有限の世界の感覚では一見真理に背いているように見えるが、
実は無限の世界の真理を端的に表している

という意味でのパラドクス




46: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:08:07.948 ID:/XU7KouEa
>>43
なるほどそういう表現法って事なら1かな
矛盾を使って概念を表現する方法はわかる




44: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:06:33.788 ID:D4UYTpgF0
無限には密度?があるって高校の自由参加夏期講習で習ったわ
整数も自然数も素数も無限にあるけど出てくる頻度は違うはずだっていうのをℵ(アレフ)で示すんだとか




47: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:08:24.534 ID:D4UYTpgF0
>>44
いや確か濃度とか言うんだよね




49: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:11:11.625 ID:ccyAw6wN0
「数学の世界の話を現実の世界にそのまま当てはめると一見矛盾して感じられるね」
というだけの話

シュレディンガーの猫も同じタイプのパラドクスじゃないかな




55: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:16:33.187 ID:2omcWIV00
>>49の通りなんだろうな
現実と数学の話をごっちゃにすると、
文字で読むとワケワカランこと言ってる状態になっちゃうってだけで

とりあえず納得できたわ、ありがとう




51: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:12:28.024 ID:x6G7fh/v0
満室なら断れよ




52: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:13:34.530 ID:2omcWIV00
>>51
元も子もなくて笑ったw




56: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:18:57.033 ID:h1m29Suz0
満室とは、「あるひとつの部屋を指定した時に、どの部屋を選んだとしてもその部屋には既に人が居る」という状況を指す、と考えると別に不自然ではないよね
室が満ちている状態。そう考えれば別に無限個の部屋があるホテルでは満室は定義できないなんてことはない

>>51
泊まらせた方がお金が稼げるじゃない




58: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:24:40.654 ID:x+0tRGCwa
そもそも無限というのは数字ではなく概念
無限の部屋に泊まっている無限の客という設定が誤謬を含んでいる




60: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:25:26.505 ID:pncNs5gX0
泊まりに来た1人が、無限の外側から無限の内側に入れば、自分も無限の客となるから無限の客室にぴったり収まることができる




66: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:39:11.737 ID:nL3JCDAO0
偶数は無限にある
奇数も無限にある
数は偶数と奇数の和でこれも無限にあると考えると無限とは一体なんだろうって考えちゃう




73: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 14:47:22.660 ID:h1m29Suz0
>>66
「◯◯の数が無限個」っていうのは「どんなに大きな自然数を出されても、それより◯◯の個数の方が大きいことが言える、そういう特徴を持つ個数」ということしか言ってないのよ。それ以上はみんなの勝手な妄想なの。
だから偶数は無限で、奇数も無限で、それらを合わせても無限なのよね




79: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:01:43.644 ID:8/wuMOXj0
つーかまず数学が先にあってそれの例えが無限ホテルだから
無限ホテルの文言の意味と定義を考えてもそれこそ無意味




83: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:05:58.032 ID:QdkLhuHZ0
まず無限の部屋に無限の宿泊で満室ってのが矛盾してる
無限は数字じゃないから無限の部屋にいくら無限人入れた所で絶対に満室にはならない




91: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:22:42.983 ID:h1m29Suz0
おもしろいねぇ




93: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:24:54.876 ID:yDKhVcq50
確かめる?




94: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:28:29.945 ID:/XU7KouEa
>>93
彼は無限にある部屋なのに必ず誰かが泊まっているのがわかるって言うんだけど
ぼくはどうやって確かめたらいいのかわからないんだ




98: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:40:54.279 ID:mb2GKazm0
無限の部屋数のホテルの体積やばそう




99: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:41:28.538 ID:nZ5c3Rb80
>>98
むろん無限である




101: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:49:36.119 ID:SYgo2G/10
これって「満室の部屋が無限にあるホテル」って定義なら結論変わるの?




103: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 15:50:21.699 ID:h1m29Suz0
>>101
変わらないよ。バッチリその意味だよ




111: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/08/06(日) 16:34:36.942 ID:h1m29Suz0
「満室」という概念が概念として有効かどうか、は、数学的に言うと「ホテルXが満室である」という命題が全てのXに対してwell-definedであるかどうか、という意味になる。
well-definedというのは、矛盾が起こらず値が決定されること、というような意味なので、この場合は「満室であり満室でない」が言えちゃったり、計算が終わらず値が決まらない状況がなければおk。
で、実際にあるホテルX1が満室かどうかは、その命題がX1というモデルに対して真であるかどうかの話題なので、それはもうちょっとX1に対する具体的な情報がないと証明できないが、それ自体は満室のwell-defined性とは関係ない