表面積とは、立体の表面全体の面積のことを言います。

ちなみに、立体の側面だけの面積のことは、側面積と言います。


表面積と側面積



今回は、表面積のお話です。いろいろな立体図形の表面積の求め方を解説していきます。


初級編 直方体


まずは、基本中の基本。直方体の表面積を求めてみましょう。

直方体と言えば、面は6つ。その6つの面積の合計を求めればOK。


下の直方体の表面積を求めなさい。

直方体




直方体は、向かい合った面が全く同じという性質があります。なので、3種類の面積を求めて、×2をすればいいですね。


(6×3+5×3+6×5)×2=126    よって、表面積は126 cm²




中級編 円錐



円錐は、ちょっと難易度が上がります。

特に側面、つまり、おうぎ形の部分の面積を求めるのに少し苦戦するかもしれません。

下の円錐の表面積を求めなさい。

円錐



この円錐の展開図はこうなります。

円錐 展開図



おうぎ形の半径は7 cm。

弧の長さは、底面の円周と同じなので、3×2×π=6πになります。


おうぎ形の面積は、「真円に対してどれくらいの割合なのか」で求めます。

おうぎ形の弧の長さは、半径3 cmの円周の長さになっています。そして、おうぎ形の半径は7 cmです。

つまり、おうぎ形がもしきれいな真円だったら、円周は半径7 cmの円のものになりますが、今回のおうぎ形の弧は半径3 cmの円周の長さしかないのです。

ということは、おうぎ形の面積は、半径7 cmの円の面積の3/7(6π/14π)となります。

おうぎ形の面積の求め方

というわけで、円錐の表面積ですが、側面のおうぎ形と底面の円の面積を合わせたものになりますので、式は↓のようになります。

7×7×π×(3/7)+3×3×π=30π  よって、表面積は30π cm²





上級編 円錐台



円錐の表面積の求め方が分かっていれば、工夫することで解けます。

しかし、やや面倒くさい。

下の円錐台の表面積を求めなさい。

円錐台




底面の半径6 cmの円、半径4 cmの円の面積は、それぞれ6×6×π=36π、4×4×π=16π。

問題なのは、側面ですよね。



円錐台は、大きな円錐から上部の小さな円錐を抜き取った形をしています。

側面も、おうぎ形から上部の小さなおうぎ形を引けば求められます。

ただ、大きな円錐台と小さな円錐台の母線(側面のななめになっている部分の長さ)がどうなっているのか求める必要があります。今回の円錐台を横から見ると、下のようになります。

円錐台を横から見た図


円錐台の下底の半径が6 cm上底の半径が4 cmなので、この流れでいくと、上の図のようになり、大きな円錐の母線は5 cm×3=15 cmということになります。

母線が15 cmの円錐の側面、つまり、おうぎ形の面積は、15×15×π×(6/15)=90π cm²

上部の母線が10 cmの円錐の側面、つまり、おうぎ形の面積は、10×10×π×(4/10)=40π cm²

よって、円錐台の側面の面積は、90π-40π=50π cm²



というわけで、円錐台の表面積の面積は、36π+16π+50π=102π cm²







今回は、3種類の立体の表面積の求め方を解説しました。

応用問題の難しいものでは、もっと複雑な図形が登場するかもしれませんが、

それらも基本的な図形の組み合わせることで解けるはずです。


例えば、今回紹介した円錐台も、円錐を基本とする解き方で求めることができました。

なので、複雑な図形でも、自分のよく知っている基本的な図形をうまく組み合わせたり、抜き取ったりして解けないかどうか考えてみてください。



それでは、お疲れさまでした。