しばらくぶりですね

待たせたな!!  (  誰も(以下略 )

一応下書きみたいな感じでちょこちょこと書いてたんですけど、

公開設定にせずに長引いてたのですが、まぁきりがないので載せます

日々の研究を書くようなブログに戻りたい!笑


えっと、

12月くらいからの修論書きから、なんだかんだであまり研究できていなかったのですが、

5月いっぱいで申請書書きが終了して、

6月からは滞在型研究会とともに落ち着いて研究することができるようになりました

やっぱり研究は楽しいです



まだ雑誌に投稿はしていないのですが、修士の間にやっていた研究がarxivに上がっています

ブログでもちょくちょく言及していましたが、

Coupled Wire Constructionと、それを使った「何か」について研究をしています

専門用語として日本語に対応物がないので、

いちいちCoupled Wire Constructionと書かなくてはいけないのが面倒くさいのですが笑、

CWCと略しちゃいます

ちょっと自分の頭の中を整理するためにも、CWCとは何なのか?を書きます

まぁ僕も正直よくわかってないんですけど、だから書きます



最も素朴には、

1次元系を2次元面に並べて互いに相互作用させることで2次元系を作る

という考え方がCWCです

WireをCoupleさせてConstructするからCWC

普通、2次元系ってのは連続空間に粒子(0次元系)がうにょうにょしてたり、

格子があって、その上の格子点に自由度(0次元系)が存在していたり、

という具合で考えるわけですね

でもCWCでは0次元→2次元と考えるのではなくて、

0次元→1次元→2次元、と一度1次元系を介して考えましょう、ということです

例えば正方格子系なら、一方向のみ連続極限をとれば、CWCになります



多分これだけでは皆さん、「はぁ?そんなことして何が面白いんだ?」となると思うんですけど、

こんな単純な物の見方でも、実は嬉しいことがあります

それは双対性が使えるようになることです

双対性っちゅうのは、例えばですけど

1次元系にはボソン化と呼ばれる有名な双対性がありまして、

自由フェルミオンの理論が、自由ボソンの理論と等価であることを示すことができるんですね

つまり同じ物理量を計算して同じ結果を与えることのできる理論が2種類(以上)存在する

こういうものを(理論の)双対性と呼びます

超弦理論の分野で盛んに研究されているAdS/CFT対応というのも理論の双対性の一種です


CWCに話を戻すと、ボソン化という双対性を用いて、2次元の理論を理解しましょうということをやります

少なくとも僕はそう考えます

まずフェルミオン理論からはじめてみましょう

フェルミオンの言葉でワイヤの上の理論を定義して、

さらにワイヤ間の相互作用もフェルミオンの言葉で記述します

例えばワイヤ上に自由フェルミオンを定義して、ワイヤ間相互作用にホッピングでとすると、

(本当は少々ややこしいのですが)1粒子ホッピングならば、2次元の自由フェルミオン系が作れるはずです

まぁこれだけだと(ボソン化しようがしまいが)あまり面白く見えないですが、

1粒子じゃなくて多粒子にしたらどうでしょうか?

実は、うまい多粒子ホッピングを持ってくると、

驚くことに分数量子ホール状態という有名なトポロジカル相が出来上がることがわかります

なぜ多粒子ホッピングがトポロジカル相を作るかを理解するためには、

フェルミオン理論でいくら頑張っても難しく、

双対な理論であるボソン理論にマップする必要が有ります

ボソンの言葉では多粒子ホッピングはcos型のポテンシャルに対応することが知られているので、

基底状態はポテンシャルの底を取ればいいでしょう

この情報はボソン理論だからこそわかるものです

このようにしてボソン理論側で基底状態が定義されるわけですが、

じゃあさらに話を進めて、

ボソン理論の基底状態に双対な、フェルミオン理論の基底状態は何ですか?

という問いを立てることができます

これに答えたのが僕たちの論文で、(少なくとも部分的には答えていると思います)

たしかにフェルミオン理論の基底状態は分数量子ホール状態でした



まぁですから要はCWCというのは、

そのままでは解析の難しかったり、非自明で特異な2次元系を、

うまい相互作用の形と双対性を使って構成したり解析したりできるわけですね


まだ話は続くんですが(誰が求めているのだ・・・)今日はこの辺で

次は最近見つかった「2次元系の」双対性をCWCで理解する(したい)という話をします


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