最近考えてて、実際に計算を実行し上手くいった例があって、

それそのものも教科書にあるようなものを組み立て直した練習問題みたいなものなのですが、

よりファンダメンタルな練習問題(上の最低次元版)があって、

それについて考えていました


物理には双対性と呼ばれるものがあって、

見た目違う理論でも結局同じものだった、ということが稀にあります

実際にはある解析の難しい理論を解く必要が出た時に、

それに対する双対理論は存在しないだろうか?と考えて、

運よく見つかれば、そちら側の理論で解析を行ってみて、

なにか計算できればめでたし、というストーリーなわけです


既に知られている双対性って、物性系でも幾つかあって、

(この場合の物性系というのは格子系くらいの意味で、別に分野固有のものではありません。)

両理論で定義されている演算子間の関係もきちんと見つかっているものもあります

つまり分配関数レベルで考えなくても、演算子レベルで双対変換を考えることができるわけです

しかし困ったことに、二種類の双対変換ルールがあって、

そのどちらも演算子レベルでは正しい変換をしていて、

ある種の具体的なハミルトニアンに対しては、同じ双対理論を与えるものが存在します

双対理論を導くパスが二種類あるんですね

その2つは歴史的には異なる目的で見つけ出されたものなので、

方法論的には自分の好みの双対変換を選んで実行してやればいいのですが、

(扱いたい理論によって互いに向き不向きがあるんだと思う)

メタな視点に立って考えると、

これら2つの双対変換の間にも何らかの「対応関係」がなければなりません

それがタイトルに書いた"Duality" between Dualitiesです

なんかかっこよく見えるでしょ、こうやって書くと(爆笑


で、ですよ

練習問題のはずなのに、めっちゃ難しいんです

細かい話をすると、片方だけに非物理自由度であるゲージ自由度が入っているので、

適当な物理自由度の組み合わせで新しい物理自由度を定義するわけにいかない

つくづく、ゲージ理論ってのはヤバイ代物だと感じます

数年前に、結局ゲージ”対称性”のある理論でしょ?なんて甘く考えてた自分に喝ですわ


ということで、この話題はもう少し続きます

3月までにはケリつけたい


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