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1: フライングニールキック(dion軍)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:04:51.02 ID:+KRXEE0u0●.net BE:614796825-PLT(17667) ポイント特典

数学オリンピックではどんな問題が出題されるのでしょうか? 一つだけ例を挙げます。これは、日本ジュニア数学オリンピックという中学生向けの大会の予選問題です。

問.n+16と16n+1がともに平方数となるような正の整数nをすべて求めよ。
http://www.yomiuri.co.jp/kyoiku/ichiran/20160420-OYT8T50063.html


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4: 断崖式ニードロップ(空)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:07:56.69 ID:En/0doU+0.net

ちょっと待て
いま考えてる


6: 雪崩式ブレーンバスター(東日本)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:09:39.81 ID:QMTunaObO.net

わははは全っ然わからん


8: ムーンサルトプレス(庭)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:10:01.49 ID:oVGtdzr00.net

.。ozzz


9: キン肉バスター(やわらか銀行)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:10:05.97 ID:dLFYzgA90.net

わかるんだけど今書いたら後からスレ開いた人が可哀そうだから書かないでおく


12: 目潰し(芋)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:11:50.24 ID:y8fySFZi0.net

つーか平方数ってなんだっけ
16の平方根?とかいうのが4になるのか?なんか二乗するヤツだよな


16: 中年'sリフト(dion軍)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:13:23.22 ID:Ylyy+9Wn0.net

へいぽーすうとか習ってねぇよ


39: チキンウィングフェースロック(catv?)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:18:42.11 ID:8JGOUpu30.net

問題の意味が分からない


19: サッカーボールキック(広島県)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:14:25.99 ID:N4lwGT/n0.net

悲報、J民平方数を知らない

※何か整数の2乗となる数。9、16、25、36…


26: サッカーボールキック(広島県)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:15:30.28 ID:N4lwGT/n0.net

J民の学力って高校生にも見たないのか…


13: ナガタロックII(茸)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:12:20.16 ID:tkhIULB/0.net

>>1
こんなの無限にあるんじゃないの?


18: サソリ固め(catv?)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:14:17.53 ID:hutAct7E0.net

n+16で平方数は25,36,49,64,81・・となるからその時のnを16n+1に代入して平方数か確認すればいけそうだけど
有限だとどこかでわかるのかね


43: タイガースープレックス(禿)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:20:05.35 ID:RYhRCBV90.net

全て求めよってことはそれが有限だって証明しないといけないのか?


33: トペ スイシーダ(東京都)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:17:02.24 ID:VjI7aPyh0.net

気が付いたら、理数系が小学レベルになってたわ・・・。orz
国語や社会科目は、大卒レベルだけどな。
明日、図書館で「大人のやり直し算数」でも借りてくるか・・・。


36: パイルドライバー(京都府)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:17:56.86 ID:x++dm4DP0.net

>>1
お前は習ったばかりだからそりゃできるだろ
長年してなかったら憶えてるわけない


56: バズソーキック(茸)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:27:54.16 ID:KkpY7Tu30.net

俺文系だからさっぱりわからんちん
作者がどんな気持ちでこの問題を作ったのか、とかなら多分解ける


125: 16文キック(チベット自治区)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 23:06:37.43 ID:4g/IKqWC0.net

>>56
節子、これ文理関係ない出題範囲や


134: 河津落とし(庭)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 23:13:03.41 ID:McK30gsA0.net

あーしばらく数学やってないとダメだな
昔は得意だったのに


58: ハーフネルソンスープレックス(SB-iPhone)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:28:26.46 ID:G+DCIFWg0.net

a、bを整数として
n+16=a^2、16n+1=b^2
n=a^2-16、n=(b^2-1)/16
この2式が成り立つ(a,b)探せばいいのかな?


34: シャイニングウィザード(やわらか銀行)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:17:24.40 ID:OyaWeuVQ0.net

n+16=x^2
n=x^2-16

16n+1=y^2
n=(y^2-1)/16

x^2-16=(y^2-1)/16
16(x^2-16)=y^2-1
y^2=16(x^2-16)+1
y=16(x^2-16)+1

答え
y=16(x^2-16)+1


45: キングコングラリアット(茸)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:21:00.06 ID:WygVQCJw0.net

>>34
肝心なnが消えてるやんw


63: シューティングスタープレス(東京都)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:32:13.19 ID:B6tJUOcS0.net

>>34
nを求めろや


81: 32文ロケット砲(茸)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:42:53.42 ID:GI4/F3BP0.net

>>34
y^2=16(x^2-16)+1

からどこをどうやれば

y=16(x^2-16)+1

になるんだ?


116: バックドロップ(新疆ウイグル自治区)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 23:02:38.50 ID:qoO/dR6j0.net

>>34
ここまできてミスるか?
n>>0より
x>>4
y>>4...①
nについて解くと
16x^2-y^2=255
(4x-y)(4x+y)=255
255=3*15*17
(4x-y,4x+y)の組み合わせは
(255,1) (85,3) (51,5) (17,15)
ただし(17,15)は①を満たさないので除外
よって求める自然数nの個数は3


129: バックドロップ(新疆ウイグル自治区)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 23:08:50.82 ID:qoO/dR6j0.net

>>116
くせで+と-逆になってるわ


165: ドラゴンスープレックス(神奈川県)@\(^o^)/ 2016/05/01(日) 00:00:46.81 ID:g/cfM2LS0.net

>>1をなんとかノーヒントで解けた
a^2=n+16
b^2=16n+1
でnを消して因数分解
(4a+b)(4a-b)=255
であとは右辺の掛け算パターンを洗って
成立するケースを並べると3個しかないと分かる
芸のないやり方だが


170: メンマ(山梨県)@\(^o^)/ 2016/05/01(日) 00:26:47.29 ID:H7C2Lege0.net

あ~、なるほど。255を素数分解する発想はなかったわ。
仮に思いついたとしても1×255は見逃す自信あるw
中学高校と割と数学は得意な方だったがまだまだだったなぁ。


55: トラースキック(神奈川県)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:27:47.25 ID:yGpPEImY0.net

0と33と105と1008


74: 膝十字固め(福島県)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 22:37:46.99 ID:uGSUZzJo0.net

>>55
正の整数だと0は要らなくね?


121: パロスペシャル(愛知県)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 23:05:44.20 ID:DK5/RK7A0.net

n=33, 105, 1008
の3つかな


159: ミッドナイトエクスプレス(愛知県)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 23:44:31.09 ID:EQabzatm0.net

中学生風に解いてみた

n+16=a^2…①
16n+1=b^2…②
①②よりnを消去してまとめると
(4a+b)(4a-b)=3*5*17
4a+b>>4a-bに注目して考えられる(2a+b, 2a-b)の組み合わせは
(2a+b, 2a-b)=(17,3*5), (17*3, 5), (17*5, 3), (17*5*3, 1)
この4通りだけで有限である。
4a+b=X,,4a-b=Yとすると、
a=(X+Y)/8
b=(X-Y)/2
であることを利用し
(a,b)=(4,1), (7,23), (32, 127), (11, 41)
このときそれぞれ①②を満たすことが確認でき、それぞれn=0, 33, 1008, 105
nは正の整数なので、n=33, 1008, 105


144: パロスペシャル(愛知県)@\(^o^)/ 2016/04/30(土) 23:22:57.65 ID:DK5/RK7A0.net

たまにこういうのをやって
頭の錆を落とすのも悪くないな


元スレ: http://hayabusa3.2ch.sc/test/read.cgi/news/1462021491/