1 - 集合族Signalのバグ?

2010年01月24日

2 - 添字集合

集合族の続きです。位相空間論というよりは集合論っつー感じですが。とりあえず位相空間の定議はこうでした。
【定議】集合の部分集合のが以下の3条件
1. , Ф
2. i,…, j ⇒ i ∩…∩ j
3. { α | α } ∈  ⇒ ∪α∈Aα
を満たすとき、族は集合に位相を与え、この集合を位相空間(, )という。

二番目もそうですが、それより三番目の意味が全くわかりません。
3. {α | α} ∈ О ⇒ ∪α∈Aα О
と、ありますが、これはなんの暗号?

まず「α」ですが、ここで、添字集合を示し、 α はそのだそうです。添字集合って何? ここでもう一度彼女集合に御登場願います。迷惑ですか?そうですか。でもスルー。

彼女 = (みゆき、りか、ひろみ、くにこ、くみこ、まり、みき、ひろこ、りえ、まゆ、みほ、ゆか、さゆり、まゆみ)

今度は二つ以上の元がある部分集合だけではなく、全ての文字で始まる元で部分集合を作ってみます。

彼女 = (みゆき、みき、みほ)
彼女 = (りか、りえ)
彼女 = (ひろみ、ひろこ)
彼女 = (くにこ、くみこ)
彼女 = (まり、まゆ、まゆみ)
彼女 = (ゆか)
彼女 = (さゆり)

この添字に使っている名前の最初の文字だけでも集合ができます。つまり、それが添字集合となるわけです。

= (み、り、ひ、く、ま、ゆ、さ)

そして、{α | α}とは、「添字集合の元 α を添え字とする集合族α」という意味です。余談ですが、こんな感じで x が変数、 R が命題とした場合、
{ x | R }
で記述される項を冪項と言ったりします。

ということは、を添え字とする集合族α は以下になります。

α = 彼女α = (彼女彼女彼女彼女.....)

しかし、なぜこんな添字集合を使った集合族を定義しなければならないのでしょうか? 添え字集合を導入せずとも、 i を添え字として部分集合族i

{ i | i = 0, 1, 2, 3,.... }

とかで定義すりゃーいいような気もしますが… たぶん、その理由はこういう事だと思います。

たとえば、添字集合を、上のような有限集合ではなく、実数 R 上のある区間としてみましょう。つまり、添字集合を 0 より大きく 1 未満の実数とします。

= {α | 0 < α < 1, α R }

すると集合族 {α | α} はどういう集合になるでしょうか?デデキントの切断で触れたように実数は全ての区間で連続しています。したがって、添え字集合 の元 α はそれこそ無限に近い数だけありますので、その集合族αも無限に近い数となります。数学では「無限」というのは適当ではなく、この場合、「ある区間における実数の集合は稠密(ちゅうみつ)である」(※)と言うらしいのですが、素人にとっては無限と同じ。

つまり、添字集合を定義すると、が有限集合なのか無限集合なのかによって、集合族 α は、有限個、もしくは無限個の集合と定義されるのです。なるほど!

対して、【定議 2.】のijについては、添え字の i, j がどんな値であっても、この集合族は有限個の集合である事を言っています。

結局、【定議】の2. 3. を翻訳するとこうです。

2. に属する有限個の集合族(i ,...,j)において、その積集合(i ∩...∩j)は、再びに属する。

3. に属する有限または無限個の集合族({α | α})において、その和集合(∪α∈Aα)は、再びに属する。

ということですね。やっと定義の3条件が解読できましたが、意味は全く分かりません(笑)。なぜ【定議2】は有限個のみで【定議3】は無限個も含むのか?という疑問が残るです。はい。
(つづく)

(※)追記 - ここは間違ってました。実数は連続しているのであって稠密ではなかった。稠密とは連続してはいないが、埋め尽くされている状態の事で、たとえばある区間における有理数の集合とか、無理数の状態を指します。有理数と有理数の間には必ず無理数が含まれるので、連続してはいません。

koichiise at 10:33│Comments(0)TrackBack(0)このエントリーをはてなブックマークに追加 位相空間 | 数学

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