大学受験数学

January 19, 2011

2011年度センター試験の傾向から見る2012年度センター数学IIB

<数学IIB>

2011年どの問題構成は
第1問[1] 三角関数
   [2] 指数関数・対数関数
第2問 微分積分
第3問 数列
第4問 空間ベクトル
であり、2010年と第1問の[1]と[2]の分野が入れ替わっているだけで大きな変更はない。来年度も同じような傾向で来ると見て良いだろう。

第1問については、例年、三角関数、指数対数関数以外の数学IIの分野が紛れ込んでいた(例えば、「相加平均と相乗平均の関係」、「領域と最大最小」)が、今年はそれが一切無かった。第1問[2]の最後で手探りで数字を入れていく辺りが斬新ではあったと思うが、それ以外はただの計算が続いた。その意味で計算だけであった。対数法則、底の変換公式、三角関数の合成、倍角の公式などを適切に使っていければ点数が取れるので、今年度は計算力がものを言ったはずである。ただ、来年度以降は再び数学IIの他分野が紛れることも想定はするべきである。

第2問については、流れに従って計算をしていくだけでなにもひねりがなかった。その分、計算力がものをいうのは間違いない。ここの問題は来年度以降も「計算力」が勝負のカギになるのは間違いない。

第3問については、今回は珍しく「分点」の公式(数学II)が使えると便利な場所があった。昔は「等差数列」と「等比数列」をゴチャゴチャ計算する問題が多かったが、今回などのように階差数列を取ってその漸化式から元の数列の一般項を求めるとか、(等差)×(等比)型の和を取るなど、教科書の章末問題クラスが飛び込んでくるようになった。とはいえ、教科書を大幅に逸脱するわけではないので、典型的な問題をしっかり理解さえしていれば問題はない。

第4問は2007年からは空間ベクトルが定着化している。この傾向は来年度も続くように思われるので、空間ベクトルについての訓練はしっかりしていないと点数は伸びないと思われる。空間になると、内積などの計算も多くなるので計算力も問われる。また今年度は始点がOからAに変わったりとで混乱を生じやすかったが、問題全体を見渡せば極めて典型的な問題にはなっていた。


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January 18, 2011

2011年度センター試験の傾向から見る2012年度センター数学IA

<数学IA>

2011年の構成は例年通りで、
 第1問[1] 数と式(数学I)
    [2] 集合と論理(数学A)
 第2問 2次関数(数学I)
 第3問 三角比(数学I), 平面図形(数学A)
 第4問 確率(数学A)
となっている。この構成は来年度も同じようになると見て良いだろう。

第1問[1]は絶対値のついた一次不等式が登場したが、この程度の計算は落とせない。例年は二次方程式の解の公式なども登場するが、いずれにしても、有理化計算などがメイン。
第1問[2]は「論理」の分野をしっかり押さえれば今年度は楽だった。来年度はもう少し難しくなる可能性はあるので、この辺りの力はしっかりつけておく必要があろう。

第2問は2次関数の問題。上に凸な放物線を追うという辺りがちょっと新鮮だが、基本的にはグラフの頂点、軸、x軸との共有点、平行移動、最大最小と出題される問題は大きく変わることはない。ここは計算力で勝負。

第3問はちゃんと分析すればわかるが、前半が三角比、後半が平面図形。この前後半も例年は、見開きで左ページが前半、右ページが後半。つまり、左ページから右ページに移ったら、「正弦定理・余弦定理」から「方べきの定理」などを使う方向に頭を切り換える必要がある。この切り替えと、数学Aの平面図形の分野の克服がポイントとなる。

第4問については、今年は「場合の数」に相当する部分がなかったが、例年は左ページが場合の数、右ページが確率だった。今回は「反復試行の確率」が中心で、その考え方さえしっかり理解できていれば解ける問題。いずれにせよ、場合の数・確率は「解き方」というよりは「考え方」を以下に身につけるかが勝負のカギであることに間違いはない。


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September 27, 2010

センター試験に向けての対策・その2

「過去問の使い方」

過去問を解く際には、まず、60分でどのくらい解けるかをマークシートも使いながらやってみましょう。

60分たったら、その書いたマークシートを置いといて、60分以内で解けなかった問題を解いてみましょう。

60分をオーバーして全部解けたのであれば、いかにすれば時間を短くすることができるかを考えてみましょう。一方、60分をオーバーして考えても解けなかった問題があった場合には、その分野についての基本的な事柄が身についていないという証拠ですので、その分野についてを早急に復習するようにしましょう。

(2005年以前の過去問の利用法)

1997年〜2005年の過去問を使う場合、教育課程の違いがあるので以下のようにして、それぞれ60分100点満点で解いてみると良いでしょう。

  数学IA用→数学IAの第一問、第二問、第四問
  数学IIB用→数学IIBの第一問、第二問、第三問と数学IAの第三問

また、1996年以前の問題は、現在のとは出題形式や傾向、難易度が違うので、注意が必要です。ただ、その難易度に挑戦をしてみるというのも一つの勉強になるかとは思います。


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September 26, 2010

センター試験に向けての対策・その1

センター試験に向けて勉強して行くにあたっては,
  「計算力をつけること」
  「典型的な問題がすらすら出てくるようにすること」
の2点がポイントです。

・計算力をつけよう

現状ではあまり計算力がないと感じている人でも、計算力は日頃の訓練で必ずつきます。

まず一つには、「日頃から極力暗算をする」ということを心がけてみるといいでしょう。普段の勉強において、簡単な数値計算はもちろんのこと、展開や因数分解、微分積分や三角関数の加法定理などもできる限り暗算で何とかしてみようとしてみましょう。

こうすることで、紙に頼らない、アタマの中での計算ができるようになってきます。そのおかげで脳の活性化にも繋がります。

また「百マス計算」をやってみた人もいるようです。日々、計算時間が短くなるように訓練をしていくと良いようです。


・典型的な問題を「反射神経」で出てくるようにしよう

教科書に載っているくらいの問題であれば、パッと見た瞬間に「このようにすれば解ける」という状態にしておくといいでしょう。そのためには、「典型的な問題のinput」の一環として、それらの問題をしっかり理解するのはもちろんのこと、同じような問題の反復練習が必要になってきます。

4STEPなどの学校で教科書と一緒に配られる問題集などを通じて、たくさん訓練をしておくといいでしょう。


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September 25, 2010

2011年度大学入試センター試験・数学IIBに向けて・その2

・ここ数年の数学I\!\! IBの傾向と対策

数学IIBの出題は2010年度では下記のようになっています。

  第1問 いろいろな関数
   [1]指数関数・対数関数
   [2]三角関数
  第2問 微分積分
  第3問 数列
  第4問 ベクトル
  第5問 統計とコンピュータ
  第6問 数値計算とコンピュータ

第1問と第2問(数学II)は必答問題で、第3問から第6問(数学B)はこの中から2問を選ぶようになっています。基本的に選択問題は第3問と第4問を選ぶ人が多いことと思います。

なお、第1問の[1]と[2]については
  2010年度 [1]指数対数 [2]三角関数
  2009年度 [1]指数対数 [2]三角関数
  2008年度 [1]指数対数 [2]三角関数
  2007年度 [1]三角関数 [2]指数対数
という具合に、どちらが「指数対数」と「三角関数」のどちらが先に来るのかは年によって違います。

なお、2009年と2008年とでは平均点が0.2点しか違わないのですが、2009年の方が難しいと感じるかと思います。しかし、これは事実で、2008年に比べて2009年は「0点に近い点数の人も満点に近い点数の人も減った」ために平均点があまり変わらないのです。実際に100点を取った人の割合は3分の1程度になっています。

一方、2010年は平均点が50点後半となるくらいに解きやすくはなり、100点を取った人の割合も2008年、2009年に比べて格段に多くなりました。しかし、得点の分布はやはり正規分布に近くなっているので、わかっている人は高得点、普通の人は平均前後、という状況は変わりないように見えます。

いずれにしても、8割以上を安定して取るためには「典型的な問題の徹底的なinput」と「計算力をつけること」をかなりしっかりとする必要があります。さらに、9割以上を目指すのであれば、センター試験本番前の1週間くらいは、センターレベルの問題が大量に載っている問題集を繰り返しやって、さらに、繰り返すほど解く時間が短くなるようにしていく必要があります。
~
次に各問題についてみてみましょう。

・第1問 [1]指数関数・対数関数

真数条件などの最初の軽い問題は配点が1点だったりするので、この辺りで時間を取られずにテキパキと処理をするようにしましょう。基本的には計算ばかりなので、そんなに時間はかからないかと思われます。

・第1問 [2]三角関数

指数関数・対数関数と比べて、三角関数の方が例年、若干計算量が多いように感じられます。

三角関数の加法定理、倍角の公式などはもちろんのこと、「三角関数の合成」もよく使われるので、これが苦手だという人はその辺りの計算練習をたくさんすることで、克服するようにしましょう。

なお、「三角関数の合成」は三角関数の加法定理をつかって「三角関数をまとめていく」というのが目的であることを心にとめて勉強するといいでしょう。


・第2問 微分積分

関数を微分して接線を求めたり、曲線で囲まれた部分の面積を積分で求めたりと、とにかく計算の精度とスピードとが問われるところです。近年では「1/6公式」などの計算公式を使うと速く計算できる問題も増えているようです。

日頃からの計算訓練が大切です。


(第1問、第2問について補足)

数学IIをテーマとしてこの2題が作られています。したがって,「指数対数」「三角関数」「微分積分」以外の数学IIのテーマはこの2題の中に紛れ込んでいることがあります。

具体的には、2010年の第1問は[1]や[2]に2次や3次の方程式を扱う話が出てきています。また、2009年の第1問[1]の最後は「図形と方程式」の「領域と最大最小」の話を使うことで処理ができますし、2008年の第1問[1]の最後は「相加平均と相乗平均の関係」を用いて最小値を求める話がありました。さらに2007年の第1問の[2]の最後は「領域を求める」というのもありました。

どこからどの話が飛び込んでくるかわからないので、気をつけましょう。


・第3問 数列

昔は「等差数列と等比数列」から1つずつというのが基本だったのですが、2006年からそういうわけでもないようになりました。「a_{n+1}=pa_n+q」の形の漸化式が出てきたこともあります。

数学Bの教科書にある数列の分野の問題は一通り確認をしておきましょう。


・第4問 ベクトル

平面ベクトルになるか空間ベクトルになるかは、年によって違います。いずれが出ても大丈夫なように対策をしておきましょう。

また、「図形問題」ですので、相似比や平行線でどうで、といった中学校でも学習したような図形の性質を利用すると処理が早く済むこともあります。


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September 24, 2010

2011年度大学入試センター試験・数学IIBに向けて・その1

・2010年度の数学IIBについて

2009年の数学IIBに比べて計算量も少なく、解きやすい問題が多かったのではないだろうか。受験では典型的である問題が多く、それゆえに、普段からの勉強で「典型的な問題のinput」をしっかりとしてきたかどうかが勝負の分かれ目になりそうである。


<第1問>(配点30点)
[1](12点)-指数対数、2次方程式の解と係数の関係

特筆すべきことがないくらい易しい問題である。128=2^7がすっと出てくれば、あとは流れに任せて計算をするだけ。

[2](18点)-三角関数、3次方程式の解法

sinの値が等しくなるような角を求める話を誘導にしたがって進めていけばよく、後半は、そこで出てくるπ/10のsinの値を3次方程式を解くことで求めていく問題。これも公式がアタマに入っていればさほど時間が掛からずに解けたであろう。


<第2問>(配点30点)-微分積分

三次関数のグラフにその曲線外の点から接線を引くときに何本引けるかを、3次方程式の実数解の個数から求める典型的な問題で、3次方程式の実数解の個数をグラフで考えるのも定番。後半は元の3次関数のグラフを平行移動したグラフなどで囲まれる部分の面積で、グラフの共有点を求め、上下関係を考えて積分をするだけである。

難易度は高くなく、最後の積分計算もさほど手間が多くない。


<第3問>(配点20点)-数列

前半は群数列の問題。群数列の問題では「第n群の末項が全体の何項目か」を考えていくことが定番であるが、この問題ではその考えにしたがって話を進めている。前半最後で、n(3n-1)が約1200になるようなnをn(n-\frac{1}{3})が約400になればいいということからn=20前後で当たりをつけられたかがポイント。後半は階差型の数列の和の典型的な計算問題。


<第4問>(配点20点)-空間ベクトル

平行六面体の問題。去年のように「図形的に計算をすると楽」なものではなく、ベクトルの内積などを使ってどんどん計算を進めていけば、答えが出てくる. 途中、直線と平面の直交条件があるが、これも誘導されているので迷うことはないだろう。その後、3次の一次独立なベクトルについて係数比較をしてcを求め、cさえ求まれば|↑(EK)|はc|↑(EC)|なので、|↑(EC)|を求めればそれで済む。

計算もさほど複雑ではないので、かなり楽に計算ができたのではないだろうか。


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September 23, 2010

2011年度大学入試センター試験・数学IAに向けて・その2

・ここ数年の数学IAの傾向と対策

まず数学IAの出題は、以下のようになっています。
  第1問 [1]方程式と不等式(数学I) [2]集合と論理(数学A)
  第2問 2次関数(数学I)
  第3問 前半・三角比と図形(数学I)、後半・平面図形(数学A)
  第4問 場合の数・確率

2010年度での配点は,
  第1問[1]8点 [2]12点、第2問・25点、第3問・30点、第4問・25点
となっています.

2010年度の平均点は48.96点で、2009年度は63.96点のものと比べて15点も低くなりました。これはここ数年では最も低い平均点で、数学IIBの平均点よりも低くなりました。しかしこれは「数学IAが2010年度になって難しくなった」と考えるより、「これまでの数学IAが簡単すぎた」といえるでしょう。

実際に、2010年度と2009年度以前での得点分布を比較してみると、2009年度以前は80点以上を取った人が多かったのですが、2010年度は50点を頂点とした正規分布に近い形になっています。つまり、試験としては2010年度の方が受験生の学力を測るものとしては適切なものであると考えることが出来るわけです。

という辺りは、センター試験の問題作成部会も分析していることと思いますので、2010年度くらいのレベルがこれから先は維持されていくのではないかと思われます。

したがって、過去問を見る際には2009年度以前のものは60分よりもかなり短い時間で解くことを目標としていくと良いかと思われます。


次に各問題についてみてみましょう。
・第1問 [1]方程式と不等式(数学I)

いわゆる「数と式」の分野の問題で、無理数の計算や二次方程式の解、絶対値の付いた方程式・不等式などが中心です。ただ、07年の追試験ではここで「二項定理」が出ています。

ここは計算だけなので、最初のうちに短時間に終わらせるのが良いでしょう。

・第1問 [2]集合と論理(数学A)

「必要条件」「十分条件」の話と、集合の記号の扱い方がしっかりできているかがポイントとなる問題です。この辺りの分野は苦手な人が多いので、当日まで苦手なのであれば後回しにしてしまうのも一つの手だと思います。

しかし、論理と集合は数学の基礎をなす話なので、できればしっかりと身につけてたほうがいいでしょう。


・第2問 2次関数(数学I)

2次関数のグラフを中心とした話題で、動く2次関数の頂点の座標や最大・最小といった辺りが問われています。

この問題は25点の配点ですが、その割には解きやすいので、ここを短時間で攻略するのが一つの大きなポイントです。

  「第2問に入ったら、すぐにその関数を平方完成する」

というつもりで解いていくと良いでしょう。


・第3問 前半・三角比と図形(数学I)、後半・平面図形(数学A)

2006年は直方体を元にした問題でしたが、2007年以降、平面図形を元にした問題になっています。また、ここ数年の傾向としては、左ページ(前半)が「三角比(正弦定理・余弦定理など)」の話題で、右ページ(後半)が「平面図形(方べきの定理、接弦定理など)」の話題になっています。そういうことで、三角比の話題から変わったときにアタマの切り替えを速やかにする必要があります。

しかし、なかなかその切り替えができないときもあるので、一端詰まったら、一度、他の問題に進んだ方がよいでしょう。


・第4問 場合の数・確率

ここ2年くらいは前半が場合の数、後半が確率というようになっています。基本的にはその両方から問われるものだと思って良いでしょう。

「場合の数」については「正しく数え上げること」、「確率」については「確率とはそもそもなんなのか」ということを中心にしっかり勉強していれば、確実にとれる分野ですので、苦手意識がある場合には、腰を据えて勉強することで、しっかりと身につけるようにしましょう。


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September 22, 2010

2011年度大学入試センター試験・数学IAに向けて・その1

今日から6回に分けてセンター対策です。

・2010年度の数学IAについて

2009年度に比べ15点前後平均点が下がったが、一方で得点分布を見てみると、例年は「高得点寄り」になっていたのが、2010年度はきれいな正規分布となっていた。つまりは、「難しくなった」というわけではなく「普通の難易度の試験になった」と考えていいだろう。つまりは2009年度までが比較的簡単であったということになる。

したがって、「センター試験の数学IAだから」と安易な姿勢で臨んだ場合には失点が多かったかもしれない。また、第1問[2]の集合と論理や第3問の後半の辺りで多少手間取った受験生は多かったかと思われる。
~
<第1問>(配点20点)
[1](8点)-数と式、方程式と不等式

有理化の問題と2次方程式をたすき掛けの因数分解で解く問題が最初で、そのあとで、登場してきた値の大小を比較する。後半ではα<1<(1/α)に気づいた上でαと1/6の大小を手早く比較できたかどうかがポイントとなる。

[2](12点)-集合と論理

自然数を全体集合とする各集合の包含関係と、それにともなう「必要条件・十分条件」の問題。いずれの問題も、「自然数をある数で割った余り(剰余類)」に対する問題が中心であり、この辺りの話に慣れていれば時間はかからないが、慣れていない場合には最後の「ベン図」を選ぶ問題も含め難儀したものと思われる。


<第2問>(25点)-二次関数

2つの2次関数のグラフについての問題。片方の頂点がもう一方の放物線上に乗っているときの条件を前提として計算を進めていく。

グラフを一つずつ考えていけば大丈夫であるので、ここで手早く解き、時間に余裕を持たせたいところである。


<第3問>(30点)-三角比、平面図形

見開きの左側(前半)が三角比、右側(後半)が平面図形の問題。前半は余弦定理、正弦定理を手早く使えるかどうか。特に(1)の最後、sin∠QPRについて正弦定理が適応できることを発見できたかどうかがポイントである。後半は頭を切り換えて「方べきの定理」を適応し、その後、tanの計算や(3)での「直径に対する円周角」などの話を手早く処理できたかどうかがポイントとなる。

図形問題に慣れていないのか、この辺りで大きく時間を取ってしまったり、失点をしてしまったよう受験生が多かったようである。


<第4問>(25点)-場合の数、確率

数字の書いてある球を取り出す際の場合の数と確率の問題。(1)では「数字を選んだ後で色を選んでいく」という典型的な数え方の手法を用いるが、それが身についていない場合には計算するのに時間が掛かったかもしれない。(1)の値さえ出てしまえば、(2)の確率はおまけに近い形で簡単に解ける。


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September 18, 2010

成績別・数学の勉強のこれから

受験勉強の目的としては「大学に受かること」であるのは間違いはありませんが、一方で、現状の成績に応じて「勉強方法」を変えていく必要があります。

例えば、東大を目指してはいるが数学についてはセンター試験での点数が5割前後だというのであれば、東大で実際に出たような問題を中心に勉強をしてもあまり得るものがなかったりします。

ここでは、センター試験に準拠したマーク模試の点数に応じて、どのような勉強をするべきかを考えていきます。

・5割未満

まずは「教科書」をもう一度読みなおしましょう。

教科書に書いてあることは最低限、知っておくべきことなのですが、それをないがしろにする傾向があるようです。

いろいろ難しい問題をするよりは、まずは、教科書にある「例題」などを解きなおしたりして、「基本事項の確認」をもう一度しっかりとするようにしましょう。

・5割以上7割未満

このあたりであると、センター試験の問題は「解答を読めばわかる」が「時間が足りない」という感じになっていることと思います。

だからこそ重要なのは「問題を見てすぐに解法が出てくるかどうか」です。そのためには「典型的な問題のinput」をより強化していく必要があります。

典型的な問題を見て、すぐに「これはこのように解けばうまくいく」とわかるかどうか。そのあたりの訓練をしていく必要があります。

教科書で言えば章末問題のあたりで、パッと問題を見て、さっと解けるかどうかを試してみましょう。

さらには、一度解いたことのあるマーク式の数学の問題を何度か解いて、解くごとにそれにかかる時間が短くなるようにしていくのもいい訓練となるかと思います。

・7割以上9割未満

センターレベルの「典型的な問題」であれば、問題を見て、どのようにすればいいのかがわかるようになっているのがこの辺りのレベルだと思いますが、それに加えて満点近くをねらっていくとなると、ここで必要なのは「計算力」と「より強固な典型的な問題のinput」です。

計算力は、計算練習を通じてつくもので、さらには普段から「なるべく暗算をする」ということを心がけるとついてくるようになります。それこそ、百マス計算的な「計算訓練」をするのも一つの方法だと思います。

また「より強固な典型的な問題のinput」ということに関しては、「問題を見て解法がわかる」というレベルではなく、「なぜそのように解くとよいのかを他人に説明できる」くらいのレベルにするということです。今まで「何気なく解けていた」という問題を「何でそれで正しい答えがでるのだろうか」というところまで考えてくれればと思います。


・9割以上

常時安定して9割を越えているのであれば、あとは「満点」を狙うだけです。満点を取るためには「ケアレスミス」をなくさないといけません。

ケアレスミスは誰にでもあることですが、その傾向というものがあります。カッコをはずす際にかけ算や符号でミスをしたり、移項や不等式の不等号をミスしたりなど。

したがって、「自分はどういうミスをしたのか」をリストアップをして、その「ミスしやすいところ」で慎重に計算しようと気を付ければよいわけです。

また、センター試験では9割以上とれるが、記述式の試験になるとなかなか点が延びないというのであれば、そこで必要になるのは「考えて解ききる訓練」です。

実際の入試では、問題文を見て、それと自分の知識だけで解答を作っていかないといけません。だからこそ常に、「とにかく解答を見ないで、自力で解答を作る」ということを「意地でも」完遂してほしいわけです。

たとえ間違っていてもよいので、とにかく自力で解答を作るということをたくさんしてほしいと思います。



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April 30, 2010

「数学の成績を上げ, 合格するために…」第13回

・私立・2次試験にむけて〜あなたの「答案」は採点してもらえますか?


センターなどの「マーク方式」や, 単に答えを書き込むだけの「穴埋め式」の問題以外の場合, 「答案を書く」という作業が必要となってきます. このような答案の場合に気をつけなければならないのは「読んでもらえる答案を書く」ことです.

これができるようにするためには「自己満足」の世界で答案を書くということをしないことです. 「このくらい書けばわかってくれるだろう」という気持ちではなく, 採点する側の気持ちになって答案を書くことが大切です. そういう意味では「ラブレターを書くつもりで」というのもあながち大げさな表現ではないようにも思えます.

この答案を書くことの訓練としては, 授業の予習の段階で「メモ書きのような解答」ではなく, 「試験で提出するような答案を作ってみる」ということがまずあります. 普段から書くという作業をしないと, 本番でいい答案を書くことはできません.

また, この書いた答案を他の人に答案を見てもらえるといいのですが, すべての答案についてそれを行うわけにはいかない, という事情もあります. 自分で答案の善し悪しをつけるには「翌日, 昨日の自分に疑いを持ちながらその答案を読んでみる」という手段があります. 自分の書いたものに対して完全に客観的になる, というのはなかなか難しいですが, ある程度はできると思います.



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