数学講座

August 21, 2010

2つの方程式の共通解

<問題>
2つの2次方程式
 x^2-x+a=0 …(1)
 x^2+ax-1=0 …(2)
が共通解をもつときのaと共通の実数解を求めよ。

###

「(1)と(2)が共通解をもつ」ということは、

 どちらの式のxに代入しても正しくなるようなそんな値がある

ということです。

この問題の際に使う手としては、

「共通解をもつとしたらどんなことが成り立っていないといけないか」

という必要条件から考えていくことです。

(1)も(2)も正しくなるようなxがあるとき、この(1)と(2)の両辺を引いた

 (-1-a)x+a+1=0

 ∴ (a+1)(x-1)=0


が成り立つ「必要」があります。さらにこれは、

 a=-1 または x=1

ということになるので、(1)と(2)が共通解をもつためには

 「a=-1」となるか「共通解が1」

である必要があるわけです。

そして、この必要があるということは、

 「それ以外の状況で(1)と(2)が共通解をもつことはない」

ということになります。


さて、a=-1のときは、(1)も(2)もともに

 x^2-x-1=0

となるので、(1)と(2)はちゃんと共通の解をもつことが判明しました。

また、「共通解が1」というときには、まずこれが(1)の解になっているわけですから、(1)のxに代入した

 1-1+a=0
 ∴ a=0

が正しくなっている必要が更にあるわけです。
そしてa=0のとき

 (1)は、x^2-x=0
 (2)は、x^2-1=0

となり、この2つの方程式はx=1の共通解をもつことがわかります。

ということで、調査終了。
結局、結論としては、

(1)と(2)は

 a=-1のときに共通解としてx^2-x-1=0の解であるx=(1±√5)/2

 a=0のときに共通解としてx=1

をもつということがわかったわけです。


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August 17, 2010

「AならばB」が真

「AならばB」が真であるとき、

 BはAであるための必要条件
 AはBであるための十分条件

といいます。

このことを用いた問題としては、

###
(問題)
次の( )に入る言葉を下の(ア)〜(エ)から選べ

 x=3はx^2-x-6=0であるための( )

(ア) 必要十分条件である
(イ) 必要条件だが十分条件ではない
(ウ) 十分条件だが必要条件ではない
(エ) 必要条件でも十分条件でもない
###

という「4択問題」があります。

この4択問題は「直感」ではなく、正確に解いてほしい問題です。
そして、それが出来るかどうかは

「AならばB」が真(=正しい)か、偽(=間違っている)かの判断

が出来るかどうかに掛かっています。

まず、「AならばB」が「正しい」という場合は、

 Aの中にいる人は、みんなBの中にいる

という状況です。そういう事で考えれば、

「(東京に住んでいる)ならば(関東に住んでいる)」

は「正しい」ということになります。

そしてこのとき、このことを「必要」とか「十分」といった言葉を使って表すと、

「東京都に住んでいるためには、関東に住んでいる必要がある」
「関東に住むためには、東京に住んでいれば十分である」

という言葉が出来ます。その結果、

「関東に住んでいることは、東京都に住むための必要条件」
「東京に住んでいることは、関東に住むための十分条件」

という具合に書き換えることができます。

ちなみに、

「関東に住むためには、別に東京に住んでいる必要はない」
「東京に住むためには、関東に住んでいれば十分というわけではない」

などという「必要条件ではない」「十分条件ではない」に相当する話もすることが出来ます。


このように「「AならばB」が正しい」というところから「必要」「十分」という日本語を割り当てることが出来ます。

この感覚を持っていけば、4択問題はどんどん解けるようになります。



なお、上にある(問題)の答えは、(ウ)です。


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August 07, 2010

円と直線の位置関係

問題

円:x^2+y^2=1と直線y=mx-2mが接するときのmを求めよ。



この問題では、多くの問題集では

「円が接するときには、(円の中心と直線の距離)=(円の半径)になる」

ということから、「点と直線の距離公式」を使って、

 |m×0-0-2m|/√(m^2+1)=1

を解き、mを求めています。

一方、この問題は、x^2+y^2=1とy=mx-2mからyを消去した

 x^2+(mx-2m)^2=1

の2次方程式が重解を持つときのmを求めるとしても求められます。


ではなぜ、前者が最初に出てくるのでしょう。


数学としてはどちらの解法も正しいのですが、やはり、「数学」に追加して「試験時間内で解く」という必要があることがポイントとなります。

最初の方法の方が、点と直線の距離公式に放り込んでしまえばよいので、時間的に短く解けるというメリットがあったりします。


いろいろな解がある中で、どうしてその解き方がよく使われるのか、そういったことを考えてみるのも一つの勉強だと思います。


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June 24, 2010

一次変換

小学校の正比例以来、

 「xから新しい値yを作る」という操作f

ということをたくさんしてきました。

この操作fのルールが

 y=ax+b

であるとき、fを「1次関数」と呼び、また、

 y=ax^2+bx+c

であるとき、fを「2次関数」と呼んできました。

このfのルールは学年があがる従い、複雑なルールのものを扱うようになりました。

 1次関数、2次関数、3次関数…。

さらにsin xやe^xといったものはxのべき上の無限級数展開ができることからすれば、いわゆる「無限次関数」なんてのも扱ってきたことになります。


と、いくところまでいったところで、ここらで「次数」ではなく「字数」を増やして、

 「(x, y)から(X, Y)を作る操作f」

というのを考えてみましょう。

しかし、そのfのルールでいきなり、

 X=x^2+y^2+2x, Y=xy^3

なんてものを考えたら大変なわけです。

そこで、「(x, y)から(X, Y)を作る操作f」の中でも

 X=ax+by
 Y=cx+dy

という、そのルールが楽なものをまずは扱っていこうということになるわけです。

そしてこのfのことを変換の中でも「一次変換」と呼ぶわけです。

一次変換の勉強というのは、(x, y)から新しい(X, Y)を作るという操作の中でも簡単なものから見ていこう、ということで始まったものなのだということです。


変換にはもちろん様々なものがありますが、一次変換はその一部なのです。

ちなみに、x軸に関する対称移動、y軸に関する対称移動、原点に関する対称移動、原点を中心とした回転移動などは

 X=ax+by
 Y=cx+dy

の形で書き表すことができるので「一次変換」の分類になりますが、平行移動はそうはいかないので一次変換ではありません。



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June 16, 2010

二次曲線

数学Cの分野の「いろいろな曲線」に登場するのがこの「2次曲線」です。

まず、x、yの2次の方程式(x^2、y^2、xyの入っている式)で表される図形が曲線になるとき、それは、

「楕円」「放物線」「双曲線」

のいずれかになります。

この3つの曲線にはそれぞれ特徴があり、

楕円は、2つの定点(焦点)からの距離の和が一定の点の集合
双曲線は、2つの定点(焦点)からの距離の差が一定の点の集合

放物線は、1つの定点(焦点)と1つの定直線(準線)からの距離が等しい点の集合


となっています。

でも、せっかく3つとも同じ「2次曲線」なのですから、「〜の距離の点の集合」的なものを統一させたいというのがあります。

そのとき、「二つの焦点から…」ではなく、放物線の「焦点と準線」にそろえていくのが「離心率」を使った考え方です。


焦点をF、準線をlとし、点Pからlへおろした垂線の足をHとしたとき、

 FP:PH=e:1 (eは定数)

である点Pの軌跡は、

 0<e<1のとき、楕円
 e=1のとき、放物線
 e>1のとき、双曲線

となります。そしてこのeのことを「離心率」と呼ぶわけです。


そして「楕円」「放物線」「双曲線」は英語でそれぞれ、

 ellipse、parabola、hyperbola

と言います。

 ellipseは「不足している」という意味合いの語源
 para-は「パラレル」とかのパラで「釣り合いとれている」感じのイメージ
 hyper-は、なんか「超えている」というイメージ

と考えれば、離心率との関係がわかってくるかと思います。


2次曲線の話は「覚える」ということが多いのですが、上記の離心率の例をはじめとして、「思い出しやすい方法」で覚えていくことがっじゅうようです。



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June 09, 2010

必要条件・十分条件

「P ならば Q」が真

であるとき、

 PはQであるための十分条件
 QはPであるための必要条件

といいます。
ここで丸暗記に走ろうとすると、「Qが必要、Pが十分」というふうになりますが、しかし、この上記の2文は、

 QであるためにはPであれば十分である
 PであるためにはQが必要である

というふうに語順を変えることも可能です。
このようにしてしまうと、「暗記」で解くわけにはいかなくなるはずです。

したがって、「必要」とか「十分」といった言葉の意味をある程度加味しながら理解をしていく必要があります。

まず、この「必要」とか「十分」という話をする上では、

 「『PならばQ』が 真」

というのがどういう状態かを考えるところから始まります。

この「PならばQ」が「真」、つまりは「成り立つ」「正しい」というのは大まかな言い方をすれば、

 「Pであるときには, 必ずQが成り立つ」

ということです。
PだとかQだとかが、何かしらの人の集まりであったとすると、

 「Pに所属している人たちは、みんなQに所属している」

という感じになります。

具体的には、

 「高知県に住んでいる ならば 四国に住んでいる」

という感じです。
高知県は四国の中の1つの県ですので、高知県に住んでいる人は全員、四国に住んでいることになりますので、これは「真」といえます。

一方、「偽」である例としては、

 「東海道新幹線沿線に住んでいる ならば 東京都に住んでいる」

というのがあります。
東海道新幹線はなにも東京都だけでなく、神奈川、静岡、愛知、岐阜、滋賀、京都、大阪という府県を走っています。
だから、東海道新幹線沿線に住んでいるからといって必ずしも東京都に住んでいるわけではないことになります。
したがって、「偽」となります。


さて、「『PならばQ』が 真」であるとき、先の言い方でいけば、

 Pに所属している人は、みんなQに所属している

わけですから、

 Pの中に入っているためには、少なくともQに入っていないといけない

つまり、

 Pの中に入っているためには、Qに入っている必要がある

となります。また、

 Qの中に入っているためには、Pの中に入っていればよい

つまり

 Qの中に入っているためには、Pの中に入っていれば十分

ということになります。

こういう具合に「必要」とか「十分」という言葉を用いて「『PならばQ』が 真」である状況を考えてあげることで、「必要条件」「十分条件」が理解できるかと思います。



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May 28, 2010

進化したグラフ

「y=f(x)のグラフ」を描くというのは、

いろいろなxの値に対してf(x)の値を求めて、それに対してxy平面の(x, f(x))ところに点を描いていく

という作業をして作っていくのが、本来の方法です。

しかし、2次関数のグラフや3次関数のグラフなどでその本来の方法ではなく、例えば、2次関数であれば「平方完成」をすることによって「頂点や軸」がわかってグラフが描けたり、3次関数などであれば微分して増減表を作るなどしてグラフを描いたりするわけです。

その意味では、「グラフを描く方法についての技術が進化している」という風に言えます。

そのおかげで、y=f(x)とx軸がいくつの共有点を持つか、それがどの辺りの範囲になるのかなどというのがグラフを描くことによってわかるようになります。


このことから、

・f(x)=0の実数の解がいくつあるのか

とか

・f(x)=0が1より大きい解を持つためにはどうなっていればよいか

などといったことをy=f(x)のグラフを用いて考えることができるわけです。


これらの問題は「解の配置」という大学受験なんかでは典型的な問題として扱われるものですが、上記のことを踏まえて考えるとよいかと思います。


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May 11, 2010

図形と方程式

数学IIにある「図形と方程式」というジャンルは、その言葉の通り、

 「図形」と「方程式」の関係

を扱っている分野なわけです。

そもそも「図形」といえば、

 直線、円、放物線、…

といったものに対し、方程式というのは「文字の入っている等式の中で、「その文字の値がどんなときでも成り立つわけではない」という等式」なので、具体的には、

 y=x、x^2+y^2=1、y=3x^2+2x

などといったものなわけです。
つまりは、本来は「別々の話」なわけです。

しかし、この「等式」が成り立つ(=正しくなる)ような(x, y)の値の組ということを考えることで「方程式」と「図形」との関係が出てくるようになります。

具体的には、

 y=x

という方程式ですが、これを満たす(x, y)の組は、例えば、

 (0, 0), (1, 1), (-4, -4), …

などといったものです。
そしてこれらの値の組を座標に持つような点を考えたとき、その全体が描く図形を

 「y=xの表す図形」

というわけです。
この場合、その形状が"たまたま"直線になっているので、

 「y=xは直線を表す方程式」

と呼ばれているわけです。


図形と方程式の問題の中で、このあたりの理解が薄かったとしても解ける問題はそこそこあるのですが、考え方が理解しにくい問題の場合は、今なような話を考えないと理解できないことがあります。

このあたりの分野がいまいちうまくいかない人は、このあたりを考えてみるとよいでしょう。



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May 02, 2010

「場合の数」のポイント・その2

まず、順列ですが、例えば、

 「n個の異なるものから3個取って(左から順に)一列に並べる」

というとき、

(1) n個の中から一番左に置く1個を決める
→選び方はn通り。

(2) (1)でおいた場所の右に置くものを選びぶ
→選び方は(1)のどのn通りについても、(1)出選んだものをのぞくn-1通りになる。

(3) さらに(2)の右に置くものを選ぶ
→選び方は(1)(2)の選び方のn(n-1)通りのどれに対しても、(1)(2)で選んだものをのぞくn-2通りになる。

ということから、その並べ方は

 n(n-1)(n-2)通り

となります。
これと同様に考えていけば、

 「異なるn個からk個選んで一列に並べる順列nPk」

は、

 nPk=n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))

となるわけです。

このように元は「かけ算」が正しく使えるかどうかを考えて順列の式は作られているわけです。


さらに「組合せ」についてです。

「異なるn個からk個を選ぶ組合せ」をnCkで表します。

a, b, c, d, e, fの6つから3つを選ぶとき、その選び方は6C3通りとなるわけですが、この6C3通りのうちに、

 {b, c, d}

と選ぶのは1通りだけ含まれています。

一方、同じa, b, c, d, e, fの6つから3つ選んで並べるときの総数である6P3通りのなかにはこの{b, c, d}を含むものが、

 (b, c, d), (b, d, c), (c, b, d),
 (c, d, b), (d, b, c), (d, c, b)

の(3!=)6通りあるわけです。

同様に考えていくと、6C3通りのどの組合せに対しても6P3通りの順列では3!通りずつかかれていることになるので、

 6C3×3!=6P3

が成り立つのでその結果として、

 6C3=(6P3)/3!

と求まるわけです。

これと同様にしていくと、

 nCk=(nPk)/k!

となります。

ここでポイントなのは、

 「ものをかぞえるときにわり算をする」

というのがどういうときなのかということです。

この組み合わせの計算は最終的には「わり算」をしているのですが、元々、わり算というのはかけ算を元にしてできているわけですから、やはり上記の組み合わせを求める時と同じように、最初に

 「かけ算の式」

を作った上でわり算の式になっていくことを考える必要があります。



場合の数でとにかく大切なことは「それを数えるためにはこの公式を使わないといけない」とかそういうことではなく、

 「どのようにすれば正確に数え上げられるか」

です。そのために「かけ算」の力を借り、さらにはその「かけ算」から出てくる様々な公式を使っていくわけです。

これらのことを念頭に置いて計算をしてもらうことが大切です。


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May 01, 2010

「場合の数」のポイント・その1

高校数学では数学Aのジャンルである「場合の数」ですが、この場合の数の問題で問われていることは、

 「それが何通りあるか」

ということです。

それゆえに基本的には、

 「過不足なく数え上げる」

ことが大切になります。したがって、公式などはその数え上げるための一つの「道具」であって、その道具がないのであれば、一つ一つ数えていくべきなのです。

例えば、「黒球1個、赤球2個、青球4個で首飾りを作るとき何通りできるか」という問題があったとき、考え方としては、

 「まず、この7球を円形に並べ、それをひっくり返しても同じになるものを考え…」

というようにするのですが、結果、9通り程度なので、直接数え上げてしまった方が楽だったりします。
(もちろん、上記のような考え方で数え上げられるということを理解することも大切です。)


さて、この「数え上げる」ということを手助けするもっとも重要な道具はnPkでもnCkでもなく、

 「かけ算」

です。

たくさんのものを一気に数えるとき、「1個、2個、…」としていると数え上げるのに時間がかかることがあります。その際に手っとり早くものを数えるために使われるのはかけ算ですよね。

例えば、教室の中に机が5つ並んでいて、それが10列あった場合、この教室にある机の個数は一個ずつの机を数えずに、5×10で50個とするはずです。

この「正しくかけ算をつかって数え上げをしていきましょう」というのが「積の法則」です。

元々かけ算は、

 「3個のみかんの入った籠が4個ある」

というときのみかんの個数を

 3+3+3+3

とせずに、

 3×4

と表していくというところから始まったと思います。
実際に、数え上げる際にかけ算を使うとき、このようなの考え方の元で数えていけばいいわけです。

さらにいえば、このように「正しくかけ算をする」ということで、場合の数に登場するすべての公式を求めることができます。



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