大学入試数学一本道 byコウ

数学の道に進む大学1回生によるシンプルかつ手を抜かない高校数学講座。 基本的には真面目に過去問や自作問題の解説をしていますが、 時折自らの変態的な性格が現れて世界が崩壊するかもしれません。 どうか温かい目でよろしくお願いします。

本ブログの骨 (※常に先頭にこの記事が表示されます)

はじめまして。
管理人でありやすコウと申します。

ざっくりと申し上げますと当ブログは
・高校数学の本質に迫る
大学入試を念頭において紹介
・確実な力をつける

形式としては
・大学入試の過去問とその解法(出来るだけ多く)+重要事項+類題紹介
・自作問題と関連する過去問
・コラム

というわけで、
・高校数学を極めたい人⇒じっくりと学んでほしい
・数学が苦手だから見てみた人⇒必要なところだけ取り出してほしい
・冷やかしに来た人⇒存分に冷やかしてほしい

こんな風に皆さんのニーズに出来るだけ応えられるようにしたいと思います。
(出来る限り文系向けの問題も紹介します)

下にカテゴリを紹介しますが、
「ベクトル」とかいわゆるカリキュラムのような分類はしません。

実際、入試問題にそのようなカテゴライズはされないので、
問題を見て分かる程度(たとえば「最大値を求めよ」⇒最大値・最小値)という感じです。

それでも、複合問題は沢山あるので見つけにくいかもしれませんが予めご了承ください。

ちなみに小生は大学理学部の学部1回生です。
(3回生から専攻がわかれ、数学専攻に進むつもりです)
時折、こんな風にどうでもいい話が混ざるかもしれません。


最大値・最小値
…見たまんま定番の「最大値・最小値を求めよ」という問題です。
大概、微分で解決できますね

整数問題
…整数解から不等式まで整数が主役の問題です。

不等式
…不等式の証明問題が主です。
これも大概、微分で解決できますね。

微分積分
…ここで扱うのは微分や積分が問題で表れているものなのでそれほど多くないはずです。

平面図形
…割と広い範囲ですがベクトルや座標など解法が複数あるモノが多くなります。

数列
…多くの問題は極限や確率などと組み合わせた問題です。

極限
…何かと最後の問いに問われることが多いものです。
そのため多くの問題がここにカテゴライズされます。

行列
…行列の問題です。n乗の結果が問われやすいです。

空間図形
…平面が空間に変わっただけで大した違いはないと個人的に思いますが
苦手意識を持っている人が多いようです。
断面の積分で求める体積もここに含めます。

確率
…確率漸化式や一般的な(n個やn回)問題を重点的に扱います。

総合的問題
…マイナーな問題です。かなり特殊な問題になります。

方程式
…多くは微分で解決するものです

小話
…受験数学からホンモノの数学までのんびり話します

私生活
…小生の大学生活をテキトーに紹介する…かもしれません

事務
…この記事みたいなものです


※注意※

・管理人は現実世界ではかなりテキトーな人間なので誤植などが多くある場合があります。
あまりにも問題があればご指摘くだされば幸いです。

・質問・アイデア等は基本的になんでも受け付けます。コメントでご自由にどうぞ。

・出来る限り専門用語は使わないように心がけますが、思わず使ってしまいお見苦しいところがあるかもしれませんが予めご了承ください。

・ここで示す解答は「模範解答」ではなく、「説明の上で分かりやすい解答」にしてあります。厳密な解答の作り方は「教科書」に全て書いてありますからそちらを参照してください。


[勝手な持論]

①教科書さえマスターすれば数学は合格点に届くはず。

②習った定理は全部証明できなければダメ。

③(大問で)5000問解けば十分どこでも合格できる

④高校数学は計算力がリーサルウエポン。(特に微積とかで活躍)

⑤なんとなくの解答しかかけない問題が1000問あるより完璧な解答が書ける問題が10問しかない方がいい

⑥意味がよく分からない時は定義に戻れ

⑦問題がさっぱり解けない時はとりあえず解答を丸写しして理解したうえで、翌朝に何も見ずに解く!

⑧過去のことを思っちゃダメ。未来のことを思ってもダメ。(by松岡修造)



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整数問題の超基本必須事項

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例題3.

a+b+c=abc を満たす自然数 a,bを求めよ

今日はいつもとやり方をかえて、整数問題について一から考えたいと思います。

高校数学はご存じのように、1A2B3Cと6つもの分野に分けられているのに、「整数問題」として教科書の中で扱われることは少ないです。

しかし、入試では割と多くの場面で出てくるのが整数問題です。なぜか?

やはり、整数問題での思考は最大値・最小値の問題のような「技巧」というより「論理」が試されるからだと思います。(高校数学に離散数学の導入が検討されてるとかよく聞きますが…)

そこで今回はその「論理」を基本的なところだけおさえてもらいたいと思います。

整数問題が忘れられやすいのは、1つの単元にまとめられてないからでしょうか…。
ここではみっちり基礎から学びます。
整数問題は「知ってるか知ってないか」が全て。
たかだか数十個ほどのパターンしかありません。
すぐにとは言いませんが出来る限り覚えてください。

そしてその中に最も基本的な解き方があります。

まず、まとめて書きます。

①「必要条件で絞り込む」
②「対称性で落とし込む」
③「積の形で止めを刺す」
④「不等号をチェンジする」
⑤「素数は性質を活用」





この中でも①②③は絶対に覚えないといけません!

これがないと最後の最後に答えが出せなくなるからです。

ではいきましょう!

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常にf(x)≧0

今日はテキストで十分表現できるので、いつものように画像は使いません。2次不等式についての問題です。

今回はかなり標準的な問題ですが、ここでの慎重な論証が大切になります。

 

|x|≦2 ⇒ x^2-ax+a≧0 となる定数aの値の範囲を求めよ。

(original 2010)

 

言い換えれば、

|x|≦2のとき常にx^2-ax+a≧0 となるような定数aの値の範囲を定めよ。

 

では、いつも通り続きに解説解答を。

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時には過去のお話を

一応、このブログは個々の問題に対して解答・解説を出来るだけ細かく行うという体裁をとってスタートしたわけですが、

そもそも数学の勉強法が分からない」という思いで、このブログを覗いてくださる方もいるのではないでしょうか?

私は「勉強法」とか言って押し付けるのが昔から嫌いで、今も「自分で勉強法を確立することが勉強の始まり」と思っています。

そのため、あえて勉強法の紹介はしてはいなくて、学校・塾・予備校などで公言される多種多様な勉強法にも中立的立場をとっております。 (ようするに、「本人が決めてやってるんやったら別にええんちゃう?」という考え方ですね)

ですが、自分のやり方に関して一つの選択肢として、「自分の場合の勉強法」として紹介するなら、もしかしたらですが役に立つかもしれません。

しかし、私は大学入試の“専門家”ではありませんので、以下のことはほんと参考程度に&面白半分で読んでもらえるといいです。一応、ストーリ仕立てにしてます。(こうしないと管理人自身が書くのを飽きてしまうからです)

 

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4次方程式の係数決定・整数解(京都大学 文理共通 2002 前期)

どうも、お久しぶりです。

えらい更新に間があいてしまって本当に申し訳ありません。

管理人自身の数学修行やら体力向上計画の中でこちらに手が回りませんでした…。

しかし、定期的に見てくださっている人はいるんでしょーか…?

意外にもアクセス数はちょこちょこあるみたいなんでそうなんかもしれませんね…♪ほんとありがたい限りですm(_ _)m

さて、このブログを立ち上げて1ヶ月経ちましたが、“ようやく”過去問に手をつけます。過去問を今まで避けてたのはどうしても解答部分が長ったらしくなるからですが、そろそろころ合いだと思いましたんでいきましょー!

今回は京大の02年前期の文理共通問題です。

京大の問題はシンプルな問題の中に重要な要素が散りばめられていて発想が難しいものが多いです。東大の問題は解き方をすぐ思いつけても落とし穴があったり計算力・工夫が求められるものが多いです。

今度、東大の問題に手を出すことにして今回は京大で。

 

では、問題です。

 1q


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