August 13, 2006

問題 032 【06/08/13〜06/08/19】

4ea3a39f.jpg図の正四面体ABCDにおいて、三角形ABCの重心をGとし、辺CDの中点をMとします。
辺AC上に点Pを、折れ線MPGの長さが最も短くなるようにとるとき、4点M、P、G、Cを頂点とする立体の体積と正四面体ABCDの体積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。


重心って反則?(^^ゞ
重心・・・三角形において、1つの頂点とその対辺の中点を結んだ線分(中線)は一点で交わり、
     その交点を重心といいます。




正解者一覧
お名前
メール到着日時
北のに〜と さん
2006年08月13日 01:22
Sirius さん
2006年08月13日 02:41
uchinyan さん
2006年08月13日 12:35
カエ さん
2006年08月13日 14:11
なにわ さん
2006年08月13日 15:30
ma-mu-ta さん
2006年08月14日 01:34
川村高雅 さん
2006年08月14日 16:58
スモークマン さん
2006年08月14日 23:41
2006年08月17日 16:53
t.yamazaki さん
2006年08月18日 23:47



唐突ですが、山登りをします。

解答 032_000 左の図の赤い点と青い点に注目しましょう。
斜面を登ったAP、ARの長さを上下方向と水平方向に分けて考えると、
相似な三角形に注目すれば、実際に進んだAP、ARの長さの比はPQ、RSの比(上下方向)、AQ、ASの比(水平方向)と等しくなっています。

例えば、PQ:RS:CB=AQ:AS:AB=AP:AR:AC って感じです。
このことを使って問題を考えてみます。

三角すいN-ACMを基準にして4点M、P、G、Cを頂点とする立体を考える!?

解答 032_001 4点M、P、G、Cを頂点とする立体を頂点がG、底面がPCMとし、
基準となる三角すいN-ACM を頂点がN、底面がACM と考えます。
頂点G、Nからそれぞれの底面に下ろした垂線の長さ(それぞれの立体の高さ)の比は、AG:AN の比と等しくなります。
(山登りの考え方を参照)
また、底面積の比は、三角形PCM:三角形ACM=PC:AC となります。

以上より、とりあえず必要な材料は、『AG:AN』と『PC:AC』です。

最短距離は展開図!
 点Pの位置を定めましょう。

上左図より、AQ:QC=3:1
上右図のように、Qを通りMGと平行な線がANと交わる点をQ'とします。
QはMNの中点なので、Q'はGNの中点。
Gは三角形ABCの重心なので、AG:GN=2:1
したがって、AG:GQ'=AP:PQ=4:1

AP:PQ=4:1、AQ:QC=3:1より、AP:PQ:QC=12:3:5
したがって、AP:PC=12:8=3:2

続きはもうしばらくお待ちください。。。m(__)m

答え.1:15

mathematics_cocoa at 00:00│空間図形