August 13, 2006
問題 032 【06/08/13〜06/08/19】
辺AC上に点Pを、折れ線MPGの長さが最も短くなるようにとるとき、4点M、P、G、Cを頂点とする立体の体積と正四面体ABCDの体積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
重心って反則?(^^ゞ
重心・・・三角形において、1つの頂点とその対辺の中点を結んだ線分(中線)は一点で交わり、
その交点を重心といいます。
正解者一覧
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お名前
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メール到着日時
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北のに〜と さん
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2006年08月13日 01:22
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Sirius さん
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2006年08月13日 02:41
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uchinyan さん
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2006年08月13日 12:35
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カエ さん
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2006年08月13日 14:11
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なにわ さん
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2006年08月13日 15:30
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ma-mu-ta さん
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2006年08月14日 01:34
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川村高雅 さん
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2006年08月14日 16:58
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スモークマン さん
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2006年08月14日 23:41
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ナキイルカ さん
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2006年08月17日 16:53
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t.yamazaki さん
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2006年08月18日 23:47
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唐突ですが、山登りをします。
左の図の赤い点と青い点に注目しましょう。
斜面を登ったAP、ARの長さを上下方向と水平方向に分けて考えると、
相似な三角形に注目すれば、実際に進んだAP、ARの長さの比はPQ、RSの比(上下方向)、AQ、ASの比(水平方向)と等しくなっています。
例えば、PQ:RS:CB=AQ:AS:AB=AP:AR:AC って感じです。
このことを使って問題を考えてみます。
三角すいN-ACMを基準にして4点M、P、G、Cを頂点とする立体を考える!?
4点M、P、G、Cを頂点とする立体を頂点がG、底面がPCMとし、
基準となる三角すいN-ACM を頂点がN、底面がACM と考えます。
頂点G、Nからそれぞれの底面に下ろした垂線の長さ(それぞれの立体の高さ)の比は、AG:AN の比と等しくなります。
(山登りの考え方を参照)
また、底面積の比は、三角形PCM:三角形ACM=PC:AC となります。
以上より、とりあえず必要な材料は、『AG:AN』と『PC:AC』です。
上左図より、AQ:QC=3:1
上右図のように、Qを通りMGと平行な線がANと交わる点をQ'とします。
QはMNの中点なので、Q'はGNの中点。
Gは三角形ABCの重心なので、AG:GN=2:1
したがって、AG:GQ'=AP:PQ=4:1
AP:PQ=4:1、AQ:QC=3:1より、AP:PQ:QC=12:3:5
したがって、AP:PC=12:8=3:2
続きはもうしばらくお待ちください。。。m(__)m
答え.1:15