第183回「競売」

問題

ある駅前の土地が競売によって売り出されることになりました。競売の方法は以下の通りです。

買い手は自分の買い値を紙に記入して、それを秘密にしたまま、入札箱に投入するものとします。
買い手が入札を終えた後、売り手は入札箱を開けて一番高い値をつけた買い手に、
その人がつけた買い値でこの土地を売ることにします。
一番高い買い値をつけた買い手が複数いる場合は、その中から公平なくじ引きで選ばれた１人に売ることになります。

Ａ氏は、この土地を用いた事業を行うことで５億円の利益が得られるとします。
つまり、競売に参加してＸ億円で土地を買うことができたとすると、Ａ氏の利益は５−Ｘ億円になります。
土地を買えなかった場合は、事業の利益も土地購入代も発生しないので、Ａ氏の利益は０円と考えます。

この競売に、Ａ氏の他にもう一人の買い手（Ｂ氏）が参加しているとします。
買い値は、１億円単位でつけなければいけないものとします。
Ｂ氏のつける買い値をＹ億円とし、Ｙは１から１０までの整数を等しい確率でとるものとします。

利益の期待値を最大にするためには、Ａ氏はいくらの買い値をつければ良いでしょうか。

※2010年東京大学（後期）総合科目II問題です。


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第182回「未来の東大生に挑戦」

問題

１辺の長さが１２cmの立方体の容器に１１cmの深さまで水が入っています。
この容器には、ふたがついていて回転しても水はこぼれないものとします。
点Gを通り、４点A、E、G、Cを含む平面に垂直な直線を「L」とし、Lを軸として容器を回転します。
点Eが水面上に来るとき、水面の面積を求めなさい。
ただし、回転する方向は、図の通りとします。

※筑波大学付属駒場高校入試問題です。




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第１８１回「トリコロール」

問題

赤色の島、青色の島、黄色の島がそれぞれちょうど3つずつあります。
これらの島に次の２条件を満たすようにいくつかの橋を架けます。
橋の掛け方は何通りあるでしょうか。
ただし、１本も橋をかけない場合も１通りと数えるとします。

条件（１）：どの２つの島も、１本の橋で結ばれているか、結ばれていないかのいずれかであって、橋の両端は相異なる2つの島に繋がっていること。

条件（２）：同色の２つの島を選ぶと、その２つの島は橋で直接結ばれておらず、その２つの島の両方と直接結ばれている島も存在しないこと。


※２０１０年 日本数学オリンピック予選問題です。



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