2014年1月のJava 7 Update 51以降、Javaアプリケーションは「不明な発行者によってデジタル署名されている」・「期限が切れた証明書で署名されている」・「信頼できる認証局によって発行されていない証明書がWebページに含まれている」等の条件で、Javaの通常セキュリティ・チェックでブロックされるようになりました。

現在セキュりティ・チェックに引っ掛かってしまうゲームが遊びたい場合は、Javaコントロール・パネル内のセキュリティ・レベル設定を手動で行う必要があります。

Chromeでは、2015年9月からJava、UnityなどNPAPIを使用しているプラグインは動作しません。
公式な説明はコチラを参照して下さい。

Javaコントロール・パネルへのアクセスは

Windows 8
 ・検索機能を使用してコントロール・パネルにアクセスします
 ・Windowsロゴ・キー + [W]を押して検索チャームを開き、設定を検索します。または
  マウス・ポインタを画面の右下隅にドラッグして、「検索」アイコンをクリックします。
 ・検索ボックスに「Javaコントロール・パネル」と入力します
 ・Javaアイコンをクリックして、Javaコントロール・パネルを開きます。

Windows 7、Vista
 ・「スタート」ボタンをクリックし、「コントロール パネル」オプションをクリックします。
 ・「コントロール パネルの検索」に「Java Control Panel」と入力します。
 ・Javaアイコンをクリックして、Javaコントロール・パネルを開きます。

Windows XP
 ・「スタート」ボタンをクリックし、「コントロール パネル」オプションをクリックします。
 ・Javaアイコンをダブルクリックして、Javaコントロール・パネルを開きます。

Mac OS X 10.7.3以降
 ・画面左上のAppleアイコンをクリックします。
 ・「System Preferences」に移動します。
 ・Javaアイコンをクリックして、Javaコントロール・パネルにアクセスします。

設定方法としては、「セキュリティ・レベルを下げる」と「例外リスト機能を使用する」の2種類があります。

・セキュリティ・レベルを下げる
 セキュリティ・レベルを中に下げることによって、セキュリティ・プロンプト付きでアプリケーション(ゲーム)を実行できるようになります。
 追記: Java 8 Update 20以降、Javaコントロール・パネルの「中」セキュリティ・レベルが
      なくなりました。このバージョン以降は、下記の例外リストを利用してください。

      
・例外リスト機能を使用する
 例外リストにゲーム掲載サイトのURL(ゲームの各ページではなく、先頭のURLでかまいません)を登録することによって、アプリケーションを実行できるようになります。
 例外リストに入れたのに認識してくれない時は、一度ブラウザを閉じてから再びアクセスしてみてください。 

どちらの方法も推奨はされていませんので、何かあっても自己責任です。
とはいえ、たとえJavaで何かあったとしても、Oracleが責任をとってくれるとは思えませんが…。

公式な説明はコチラを参照して下さい。