こんにちは。今年の2種試験は難しかった、との報に接して、私虹法師も落ち込んでおります。どなたか問題文のpdfをお送り頂けるとありがたいのですが。
それでも前に進まねばなりません。気を取り直して、本日は月例の雑誌ニュートン感想をご報告したいと思います。

10月号では、「世界一美しい数式――eiπ+1=0」を取り上げたいと思います。
科学者や数学者の多くが、「世界一美しい式」と賞賛する式があります。「オイラーの等式」と呼ばれる「eiπ+1=0」という式です。「ネイピア数e」、「虚数単位i」、円周率π」は、それぞれ”生まれ”がことなる、本来、互いに縁もゆかりもないと思われる数です。それにもかかわらず、eとiとπをeiπという形でまとめて1を足すと、なんと0になってしまうのです。
 またオイラーの等式の元となる「オイラーの公式(eix=cosx+isinx)」は物理学の様々な分野で必須の式であり、自然界の秘密を解き明かす上ではなくてはならないものとなっています。アメリカの著名な物理学者のリチャード・ファインマン(1918〜1988)は、オイラーの公式を、「This is our jewel.」(人類の至宝)と表現したといいます。
 オイラーの二つの式の美しさと素晴らしさを詳しく見ていきましょう。」


「eiπ+1=0」という式を初めて知ったのは、小川洋子さんの小説

を読んだ時でした。当時は全く意味不明でしたが、「綺麗だな」とのみ思ったことを覚えています。
 「ネイピア数e」、「虚数単位i」、円周率π」の3人の中で、一番意味不明なのは「ネイピア数e」です。πは直径に対する円周の比、これは小学生の時でも何となく理解できました。iも不可思議な値ではありますが、二乗すると「−1」になる数という定義自体は理解できます。しかしeについては(1+1/n)のnを無限に大きくしたときの数といわれても、ピンと来ません。
だからどうなの
定義からはそれほど特別な数と感じられません。しかしこの数を底とすると、指数関数も対数関数も微積分において特別な値となります。またかつてe^πとπ^eどちらが大きいかでたどり着いたように、x^yとy^xの関係において、y=eならば常にx^e<=e^xが成り立ちます。もっと万人に納得できるeの定義は無いものかと思います。
さてオイラーの等式の証明ですが、
テーラー展開(何故そうなるかはサッパリわかりません)を使うと
=1+x/1+x2/(1×2)+x3/1×2×3+・・・+xn/n!+・・・
となるのだそうです。sinxもcosxも類似した形で表せます。このXの所にxiを代入して整理すると
ix=cosx+isinx
にたどりつけます。後はxにπを代入すると
iπ=−1
となります。
何だかよくわからないけど、面白い!


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